Diff_Uravnenia_lektsii

Глава 11

Зависимость решений от параметров. Уравнения в вариациях

В этой главе мы обсудим следующий вопрос, важный в различных вопросах теории дифференциальных уравнений, например, в теории динамических систем, асимптотических методах теории дифференциальных уравнений, численных методах теории дифференциальных уравнений и других вопросах. Рассмотрим семейство дифференциальных уравнений (или систем дифференциальных уравнений первого порядка), определенных в области D × M, D R × Rn:

в которой правые части могут зависеть от параметра µ M (может быть векторным). Обозначим через x(t; t0, x0, µ0) решение того уравнения семейства, которое получится, если зафиксировать параметр µ = µ0 в правой части и для полученного уравнения выбрать начальные условия (t0, x0). Полученная вектор-функция зависит от четырех переменных (t; t0, x0, µ) (некоторые являются векторными). Вопрос, который мы изучаем, следующий: какова зависимость от этих переменных (непрерывность, гладкость) в зависимости класса гладкости правых частей по соответствующим переменным. Сразу оговоримся, что все полученные далее теоремы относятся только к поведению решений на конечном интервале изменения времени. Простейшим вопросом этого типа является зависимость решения данного уравнения от начальных условий (t0, x0) при отсутствии параметров.

Рассмотрим какое-то решение x(t) уравнения (11.1), определенное на интервале t (a, b), 0 < b − a ≤ T < ∞, для которого интегральная кривая (t, x(t)) принадлежит области D вместе с некоторой ее окрестностью. Введем в окрестности этой интегральной кривой новые координаты (t, ξ = x − x(t)), т.е. в каждом сечении t = const новая координата есть отклонение от точки x(t). Целью замены является изучение свойств системы вблизи заданной интегральной кривой. Дифференцируя выражение для замены и подставляя ее в правую часть системы (11.1), получаем:

ξ˙ = x˙ − x′(t) = f(t, x(t) + ξ) − f(t, x(t)) = fx(t, x(t))ξ + o(||ξ||),

где o(||ξ||) обозначают члены порядка выше первого по ξ равномерно по t на конечном

100

отрезке T . В первом (линейном) порядке по ξ мы получаем линейное дифференциальное уравнение (точнее – систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка)

которое называется уравнением в вариациях для решения x(t) уравнения (11.1). Как всякое линейное уравнение, оно имеет фундаментальную матрицу решений Φ(t). Напомним, что через Φ(t; t0) мы обозначали нормированную фундаментальную матрицу решений этого уравнения, т.е. обладающую свойством Φ(t0; t0) = E. Покажем теперь, что

Предложение 11.1 Нормированная фундаментальная матрица уравнения в вариациях является производной решения x(t; t0, x0) по начальным условиям x0, т.е. мат-

рицей Якоби

Φ(t0; t0) = ∂x(t; t0, x0), ∂x0

где x(t) = x(t; t0, x0) есть решение уравнения (11.1) с начальными условиями (t0, x0).

Еще одно линейное дифференциальное уравнение в вариациях получается, когда мы интересуемся изменением решения уравнения (11.1) при изменении скалярного параметра µ в окрестности некоторого его значения µ0. Запишем решение x(t; t0, x0, µ0) и будем менять µ. Предположим, что решение гладко зависит от всех переменных и обозначим x0(µ) = b(µ), имея в виду, что начальное условие тоже может зависеть от параметра µ, причем вектор-функцию b(µ) будем также считать гладкой µ. Тогда дифференцируя µ тождество (относительно переменных t, µ) x˙ (t, t0, b(µ), µ) ≡ f(t, x(t, t0, b(µ), µ), µ), меняя порядок дифференцирования по t и µ, получим:

Полагая в полученном равенстве µ = µ0, получим уравнение в вариациях по параметру

µ :

dξdt = A(t)ξ + h(t),

где

ξ = ∂µ∂x | = 0 , A(t) = ∂f∂x x=x(t;t0;b( 0); 0); = 0 , h(t) = ∂f∂µ x=x(t;t0;b( 0); 0); = 0 .

Для поиска линейной части разложения по µ − µ0 от функции x(t, t0, b(µ), µ) это уравнение нужно решать с начальным условием, являющимся линейной частью от функции b(µ), т.е. b′(µ0).

Можно искать следующие члены разложения функции x(t, t0, b(µ), µ) по µ −µ0. При этом получаются линейные неоднородные уравнения с неоднородностью, зависящей от решений на предыдущих шагах разложения. М ы не будем выписывать эти уравнения.

101

Отметим, что если правая часть уравнения не зависит от параметра, то можно взять изменение начального условия в качестве параметра (векторного, но можно менять координаты этого вектора по одному, чтобы получить скалярный параметр). При этом параметр не входит в правую часть уравнения, поэтому уравнение в вариациях по параметру превращается в однородное уравнение в вариациях по начальному условию. Нормированная фундаментальная матрица этой однородной системы состоит из столбцов, которые дают решение с начальным условием, являющимся единичным вектором, получающимся производной по параметру при изменении начального условия по этой координате.

102

Глава 12

Автономные системы

В этой главе мы введем некоторые основные понятия теории автономных систем дифференциальных уравнений. Эти понятия относятся к качественной теории дифференциальных уравнений [13] или, как ее сейчас называют, теории динамических систем [1]. Также мы познакомимся с простейшими методами построения т.н. фазовых портретов для систем двух автономных дифференциальных уравнений первого порядка.

В первой главе мы уже встречались с динамическими системами на прямой и окружности. Дадим теперь общее понятие. Под автономной системой дифференциальных уравнений первого порядка понимается система вида

x˙ = f(x), x D Rn,

т.е. системы, у которых правые части не зависят явно от независимой переменной, которую мы здесь всегда будем называть временем. Область D, в которой определена вектор-функция f, называется фазовым пространством системы. Это не всегда будет область из Rn, иногда естественной областью определения системы является некоторое многообразие (цилиндр, тор и топологически более сложные многообразия).

Пример 12.1 Уравнение колебаний математического маятника, как мы знаем, описывается следующим дифференциальным уравнением второго порядка φ¨ + sin φ = 0 (см. главу 1). Введем новую переменную x = φ˙ (угловой момент маятника). Тогда в переменных (φ, x) получаем систему уравнений первого порядка

φ˙ = x, x˙ = − sin φ,

т.е. автономную систему. Ввиду периодичности правых частей по переменной φ, естественным фазовым пространством системы является не плоскость переменных (φ, x), а цилиндр S1 × R, где S1 окружность с циклической координатой φ (mod 2π). Например, система, рассматриваемая на плоскости (φ, x), имеет счетное множество состояний равновесия (πn, 0), а при рассмотрении на цилиндре их только два:

(0, 0) (π, 0).

Пример 12.2 Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений

x˙ = P (x, y), y˙ = Q(x, y),

103

где функции P, Q являются 2π-периодическими по каждой переменной. Тогда естественным фазовым пространством системы является не координатная плоскость R2, а двумерный тор R2/2πZ2 c циклическими координатами (x, y) (modd 2π). Напомним, что R2 является группой по сложению, а 2πZ2 подгруппа этой группы, состоящая из пар чисел вида (2πm, 2πn), m, n Z. Поэтому R2/2πZ2 есть фактор-группа.

12.1Траектории, их свойства

Всюду в этой главе мы предполагаем, что правые части f являются непрерывно дифференцируемыми вектор-функциями в фазовом пространстве, что обеспечивает выполнение теоремы существования и единственности решений задачи Коши и непрерывную дифференцируемость решений по начальным условиям. Если x(t), t I R, является решением системы, то кривая в фазовом пространстве, заданная параметрически как x = x(t), называется траекторией системы. На траектории стрелкой указывают направление возрастания t при движении вдоль нее. Траектория называется состоянием равновесия (или особой точкой), если x(t) ≡ x0. Чтобы постоянная вектор-функция x(t) ≡ x0 была решением системы, должно выполняться равенство f(x0) = 0, т.е. состояния равновесия – это нули системы уравнений f(x) = 0, из которой их и находят.

Пример 12.3 Состоянием равновесия линейной однородной системы x˙ = Ax всегда является начало координат x = 0. Если det A ≠ 0, то других состояний равновесия нет, а если det A = 0, то все собственное подпространство, соответствующее собственному значению λ = 0, состоит из состояний равновесия.

Правые части системы x˙ = f(x) задают в каждой точке x фазового пространства вектор f(x), т.е. в D Rn задано векторное поле. Траектория x(t) в каждой своей точке определяет касательный вектор x′(t) к этой кривой, который должен совпадать с вектором векторного поля в этой точке, т.к. x′(t) = f(x(t)). Задача построения фазового портрета системы, т.е. установления разбиения фазового пространства на траектории, состоит в описании всех гладких кривых, которые в каждой своей точке имеют касательным вектором вектор векторного поля. Задача эта весьма трудна и имеет полное решение только для некоторых классов систем. Тем не менее, к этой задаче, или более узкой задаче об описании некоторых важных (для процесса, который описывает эта система дифференциальных уравнений) решений сводятся многие вопросы теории и приложений из различных разделов многих естественных (и даже гуманитарных) наук.

12.1.1Основные свойства траекторий

Выясним некоторые основные свойства траекторий.

1. Если x(t) – решение системы, определенное на интервале t (a, b), то для любого числа c R вектор-функция y(t) = x(t+c) также является решением, определенным на интервале t (a − , b − ). Всем таким решениям соответствует одна и та же траектория в фазовом пространстве.

104

2. Две траектории системы либо не пересекаются, либо совпадают. доказать

Следствие 12.1 Никакая траектория не может входит в состояние равновесия за конечное время, она может только стремиться к нему либо при t → ∞, либо при t → −∞.

3.Если x(t) – решение системы и существуют два различных значения t1, t2, t1 < t2, при которых x(t1) = x(t2), то x(t) – периодическое решение, т.е. существует такое T ≠ 0, что x(t + T ) ≡ x(t), t R. Этому периодическому решению соответствует замкнутая траектория, т.е. простая замкнутая кривая в фазовом пространстве без самопересечений.

4.Предварительная классификация траекторий. Траектория может быть только одной из трех типов: а) состояние равновесия; б) замкнутой траекторией; в) незамкнутой траекторией без самопересечений.

5.Предельные множества траекторий. Точка x называется ω-предельной точкой полутраектории x(t), t ≥ 0, если существует последовательность чисел tn → ∞, для которой выполнено: limn→∞ x(tn) = x . Множество всех ω-предельных точек данной полутраектории называется ее ω-предельным множеством. Аналогично, точка x называется α-предельной точкой полутраектории x(t), t ≥ 0, если существует последовательность чисел tn → −∞, вдоль которой выполнено limn→−∞ x(tn) = x . Множество всех α-предельных точек данной полутраектории называется ее α-предельным множеством.

Приведем простейшие примеры ω-предельных множеств полутраектории x(t).

Пример 12.4 Рассмотрим скалярное автономное дифференциальное уравнение x˙ = x(1 − x). Его состояния равновесия – точки x = 0, 1. Воспользуемся известными нам методами интегрирования этого уравнения, тогда получим решение с начальным условием x0 при t0 = 0 в виде:

x0et

x(t; x0) = 1 + x0(et − 1).

Поскольку состояния равновесия делят фазовое пространство R на 3 части x0 < 0, 0 < x0 < 1 и x0 > 1, то получаем следующие предельные множества для траекторий: 1) любая траектория на интервале 0 < x < 1 имеет своим ω-предельным множеством состояние равновесия x = 1, а α-предельным множеством – состояние равновесия x = 0. Найдите соответствующие предельные множества для полутраекторий на интервалах x < 0 и x > 0.

Пример 12.5 Рассмотрим систему двух автономных дифференциальных уравнений:

x˙ = αx − βy − αx(x2 + y2), y˙ = βx + αy − αy(x2 + y2).

Для исследования решений системы удобно перейти к полярным координатам x = ρ cos θ, y = ρ sin θ. Тогда получим в полярных координатах:

ρ˙ = αρ(1 − ρ2), θ˙ = ω,

105

откуда получаем решения

1 + ρ20(e2 t − 1)

Система распадается на два несвязанных скалярных уравнения. Определите, что соответствует состояниям равновесия первого уравнения на плоскости (x, y)? Каковы ω− и α-предельные множества траекторий, лежащих в кольце 0 < ρ < 1; вне диска

ρ ≤ 1?

12.2Фазовые портреты линейных систем на плоскости

В качестве применения вышеуказанных понятий траектории, состояния равновесия, предельного множества, изучим фазовые портреты линейных автономных систем на плоскости:

К такой задаче приводит изучение автономной системы на плоскости в окрестности состояния равновесия. Действительно, пусть дана система двух автономных уравнений первого порядка

x˙ = P (x, y), y˙ = Q(x, y),

иP (x0, y0) = Q(x0, y0) = 0, т.е. (x0, y0) – состояние равновесия. Для изучения системы в окрестности состояния равновесия введем локальные координаты ξ = x − x0, η = y − y0

иразложим правые части системы в окрестности состояния равновесия:

x˙ = P (x0, y0) + Px(x0, y0)(x − x0) + Py(x0, y0)(y − y0) + · · · , y˙ = Q(x0, y0) + Qx(x0, y0)(x − x0) + Qy(x0, y0)(y − y0) + · · · ,

где точки означают члены более высокого порядка, чем первый, относительно величин x − x0, y − y0. В локальных координатах получим:

ξ˙ = Px(x0, y0)ξ + Py(x0, y0)η + · · · , η˙ = Qx(x0, y0)ξ + Qy(x0, y0)η + · · · .

Таким образом, в линейном приближении получаем задачу (12.1), где a = Px(x0, y0), b = Py(x0, y0), c = Qx(x0, y0), d = Qy(x0, y0).

Нашей задачей будет построить фазовые портреты этой системы при различных коэффициентах a, b, c, d, т.е различных матриц A этой системы. Как мы знаем, фундаментальная система решений системы зависит от собственных значений λ1, λ2 матрицы и ее жордановой формы. Рассмотрим сначала общий случай простых собственных значений. Тогда вещественной линейной заменой переменных систему можно привести к одному из следующих видов:

106

1.λ1, λ2 вещественны, различны и одного знака, в частности, нет нулевых собственных значений. Поэтому ν = λ2/λ1 положительно и будем считать эту величину большей единицы, этого всегда можно добиться в рассматриваемом случае переобозначая переменные. При различных собственных значениях жорданова форма матрицы диагональна и делая линейную замену переменных, систему можно привести к виду:

x˙ = λ1x, y˙ = λ2y,

решениями которой являются:

x(t; x0) = x0e 1t, y(t; y0) = y0e 2t.

Для получения формы траекторий, мы должны построить кривую, соответствующую этой параметризованной кривой, на плоскости (x, y). Для этого зафиксируем начальную точку (x0, y0) и исключим параметр из полученных соотношений время

Поскольку ν > 1, то траектории имеют вид полупарабол с вершиной в начале координат, причем для y0 > 0 эти полупараболы расположены ветвями вверх, а при y0 < 0 эти параболы расположены ветвями вниз. Кроме того, имеются траектория – состояние равновесия (0, 0) и четыре траектории, лежащие на собственных прямых y = 0 (для λ1) и x = 0 (для λ2). Узел называется устойчивым, если λ1, λ2 < 0, и неустойчивым, если λ1, λ2 > 0. Фазовый портрет системы (без указания направления движения по времени) изображен на рис. 1. Это состояние равновесия называется узлом, устойчивым, если оба собственных значения отрицательны и неустойчивым узлом, если оба собственных значения положительны. Для устойчивого узла все траектории стремятся к состоянию равновесия при t → ∞, для неустойчивого узла все траектории стремятся к состоянию равновесия при t → −∞, но уходят от него при t → ∞.

2.λ1, λ2 вещественны, разных знаков. Для определенности будем считать, что λ1 < 0, λ2 > 0. Жорданова форма матрицы диагональна и система приводится к виду:

x˙ = λ1x, y˙ = λ2y,

откуда получаем решения:

x(t; x0) = x0e 1t, y(t; y0) = y0e 2t.

Для построения траектории на плоскости (x, y) зафиксируем начальную точку (x0, y0) и исключим параметр t :

107

0.8

0.6

0.4

0.2

x2 0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

x1

Рис. 12.1: Траектории в окрестности узла

Здесь отношение λ2/λ1 отрицательно, поэтому траектории имеют вид гипербол. Имеются также состояние равновесия (0, 0) и четыре траектории, лежащие на двух собственных прямых y = 0 и x = 0. Первая из них соответствует λ1 < 0, поэтому все траектории на ней (кроме состояния равновесия) стремятся к состоянию равновесия при t → ∞. Поэтому эта прямая называется устойчивым многообразием состояния равновесия. Вторая прямая соответствует положительному собственному значению λ2 > 0, поэтому все траектории на ней (кроме состояния равновесия) стремятся к состоянию равновесия при t → −∞. Эта прямая называется неустойчивым многообразием состояния равновесия. Поведение траекторий изображено на рис. 2. Такое состояние равновесия называется седлом.

3.λ1, λ2 комплексно сопряженные числа с отличными от нуля реальными и мнимыми частями. В этом случае собственные векторы для λ1, λ2 являются комплексно сопряженными векторами, в которых можно выделить действительные и мнимые части, являющиеся парой линейно независимых действительных векторов. Выберем их в качестве базиса и рассмотрим координаты относительно этого базиса. В полученной вещественной системе координат система (12.1) примет вид

¯

x˙ = αx − βy, y˙ = βx + αy, α + iβ = λ1 = λ2.

Для получения вида траекторий, перейдем к полярным координатам x = r cos θ, y = r sin θ. В полярных координатах система запишется в виде:

r˙ = αr, θ˙ = β,

решения которых с начальными условиями (r0, θ0) при t0 = 0 равны r(t) = exp[αt]r0, θ(t) = βt + θ0. Исключая t, получаем логарифмическую спираль: r = r0 exp[α(θ −

108