Diff_Uravnenia_lektsii

Лемма 7.2 Если вектор-функции X1(t), . . . , Xk(t) являются решениями однородной

ˆ

системы (7.1) ( f ≡ 0 ) и (c1, . . . , ck) – произвольный набор постоянных, то векторфункция Y (t) = c1X1(t) + · · · + ckXk(t) является решением однородной системы.

Доказательство. Y ′(t) = c1X1′ (t) + · · · + ckXk′ (t) ≡ c1A(t)X1(t) + · · · + ckA(t)Xk(t) = A(t)(c1X1(t) + · · · + ckXk(t)) = A(t)Y (t).

Теорема 7.2 Предположим, что n вектор-функций в наборе X1(t), . . . , Xn(t), t (a, b), являются решениями системы (7.1). Тогда их определитель Вронского W [X1, . . . , Xn](t) обращается в нуль при некотором t0 (a, b) тогда и только тогда, когда векторфункции набора линейно зависимы. В этом случае W (t) ≡ 0.

Доказательство. В одну сторону (при линейной зависимости) утверждение теоремы следует из предыдущей леммы и тогда W (t) ≡ 0. Докажем обратное утверждение. Пусть при некотором t0 (a, b) выполнено равенство W [X1, . . . , Xn](t0) = 0. Тогда однородная система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных

(c1, . . . , cn)

c1X1(t0) + · · · + cnXn(t0) = 0

имеет ненулевое решение (c01, . . . , c0n). Рассмотрим вектор-функцию Y (t) = c01X1(t) +

· · · + c0nXn(t). Поскольку это линейная комбинация решений системы, то Y (t) является решением. При t = t0 оно равна нулевому вектору, в силу выбора постоянных, но единственным решением системы с нулевыми начальными данными, в силу однородности, является нулевая вектор-функция. По теореме единственности, имеем Y (t) ≡ 0, т.е. набор решений линейно зависим, а поэтому W (t) ≡ 0.

Таким образом, условие линейной зависимости или независимости выражается с помощью вронскиана: если он обращается в нуль в некоторой точке t0 (a, b), то равен нулю тождественно и набор решений X1(t), . . . , Xn(t), t (a, b), линейно зависим; если же вронскиан не равен нулю в некоторой точке t0 (a, b), то этот набор решений линейно независим.

Теперь покажем, как построить набор из n линейно независимых решений системы (7.1). В силу доказанной теоремы, нужно просто выбрать при некотором t = t0 набор из n линейно независимых векторов и взять, согласно теореме существования, решения с этими начальными условиями. Поскольку выбранные векторы независимы при t = t0, то определитель матрицы, составленный из этих векторов, отличен от нуля. Но этот определитель есть просто определитель Вронского при t = t0, поэтому определитель Вронского построенных решений отличен от нуля и решения будут независимы при всех t (a, b). Итак, множество решений однородной системы n линейных дифференциальных уравнений первого порядка образует линейное пространство над полем R или C, в этом пространстве имеется n линейно независимых решений. Осталось доказать, что любое решение системы является линейной комбинацией полученных n решений. Пусть Y (t) решение системы. Зафиксируем t = t0 (a, b) и рассмотрим n линейно независимых векторов X1(t0), . . . , Xn(t0). Это базис в пространстве Rn (или Cn). Поэтому существует единственный набор постоянных (c1, . . . , cn) из поля R (соответственно – C), для которых Y (t0) = c1X1(t0) + · · · + cnXn(t0). Рассмотрим вектор-функцию

60

Z(t) = c1X1(t) + · · · + cnXn(t), которая является решением системы, совпадающим при t = t0 с Y (t0). Но решение системы с такими начальными условиями единственно, поэтому Z(t) ≡ Y (t), t (a, b). Тем самым мы доказали, что n линейно независимых решений образует базис в пространстве решений. В теории дифференциальных уравнений базис в пространстве решений называется фундаментальной системой решений.

7.1Формула Лиувилля-Остроградского

Мы уже видели полезность определителя Вронского. Для его вычисления нужно, казалось бы, знать фундаментальную систему решений системы, что, при непостоянных коэффициентах, вообще говоря, невозможно. Оказывается, тем не менее, что сам определитель Вронского можно вычислить по коэффициентам системы без вычисления фундаментальной системы решений. Соответствующая формула носит название формулы Лиувилля-Остроградского. Получим ее.

Предложение 7.1 Определитель Вронского W (t) набора из n решений равен

∫ t

W (t) = W (t0) exp[ trA(s)ds],

t0

где trA(t) – след матрицы A(t).

Доказательство. Найдем производную определителя Вронского.

Лемма 7.3 Если элементы определителя порядка n являются дифференцируемыми функциями от t на некотором интервале t (a, b), то производная определителя по t равна сумме n определителей, каждый из которых получен заменой k-строки (k-го столбца) исходного определителя строкой (столбцом) из производных этих функций.

Доказательство. Применим формулу вычисления определителя как сумму произведений элементов по одному в каждой строке и столбце с коэффициентами ±1 в зависи-

мости от четности/нечетности постановки соответствующего набора индексов (см. [10]).

Обозначим Xk = (x1k, x2k, . . . , xnk) , k = 1, . . . , n. Используя формулу дифференцирования определителя, получаем сумму n определителей, в каждом из которых одна

61

Подставим вместо производных их выражения из системы:

∑n

x′ki = akjxji, i = 1, . . . , n.

j=1

Тогда этот определитель равен сумме: Wk = ak1Wk1 + ak2Wk2 + · · · + aknWkn, где определители Wks получаются из определителя Вронского заменой k-ой строки на s-ую. Поэтому все эти определители равны нулю, кроме Wkk, который равен самому определителю Вронского. Отсюда получаем в (7.2) справа (a11 + · · · + ann)W (t), т.е. определитель Вронского удовлетворяет уравнению: W ′(t) = [trA(t)]W (t), откуда и следует формула.

7.2Фундаментальные матрицы и их описание

Рассмотрим снова однородную линейную систему (7.1). Мы уже ввели понятие фундаментальной системы решений этой системы. Для многих вопросов теории очень удобно ввести матрицу, столбцами которой являются вектор-функции, входящие в фундаментальную систему решений. Любая такая матрица Φ(t) называется фундаментальной матрицей решений системы. Тем самым, фундаментальная матрица невырождена (ее определитель есть определитель Вронского). Поскольку столбцы этой матрицы являются решениями, то сама матрица является решением следующего матричного дифференциального уравнения:

˙

Φ(t) = A(t)Φ(t), (7.3)

которое нужно понимать так: приравнивая одноименные столбцы матриц справа и слева, получаем решения фундаментальной системы решений. Данная система имеет много фундаментальных матриц, т.к. имеется много фундаментальных систем решений. Опишем все фундаментальные матрицы данной системы, тем самым мы опишем и все фундаментальные системы решений.

Предложение 7.2 Если Φ(t) является фундаментальной матрицей системы (7.1), то все остальные ее фундаментальные матрицы имеют вид Φ(t)C, где C – постоянная невырожденная матрица.

Доказательство. Тот факт. что Φ(t)C является фундаментальной матрицей, проверяется непосредственно подстановкой в матричное уравнение (7.3). Теперь пусть дана другая фундаментальная матрица Ψ(t). Рассмотрим матрицу Φ−1(t)Ψ(t) и покажем, что она постоянна, т.е. не зависит от t. Поскольку она невырождена, то тогда утверждение будет доказано. Продифференцируем произведение этих матриц. Производная произведения матриц вычисляется по формуле Лагранжа, т.к. элемент матрицы – произведения двух матриц – есть алгебраическая сумма произведений соответствующих элементов матриц-сомножителей. Производная обратной матрицы вычисляется дифференцированием тождества

Φ(t)Φ−1(t) ≡ E : [Φ−1(t)]′ = −Φ−1(t)A(t).

ˆ Поэтому получаем [Φ−1(t)Ψ(t)]′ = −Φ−1(t)A(t)Ψ(t) + Φ−1(t)A(t)Ψ(t) ≡ 0.

62

7.3Двумерные линейные системы и уравнение Риккати

Для решений системы двух линейных однородных уравнений на плоскости имеется тесная связь с решениями уравнения Риккати, которое определяется этой системой. Рассмотрим двумерную линейную систему

x˙ = a(t)x + b(t)y, y˙ = c(t)x + d(t)y,

с непрерывными функциями a, b, c, d, определенными на общем интервале (α, β) R. Рассмотрим в начальный момент времени t0 (α, β) прямую y = k0x и найдем уравнение для движения этой прямой, определяемое решениями заданной системы. Для этого выпустим из каждой точки (x0, y0) прямой решение с начальными условиями (t0, x0, y0) и выясним положение этих точек в момент времени t (α, β). Поскольку отображение (x0, y0) → (x(t; t0, x0, y0), y(t; t0, x0, y0)) линейно и задается фундаментальной матрицей системы, то образ прямой при фиксированных t0, t будет прямой с угловым коэффициентом k(t), k(t0) = k0. Предположим сначала, для простоты, что во время движения прямая не проходит через вертикальное положение (k(t) ≠ ±∞). Тогда уравнение для изменения углового коэффициента получается следующим образом:

т.е. изменение углового коэффициента прямой описывается уравнением Риккати. Более правильно считать k координатой на проективной прямой 1 RP 1. Тогда интегральные кривые полученного дифференциального уравнения Риккати являются кривыми на цилиндре S1 × R, эти кривые могут обходить цилиндр, являясь винтовыми линиями на нем. Это соответствует тому, что функция k(t) при некоторых t может обращаться в бесконечность (в окрестности этой точки следует использовать уравнение для k1).

Пример 7.2 Рассмотрим уравнение Риккати с постоянными коэффициентами, у которого соответствующий квадратный трехчлен не имеет действительных корней (т.е. дискриминант отрицателен). Тогда заменой переменных уравнение превраща-

Функция k(t) обращается в бесконечность, когда знаменатель равен нулю, т.е. при

√

t = tn = arctan( a/k0) + nπ. Нетрудно проверить, что при t = tn получаем k1(tn) = 0, и решение продолжается через точку (k1, tn) = (0, tn), поскольку k1′ = −k′/k2 =

1Проективная прямая – это множество прямых на плоскости (x; y), проходящих через начало координат; такая прямая задается своим угловым коэффициентом k = y=x, но при повороте на 180◦ прямая совпадает с собой. Очевидно, что топологически проективная прямая является окружностью, на которой при x ≠ 0 координатой является k = y=x, а в окрестности прямой x = 0 – координатой является k1 = 1=k = x=y.

63

7.4Неоднородные системы и вариация постоянных

Нашей следующей задачей будет получить общее решение неоднородной системы. Рассмотрим какое-нибудь решение X0(t) неоднородной системы n-го порядка (7.1). Тогда сумма вектор-функции X0 и любого решения однородной системы является решением неоднородной системы. Более того, справедливо простое утверждение

Предложение 7.3 Если Y1, Y2, . . . , Yn – фундаментальная система решений однородной системы, а X0(t) решение неоднородной системы, то общее решение неоднородной системы имеет вид:

X(t) = c1Y1(t) + · · · + cnYn(t) + X0(t).

где (c1, . . . , cn) – произвольные постоянные.

Доказательство. Сначала покажем, что если X(t) – какое-то решение неоднородной системы, то разность X(t) −X0(t) есть решение однородной системы. Это доказывается подстановкой этой разности вектор-функций в однородную систему: X′(t) − X0′ (t) = A(t)X(t)−A(t)X0(t) = A(t)[X(t)−X0(t)] = f(t)−f(t) = 0. Поэтому по уже доказанному получаем, что существует единственный набор постоянных (c1, . . . , cn) из поля R (или C) для которого выполнено равенство:

X(t) − X0(t) = c1Y1(t) + · · · + cnYn(t).

Теперь пусть имеется произвольное решение X(t) неоднородной системы. Зафиксируем t0 (a, b), тогда решение определяет начальный вектор Y0 = X(t0). Неоднородная линейная система алгебраических уравнений относительно неизвестных (c1, . . . , cn)

c1Y1(t0) + · · · + cnYn(t0) = Y0 − X0(t0)

имеет единственное решение (c01, . . . , c0n), т.к. ее определитель (Вронского в точке t0) отличен от нуля. По уже доказанному, сумма c01Y1(t) + · · · + c0nYn(t) + X0(t) является решением неоднородной системы, и при t = t0 оно равно Y0. По теореме единственности решения с данным начальным условием, полученное решение совпадает с X(t).

Таким образом, если мы знаем фундаментальную систему решений Y1, Y2, . . . , Yn однородной системы, то для нахождения общего решения неоднородной системы необходимо найти частное решение неоднородной системы. Для этого имеется формула вариации произвольных постоянных, которую мы сейчас и получим. Рассмотрим следующую замену переменных X = (x1, . . . , xn) → C = (c1, . . . , cn) : X = U(t)C, где столбцами фундаментальной n ×n матрицы U являются векторы Y1(t), . . . , Yn(t). В новых координатах система запишется в виде (дифференцируя соотношение для замены и используя матричное тождество U˙ (t) ≡ A(t)U(t))):

C˙ = U−1f.

64

∫ t ∫ t

X0(t) = U(t) U−1(s)f(s)ds = U(t, s)f(s)ds, где U(t, s) = U(t)U−1(s), U(t, t) = E.

t0 t0

Полученная формула для частного решения и называется формулой вариации произвольных постоянных. С помощью этой формулы запишем решение линейной неоднородной системы с заданным начальным вектором x0 при t = t0 :

∫ t

Пример 7.3 Рассмотрим систему: x˙ = y, y˙ = −x + 1/ sin t, t (0, π). Однородная система сводится к уравнению x¨ + x = 0, поэтому ее фундаментальной системой решений являются функции cos t, sin t, вторые координаты векторов-решений вычисляются из первого уравнения y = x′, т.е. фундаментальная матрица U(t) имеет вид

()

Поэтому для поиска c1, c2 получаем систему

c˙1 = −1, c˙2 = ctg t,

решение которой имеет вид: c1 = −t + c01, c2 = ln sin t + c02, а общее решение системы: x(t) = c01 cos t + c02 sin t − t cos t + sin t ln sin t, y(t) = −c01 sin t + c02 cos t + t sin t + cos t ln sin t.

65

Глава 8

Линейные системы с постоянными коэффициентами

Нашей следующей задачей будет изучение систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Это, фактически, единственный случай, когда фундаментальную систему решений можно вычислить в явном виде (ниже будет объяснено, в каком смысле следует понимать это утверждение). Используя векторные обозначения, такие системы записываются в виде:

где коэффициенты постоянной n × n матрицы A принадлежат полю R или C. Нашей задачей будет построение фундаментальной системы решений этой системы. Следуя Эйлеру, будем искать решение этой системы в виде

x(t) = etc,

где ненулевой вектор c и постоянная λ пока неизвестны. Подставляя эту вектор-функцию в систему, мы получим следующее тождество относительно независимой переменной t, если эта вектор-функция является решением системы:

λetc ≡ A(etc),

откуда следует (экспонента не равна нулю тождественно!) равенство λc = Ac или (A −

ˆ

λE)c = 0. Поскольку c должен быть ненулевым вектором, то линейная однородная система должна иметь нулевой определитель, поэтому λ должно быть собственным значением, а c – соответствующим ему собственным вектором матрицы A. Обратно, если λ – собственное значение, а c – соответствующий ему собственный вектор матрицы A, то вектор-функция exp[λt]c является решением системы.

Полученное уравнение det(A − λE) = 0 для поиска соответствующего числа λ называется характеристическим уравнением матрицы A, а его левая часть – характеристическим многочленом матрицы A. Таким образом, получаем следующий алгоритм построения решений системы:

66

•по матрице A записываем характеристическое уравнение и находим его корни λ1, . . . , λn (среди них могут быть одинаковые при наличии кратных корней, а также комплексные даже в случае вещественной матрицы);

•для каждого корня λk находим соответствующий собственный вектор ck и строим решение xk(t) = exp[λkt]ck.

Чтобы полностью использовать основную теорему алгебры и теорию жордановой формы матриц, будем сначала предполагать поле коэффициентов комплексным. Тогда, если характеристическое уравнение имеет только простые корни, то их ровно n по основной теореме алгебры [10], и получаем n различных решений. Осталось проверить их линейную независимость, тогда мы получим фундаментальную систему решений.

Предложение 8.1 Если характеристическое уравнение системы n линейных однородных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами имеет n простых корней, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы и решения exp[λkt]ck, k = 1, . . . , n, составляют фундаментальную систему решений.

Доказательство. Известный результат из теории матриц [10, 7] говорит, что собственные векторы, соответствующие простым собственным значениям, линейно независимы. Поэтому определитель Вронского полученной системы решений отличен от нуля, т.к. его столбцами при t = 0 являются набор из n линейно независимых собственных векторов.

Итак, в случае простых корней характеристического уравнения общее решение системы имеет вид:

x(t) = α1e 1t + · · · + αne nt,

где постоянные α1, . . . , αn принадлежат полю коэффициентов.

Пример 8.1 Решить систему

67

Более сложным является случай кратных корней характеристического уравнения. В этом случае имеется только m < n геометрически различных корней λ1, . . . , λm каждое кратности соответственно k1, . . . , km, k1 +· · ·+km = n. Для каждого корня λi существует хотя бы один собственный вектор ci, но других собственных векторов может и не быть.

имеет двукратное собственное значение 1 и только один собственный вектор.

Для получения остальных решений фундаментальной системы напомним некоторые результаты теории жордановой нормальной формы матрицы [10, 7].

Теорема 8.1 Для всякой матрицы A с комплексными коэффициентами существует такая невырожденная матрица B, что матрица B−1AB имеет жорданов блочнодиагональный вид:

diag (J0, J1, . . . , Js) ,

где матрицы J0, J1, . . . , Js, стоящие на диагонали, имеют вид:

матрица J0 = diag(λ1, λ2, . . . , λp0 ) является чисто диагональной, на главной диагонали стоят числа λ1, λ2, . . . , λp, остальные элементы матрицы равны нулю; остальные матрицы Jk размера pk × pk имеют вид жорданова блока:

где λ – одно из собственных значений матрицы A, E – pk ×pk единичная, а N является

p ˆ

нильпотентной матрицей того же размера, т.е. N k = 0 (у нее все элементы – нули, кроме элементов верхней второй диагонали, состоящей из единиц).

Рассмотрим систему, состоящую из одного жорданова блока Jk. Для упрощения обозначений будем считать, что размер матрицы Jk есть s×s. Эта матрица имеет единственный собственный вектор h = (1, 0 . . . , 0) . Чтобы получить стандартный набор независимых векторов, связанный с данным жордановым блоком, вводятся еще s − 1 векторов с помощью соотношений:

или, используя обозначение Jk − λE = N, получаем:

68

Векторы h1, . . . , hs−1 называются присоединенными к h. Отметим, что если вернуться к исходным переменным, в которых матрицей системы является A, то каждому жордановому блоку соответствует инвариантное подпространство матрицы A (матрица переводит векторы из этого подпространства в себя, это следует из блочного вида жордановой формы матрицы A), а уравнения для поиска собственного вектора h и присоединенных векторов h1, h2, . . . , hs−1 для одного блока размера s превращаются в следующие:

Ah = λh, Ah1 = λh1 + h, Ah2 = λh2 + h1, . . . , Ahs−1 = λhs−1 + hs−2.

Эти уравнения можно использовать при поиске собственных и присоединенных векторов для данного собственного значения. Дело в том, что матрица B, приводящая матрицу A к жордановой форме заранее неизвестна!

Вернемся к случаю одного жорданова блока. Решая уравнения (8.3), получаем координатную запись этих векторов (легко видеть, что при каждом возведении в степень матрицы N диагональ из единиц сдвигается на единицу вправо вверх):

h1 = (0, 1, . . . , 0) , . . . , hs−1 = (0, 0, . . . , 1) ,

в частности, набор s векторов h, h1, . . . , hs−1 независим.

Итак, пусть характеристическое уравнение имеет кратные корни λ1, λ2, . . . , λk кратностей соответственно m1, m2, . . . , mk, m1 + m2 + . . . + mk = n. Предположим теперь, что матрица B, приводящая к жордановой нормальной форме, известна. Сделаем в системе (8.1) замену переменных x = By. В новых переменных система записывается в виде y˙ = B−1ABy, т.е. матрица системы имеет жорданов вид. Поскольку все элементы жордановой матрицы, кроме тех, которые входят в блоки, равны нулю, то система распадается на независимые подсистемы меньшей размерности: каждая из этих подсистем имеет размерность, равную размерности соответствующего блока, а число независимых подсистем равно числу самих блоков в жордановой форме матрицы. Для нахождения решений, нужно проинтегрировать каждую из подсистем и из них "собрать" решение полной системы. Здесь следует иметь в виду (и это одна из сложностей при получении решений), что одно и то же собственное значение матрицы A может входить в несколько жордановых блоков, и кратность этого собственного значения равна сумме размеров всех блоков, куда входит данное собственное значение. Все простые собственные значения, а также кратные собственные значения, имеющие одномерные жордановы блоки, входят в блок J0, остальные кратные собственные значения входят в остальные блоки. Поскольку указанные подсистемы не связаны, то рассмотрим систему с одним жордановым блоком и обозначим для краткости входящие в нее переменные через u1, u2, . . . , us. Тогда система приобретает вид:

69