- •Линейные пространства
- •Некоторые свойства произвольных линейных пространств.
- •Размерность и базис линейного пространства.
- •Действия над векторами в координатной форме.
- •Замена базиса
- •Евклидовы пространства.
- •Неравенство Коши-Буняковского
- •Норма вектора. Нормированное пространство
- •Ортонормированный базис конечномерного Евклидового пространства
- •Ортогональные матрицы и их свойства
- •Линейные операторы.
- •Действия над линейными операторами
- •Матрица линейного оператора.
- •Изменение матрицы линейного оператора
- •Собственные числа и собственные векторы
- •Линейные операторы в евклидовом пространстве
- •Рассмотрим некоторые примеры линейных операторов
- •Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду
Некоторые свойства произвольных линейных пространств.
Запишем без доказательства два утверждения:
1). В произвольном линейном пространстве существует единственный нулевой элемент и для каждого элемента x существует единственный противоположный.
2). В произвольном линейном пространстве: а) нулевой элемент 0 равен произведению произвольного элемента x на вещественное число 0; б) для каждого элемента x противоположный элемент равен произведению этого элемента x на вещественное число –1.
Пусть некоторое множество L является линейным пространством. Всякое подмножество L1 пространства L, элементы которого в свою очередь образуют линейное пространство, (с теми же операциями сложения и умножения) называется подпространством пространства L. Очевидно, что единственный нулевой вектор 0 L и само пространство L являются наименьшим и наибольшим подпространствами линейного пространства L.
Примеры подпространства: в пространстве векторов V3 векторы, параллельные некоторой плоскости образуют подпространство V2.
Определение линейной оболочкой векторов x1 x2 ... xm – некоторой системы векторов пространства L - называется совокупность всех линейных комбинаций этих векторов, т.е. множество элементов вида
1 x1 + 2 x2 + ...+ m xm
где 1 2 ... m – произвольные действительные числа. Линейную оболочку будем обозначать L (x1 x2 ... xm).
Иногда говорят, что линейная оболочка – это подпространство, натянутое на данную систему векторов.
Размерность и базис линейного пространства.
В пространстве V3 каждый вектор можно единственным образом разложить по трем некомпланарным векторам, которые называются базисом пространства V3. Рассмотрим вопрос о построении базиса в произвольно пространстве R. Для этого повторим некоторые важные понятия.
Линейная зависимость векторов. Если x1 x2 … xn – векторы линейного пространства R, а 1 2 … n – произвольные числа из поля K, то выражение
1 x1 + 2 x2 +…+ n xn
называется линейной комбинацией векторов x1 x2 … xn, а числа 1 2 … n называются коэффициентами этой линейной комбинации. Если линейная комбинация векторов обращается в нуль тогда и только тогда, когда все i = 0, то вектора являются линейно независимыми. В противном случае, когда
1 x1 + 2 x2 +…+ n xn = 0
при условии, что хотя бы один i = 0, вектора называются линейно зависимыми.
Вспомним, что мы доказывали, что любая совокупность векторов x1 x2 … xn, содержащая нулевой вектор, является линейно зависимой. Точно также система векторов x1 x2 … xn, содержащая совокупность линейно зависимых векторов, линейно зависима.
Наконец, докажем теорему, что векторы x1 x2 … xn линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них можно представить как линейную комбинацию оставшихся.
Другими словами, нужно доказать необходимость и достаточность. Докажем необходимость. Пусть x1 x2 … xn линейно независимы. Тогда:
x1 + x2 +…+ xn = 0
причем хотя бы одно из чисел , , …, 0. Положим, что 0. Тогда
(*)
а это по определению означает линейную комбинацию. Достаточность: пусть x1 является линейной комбинацией оставшихся, т.е. равенство (*) выполнено. Тогда перепишем его в виде:
Поскольку из чисел (-1), , … , одно не равно нулю (-1), то это означает линейную зависимость векторов x1 x2 … xn.
а) Размерность линейного пространства.
Если в линейном пространстве R существует n линейно независимых векторов, а любые n + 1 векторов этого пространства линейно зависимы, то линейное пространство называется n – мерным. Число n называется размерностью пространства. Символ размерности - dim R.
Например, пространства V3 и V2 соответственно трехмерные и двухмерные. Существуют бесконечномерные линейные пространства. Пример такого пространства – это векторы x и y из пространства С [a, b]. Их сумма и произведение имеют вид:
x = (t) y = (t)
x + y = (t) + (t), x = (t)
В линейной алгебре изучаются только конечномерные пространства.
б) Базис линейного пространства.
Система { e } из n линейно – независимых векторов n – мерного пространства , заданных в определенном порядке, называется базисом этого пространства.
Теорема: любой вектор х n – мерного пространства и при том единственным образом, можно разложить по базису этого пространства .
Действительно, векторы линейно зависимы т.к. их число равно n + 1, а по определению базиса n – мерного пространства n + 1 векторов линейно зависимы. Тогда составим выражение:
где хотя бы одно i будет отлично от 0. 0 0, т.к. иначе окажется, что базисные вектора линейно зависимы. Тогда:
т.е. можно представить как линейную комбинацию векторов базисных. Причем, разложение это единственно. Запишем разложение в виде:
и назовем числа x1 x2 … xn координатам вектора x в базисе . Будем писать.