- •Линейные пространства
- •Некоторые свойства произвольных линейных пространств.
- •Размерность и базис линейного пространства.
- •Действия над векторами в координатной форме.
- •Замена базиса
- •Евклидовы пространства.
- •Неравенство Коши-Буняковского
- •Норма вектора. Нормированное пространство
- •Ортонормированный базис конечномерного Евклидового пространства
- •Ортогональные матрицы и их свойства
- •Линейные операторы.
- •Действия над линейными операторами
- •Матрица линейного оператора.
- •Изменение матрицы линейного оператора
- •Собственные числа и собственные векторы
- •Линейные операторы в евклидовом пространстве
- •Рассмотрим некоторые примеры линейных операторов
- •Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду
Неравенство Коши-Буняковского
Теорема. Для любых двух элементов х и у произвольного евклидового пространства справедливо неравенство
(x, y)2 (x, x)(y, y),
называемое неравенство Коши – Буняковского.
Доказательство: в силу аксиомы 40 имеем
( x – y, x - y) 0.
В силу аксиом 10 - 30 раскроем это неравенство:
2 (x, x) - 2(x, y) + (y, y) 0
Этот трехчлен больше или равен нулю. Т.е. квадратное уравнение относительно не имеет действительных корней, а может иметь лишь нулевой корень. Значит его дискриминант равен или меньше нуля:
D = (x, y)2 – (x, x)(y, y) 0
или (x, y)2 < (x, x)(y, y) |x, y| |x||y|.
Теорема доказана.
Норма вектора. Нормированное пространство
Определим длину или норму вектора, которую обозначим
,
здесь учтена аксиома 40 и берется арифметическое значение корня. Из определения нормы вытекает:
|x| > 0 при x 0 и |x| = 0 только, если x = 0.
| x| = || |x|
Вектор x, длина которого равна единице, называется нормированным. Очевидно, всякий ненулевой вектор можно пронормировать, умножив его на число . Полученный векторбудет нормированным.
Определим угол между векторами. Углом между векторами назовем угол, косинус которого определяется из соотношения
в силу неравенства Коши – Буняковского |cos | 1, что корректно.
Договоримся считать два вектора евклидового пространства х и у ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что в евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора:
|| x + y ||2 = (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y) = || x ||2 + || y ||2
Приведем пример условия ортогональности двух векторов x и y в пространстве An
x1y1 + x2y2 + … + xnyn = 0
вспомним, что это условие ортогональности двух векторов, которое в векторной алгебре мы получим из скалярного произведения.
В пространстве c(a, b) условие ортогональности имеет вид
Например, векторы x = cos nt и y = sin mt, где m и n – целые, ортогональны при a = - и b =
С этим важным примером мы будем часто встречаться в математике.
Теперь введем определение: линейное пространство R называется нормированным, если выполнены следующие два требования:
любому элементу x пространства ставится в соответствие или определяется норма .
Указанное правило введения нормы подчинено следующим аксиомам:
10 || x || > 0, если x 0; || x || = 0, если x = 0
20 || x || = |||| x ||.
30 справедливо равенство || x + y || || x || + || y || называемое неравенством Минковского или неравенством треугольника.
Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента х определить равенством . Первые две аксиомы непосредственно вытекают из аксиом скалярного произведения 30 и 40.
Справедливость неравенства Минковского докажем, опираясь на неравенство Коши – Буняковского:
Ортонормированный базис конечномерного Евклидового пространства
В линейном пространстве, как мы установили в предыдущих лекциях, существует базис – любые n линейно независимых векторов. Все базисы были одинаковы. В евклидовом пространстве существуют специальные, особо удобные базисы, называемые ортонормированными базисами. Введем определение ортонормированного базиса: будем говорить, что k элементов e1, e2, … en n – мерного евклидового пространства Е образуют ортонормированный базис этого пространства, если эти элементы попарно ортогональны и норма каждого из этих элементов равна единице, т.е. если
Существует теорема: во всяком n – мерном евклидовом пространстве E существует ортонормированный базис.
Доказательство: согласно определению размерности в пространстве E найдется n линейно независимых векторов 1, 2, …, n. Докажем, что можно построить n элементов e1, e2, … en, линейно выражающихся через 1, 2, …, n и образующих ортонормированный базис.
Определим вектор e1 как нормированный вектор 1, e1*=1:
построим вектор e2 так, чтобы он был ортогонален вектору e1:
умножим скалярно на e1:
Вектор e3 определим следующим образом:
Коэффициенты 1 и 2 найдем из условия ортогональности вектора е3 к вектору е1 и вектору е2:
отсюда:
, где
Продолжая этот процесс n раз, получим для вектора en:
, где или
Т.о. мы доказали теорему, что во всяком пространстве Е существует ортонормированный базис. В процессе доказательства мы построили этот базис. Процесс построения называется ортогонализация или процесс ортогонализации .
В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов равно сумме произведений координат этих векторов – этим свойством мы уже пользовались в векторной алгебре:
(x, y) = x1y1 + x2y2 +… + xnyn
Действительно: