Diff_Uravnenia_lektsii

Глава 10

Существование и единственность решений

Теперь перейдем к одной из основных теорем этого курса – теореме существования и единственности решений задачи Коши. Эта теорема была впервые доказана О.Коши для случая голоморфных (аналитических) систем дифференциальных уравнений, когда было осознано, что даже простейшие дифференциальные уравнения не могут быть решены, вообще говоря, в квадратурах и встал вопрос о расширении понятия решения дифференциального уравнения. Затем этому вопросу было посвящено много работ различных математиков, в результате чего эта теорема приобрела весьма простую форму, к которой мы и переходим. Сначала мы докажем эту теорему для скалярного дифференциального уравнения, используя метод последовательных приближений Пикара1. Затем обсудим те обобщения, которые нужны для доказательства теоремы для систем дифференциальных уравнений первого порядка с n неизвестными.

Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение

где предполагается, что функция f определена и непрерывна в области D R2. Кроме того, предполагается, что в той же области D определена и непрерывна как функция переменных (t, x) частная производная fx. В области D выберем произвольную точку (t0, x0) D, она определяет начальные условия задачи Коши: найти решение x(t)

дифференциального уравнения (10.1), определенное на некотором интервале (t1, t2), содержащем точку t0, и удовлетворяющее начальному условию x(t0) = x0. Справедлива следующая теорема

Теорема 10.1 Для любого дифференциального уравнения (10.1) с функцией f, определенной в области D, где она является непрерывной вместе с ее первой частной производной fx, справедливо следующее утверждение:

1) при любом заданном начальном условии (t0, x0) D существует решение уравнения (10.1), определенное на некотором интервале (t1, t2) t0, удовлетворяющее на-

1Э. Пикар (Charles Emile Picard, 24.07.1856 – 11.12.1941) – известный французский математик.

90

чальному условию, т.е. для всех указанных значений t выполнено: а) (t, x(t)) D, б) x′(t) ≡ f(t, x(t)) для t (t1, t2) и в) x(t0) = x0;

2) такое решение единственно в следующем смысле: если x1(t), x2(t) – два решения уравнения, удовлетворяющие каждое одинаковому начальному условию и определенные соответственно на интервалах (a, b) t0, (c, d) t0, то существует общий интервал (α, β) t0, принадлежащий (a, b) ∩ (c, d), на котором оба решения совпадают: x1(t) ≡ x2(t).

Доказательство. Для доказательства теоремы будет использован метод последовательных приближений Пикара, т.е. будем строить решение, выбирая на каждом шаге построения некоторую функцию xn(t), которая будет удовлетворять начальному условию, ее график будет лежать в области D и которая будет все более точно приближать искомое решение. Для оценки этой близости нужно на каждом шаге оценивать разность между функциями f(t, xn(t)) и x′n(t). Однако технически удобнее оценивать интегралы от этих функций. Поэтому для доказательства теоремы сначала переходят от задачи решения дифференциального уравнения к решению соответствующего ему интегрального уравнения. Именно, предполагая, что решение x(t) дифференциального уравнения существует, запишем получающееся тождество x′(t) ≡ f(t, x(t)) и проинтегрируем его на отрезке [t0, t] с учетом начального условия x(t0) = x0. Получим интегральное соотношение ∫ t

x(t) ≡ x0 + f(s, x(s))ds. (10.2)

t0

Будем рассматривать это соотношение как интегральное уравнение относительно неизвестной функции x(t). Справедливо следующее утверждение, показывающее эквивалентность задач о решении дифференциального и интегрального уравнений:

Лемма 10.1 Всякое непрерывное решение интегрального уравнения, определенное на интервале (t1, t2) t0, график которого лежит в области D, является решением дифференциального уравнения (10.1), удовлетворяющим начальному условию x(t0) = x0.

Доказательство. Если непрерывная функция x(t), t (t1, t2), (t, x(t)) D, является решением интегрального уравнения, то она дифференцируема на указанном интервале как первообразная от непрерывной функции f(t, x(t)). Также она удовлетворяет начальному условию: x(t0) = x0. Производная от функции справа существует и равна f(t, x(t)), поэтому имеем тождество: x′(t) ≡ f(t, x(t)).

Имея в виду доказанное утверждение, мы будем искать решения интегрального уравнения (10.2) вместо решений дифференциального уравнения (10.1). В качестве начального приближения x0(t) в последовательности приближений x0(t), x1(t), . . . , xn(t), . . .

мы выберем постоянную функцию x0(t) ≡ x0, а затем будем строить последовательные приближения по схеме: ∫ t

xn+1(t) = x0 + f(s, xn(s))ds. (10.3)

t0

91

Идея метода состоит в том, чтобы доказать, что полученная таким образом последовательность функций определена и непрерывна на одном и том же отрезке по t и сходится равномерно по t на этом отрезке к некоторой непрерывной функции x(t), которая будет решением интегрального уравнения (10.2). Тогда, в силу леммы, она будет и решением дифференциального уравнения.

Для доказательства того факта, что все члены последовательности определены и непрерывны на одном и том же интервале, и равномерной сходимости последовательности, мы построим некоторый прямоугольник Π : [t0 − δ, t0 + δ] × [x0 − d, x0 + d] D, который будет содержать графики всех функций последовательности. Для этого выберем величины δ, d. Сначала найдем некоторые положительные числа δ0, d0 из условия, чтобы полученный замкнутый прямоугольник Π0 принадлежал D. Поскольку D – открытое множество, такие достаточно малые числа существуют. В таком прямоугольнике, в силу его компактности, непрерывные функции |f| и |fx| ограничены: |f| ≤ M, |fx| ≤ K. Для нахождения чисел δ, d оценим разность

∫ t ∫ t

|x1(t) − x0| ≤ | f(s, x0)ds| ≤ | |f(s, x0)|ds| ≤ M|t − t0|.

t0 t0

Полученная оценка показывает, что если выполнено неравенство δ ≤ d/M, то |x1(t) − x0| ≤ M|t − t0| ≤ Mδ ≤ d. Поэтому график функции x1 при t [t0 − δ, t0 + δ] будет лежать в прямоугольнике Π Π0. Но тогда, предполагая по индукции, что графики всех функций последовательности до номера n лежат в прямоугольнике Π, в силу аналогичного неравенства

∫ t ∫ t

|xn+1(t) − x0| ≤ | f(s, xn(s))ds| ≤ | |f(s, xn(s))|ds| ≤ M|t − t0|

t0 t0

получим, что и график функции xn+1 лежит в Π. Непрерывность каждой функции в полученной последовательности следует по индукции из непрерывности функции x0 и из того факта, что на каждом шаге следующая функция получается интегрированием функции f(t, xn(t)), которая является непрерывной функцией от t, поскольку функция двух переменных f(t, x) является равномерно непрерывной в прямоугольнике Π. Итак, мы получили последовательность непрерывных функций {xn}, определенных на одном и том же отрезке [t0 − δ, t0 + δ], и равномерно ограниченных на этом отрезке.

Покажем теперь, что эта последовательность функций является равномерно сходящейся к некоторой (тогда непрерывной) функции x(t). Для этого покажем, что эта последовательность является последовательностью Коши. Перейдем от последовательности к соответствующему ей функциональному ряду: xn(t) = x0 +(x1(t)−x0)+(x2(t)− x1(t)) + · · · + (xn(t) − xn−1(t)), т.е. xn(t) есть частичная сумма ряда

∑∞

Сходимость последовательности эквивалентна сходимости полученного ряда. Покажем, что полученный ряд мажорируется сходящимся функциональным рядом. Для оценки

92

общего члена ряда используем неравенство Лагранжа |f(t, x) − f(t, y)| ≤ |f˜x||x − y|, где производная вычисляется в некоторой средней точке на отрезке, соединяющем (t, x) и (t, y):

∫ t ∫ t

|xn+1(t) − xn(t)| ≤ | |f(s, xn(s)) − f(s, xn−1(s))|ds| ≤ K| |xn(s) − xn−1(s)|ds|. (10.5)

t0 t0

При n = 0 мы имели оценку |x1(t) − x0| ≤ M|t − t0|, подставляя которую в правую часть (10.5) и интегрируя, получаем при n = 1

|x2(t) − x1(t)| ≤ (M/K)K2|t − t0|2/2.

Подставляя полученную оценку в правую часть (10.5) и интегрируя, получаем при n = m

|xm+1(t) − xm()| ≤ (M/K)Km+1 |t − t0|m+1 .

(m + 1)!

Из этих оценок мы получаем, что ряд (10.4) мажорируется равномерно сходящимся функциональным рядом

|x0| + ∑∞n=1 |xn(t) − xn−1(t))| ≤ |x0| + (M/K)[K|t − t0| + · · · + Km|t − t0|m/m! + · · · ] =

|x0| + M (exp[K|t − t0| ] − 1) /K.

Таким образом, ряд, а вместе с ним и последовательность непрерывных функций xn, равномерно сходится к непрерывной функции x. Докажем, что полученная функция является решением интегрального уравнения (10.2). Для этого перейдем к пре-

переменных и равномерной сходимости последовательности xn(t), интегрируется равномерно сходящаяся последовательность непрерывных функций f(s, xn(s)), т.е. можно перейти к пределу под знаком интеграла. Следовательно, после перехода к пределу получаем тождество (10.2) при всех t.

Для завершения доказательства теоремы нужно показать единственность решения. Предположим, что имеются два решения x1(t), x2(t), удовлетворяющие заданному начальному условию и определенные на своих интервалах (a, b), (c, d), содержащих каждый точку t0. Тогда существует общий интервал (α, β), содержащий точку t0, на котором определены оба эти решения. Рассмотрим разность этих решений x1(t) − x2(t).

Для нее имеем следующую оценку:

∫ t ∫ t

|x1(t) − x2(t)| ≤ | |f(s, x1(s)) − f(s, x2(s))|ds| ≤ K| |x1(s) − x2(s)|ds|.

t0 t0

Рассмотрим t > t0 и обозначим ∆(t) = ∫ t |x1(s) −x2(s)|ds. Функция ∆(t) неотрицатель-

t0

на, монотонно неубывающая и дифференцируемая. Если на множестве [t0, T ) функция |x1(t) − x2(t)| не всюду равна нулю, то функция ∆(t), в силу ее монотонности, строго положительна на некотором подмножестве вида (t , T ], здесь t – точная нижняя грань

93

тех значений t < T , на которых ∆(t) положительна. Поэтому возможны 2 случая: 1) t > t0 и 2) t = t0. В первом случае на отрезке [t0, t ] функция ∆(t) тождественно равна нулю, а тогда, поскольку подынтегральная функция неотрицательна и непрерывна, то |x1(t) − x2(t)| ≡ 0 на этом отрезке. Во втором случае для любого достаточно малого ε > 0 функция ∆(t) строго положительна на отрезке [t0 + ε, t], но при ε → 0 получаем ∆(t0) = 0. Используя определение ∆(t), получаем неравенство

∆′(t) ≤ K∆(t),

интегрируя которое на промежутке [t0 + ε, t] получаем

∆(t) ≤ ∆(t0 + ε)e[K(t−t0−")].

Перейдем в этом неравенстве к пределу при ε → 0 и получим неравенство ∆(t) ≤ 0. Поскольку ∆(t) неотрицательна, то ∆(t) ≡ 0 на [t0, t], а поэтому и |x1(t) − x2(t)| ≡ 0 на этом отрезке. Аналогичное рассуждение применимо на полуинтервале [T, t0), T < t0, и оно также дает тождество |x1(t)−x2(t)| ≡ 0 (проведите соответствующие рассуждения). Тем самым мы получаем утверждение о единственности.

10.1Другие теоремы существования

Условия теоремы существования и единственности, доказанной выше, могут быть ослаблены, при этом выводы теоремы остаются справедливыми. Действительно, если внимательно проанализировать доказательство теоремы, то в нем, по существу, используется только непрерывность функции f в области D и выполнение в этой области следующего неравенства:

при некотором положительном K. Выполнение этого неравенства позволяет провести все оценки, приводящие к сходимости ряда для решения интегрального уравнения (10.2), т.е. получить существование решения, а также его единственность. Про функцию, удовлетворяющую неравенству (10.6), говорят, что она удовлетворяет условию Липшица по переменной x. Таким образом, теорема существования и единственности может быть сформулирована в следующем ослабленном виде:

Теорема 10.2 Для любого дифференциального уравнения (10.1) с функцией f, определенной в области D, где она является непрерывной и удовлетворяет условию Липшица (10.6), справедливо следующее утверждение:

1) при любом заданном начальном условии (t0, x0) D существует решение уравнения (10.1), определенное на некотором интервале (t1, t2), удовлетворяющее начальному условию, т.е. при всех указанных значений t выполнено: а) (t, x(t)) D, б) x′(t) ≡ f(t, x(t)), для t (t1, t2) и в) x(t0) = x0;

2) такое решение единственно в следующем смысле: если x1(t), x2(t) – два решения уравнения, удовлетворяющие каждое одному начальному условию и определенные

94

соответственно на интервалах (a, b) t0, (c, d) t0, то существует общий интервал (α, β) t0, принадлежащий пересечению интервалов (a, b) ∩ (c, d), на котором оба решения совпадают: x1(t) ≡ x2(t).

При еще более слабых условиях теорема существования, но уже без единственности, была доказана Пеано2 (см. например, [19]), в ней требуется только непрерывность функции f в области D. Построены примеры [19], показывающие, что при этих условиях через каждую точку области D проходит бесчисленное множество решений дифференциального уравнения.

И наконец, сформулируем классическую теорему существования Коши для дифференциального уравнения с аналитической правой частью, т.е. когда функция f, задающая дифференциальное уравнение, является голоморфной функцией от (t, x) D. Это означает, что в окрестности любой точки (t0, x0) D функция f разлагается в сходящийся степенной ряд по переменным (t − t0, x − x0).

Теорема 10.3 Предположим, что функция f, задающая дифференциальное уравнение. является голоморфной в области D и выбрана точка (t0, x0) D, задающая начальное условие. Тогда существует и единственно решение дифференциального уравнения x(t), удовлетворяющее условию x(t0) = x0. Функция x(t) является голоморфной в окрестности точки t0, т.е. представляется в этой окрестности сходящимся степенным рядом по t − t0.

Рассмотрим теперь те изменения, которые нужно внести в формулировки теоремы существования и ее доказательство, чтобы оно работало для многомерного случая x, f Rn, n ≥ 2. Напомним соответствующие понятия непрерывности для отображений f : D → Rn A : D → L(n, R) (квадратные (n × n)-матрицы, рассматриваемые как пространство Rn2 с соответствующим расстоянием). Тогда область D лежит в пространстве Rn+1 = R × Rn. Условия на вектор-функцию f : D → Rn остаются теми же самыми: вектор-функция f непрерывна в области D и ее производная fx, т.е. матрица Якоби по переменным x непрерывна в области D.

Теорема 10.4 Для любой системы n дифференциальных уравнений первого порядка (10.1) с вектор-функцией f, определенной в области D R × Rn, где она является непрерывной вместе с ее матрицей Якоби fx, справедливо следующее утверждение:

1) при любом заданном начальном условии (t0, x0) D существует решение уравнения (10.1), определенное на некотором интервале (t1, t2) t0, удовлетворяющее начальному условию, т.е. для всех указанных значений t выполнено: а) (t, x(t)) D, б) x′(t) ≡ f(t, x(t)) для t (t1, t2) и в) x(t0) = x0;

2) такое решение единственно в следующем смысле: если x1(t), x2(t) – два решения уравнения, удовлетворяющие каждое одинаковому начальному условию и определенные соответственно на интервалах (a, b) t0, (c, d) t0, то существует общий интервал (α, β) t0, принадлежащий (a, b) ∩ (c, d), на котором оба решения совпадают: x1(t) ≡ x2(t).

2Джузеппе Пеано (Giuseppe Peano, 1858—1932) — известный итальянский математик

95

Доказательство получается таким же образом переходом к системе интегральных уравнений и построением вектор-функций xn(t), являющихся последовательными приближениями решения векторного интегрального уравнения (т.е. системы интегральных уравнений). Для сходимости последовательности используется векторный аналог неравенства Лагранжа, в котором модули разности заменяются на нормы разности двух вектор-функций, а для справедливости неравенства Лагранжа

˜

||f(t, x) − f(t, y)|| ≤ ||∂f∂x||||x − y||

требуется, чтобы область D R × Rn была локально выпуклой по переменной x, т.е. любая ее точка содержала окрестность, для которой вместе с любыми двумя точками (t, x), (t, y) она содержала отрезок, их соединяющий. После этого доказательство получается простым повторением доказательства для скалярного случая (проведите его самостоятельно).

10.2Глобальность существования решений для линейных уравнений и систем

Доказанная выше теорема существования гарантирует существование решения только для значений t, достаточно близких к начальному значению t0. Оказывается, что в случае линейных дифференциальных уравнений и систем существование гарантируется сразу на всем интервале существования коэффициентов, входящих в правые части уравнений.

Теорема 10.5 Для линейной дифференциальной системы

x˙ = A(t)x + f(t), t (a, b)

с непрерывными функциями A : (a, b) → L(n, R) (здесь, как и выше, L(n, R) – линейное пространство (n × n)-матриц с действительными коэффициентами), f : (a, b) → Rn для любых начальных условий t0 (a, b), x0 Rn существует единственное решение x(t; t0, x0) системы, x(t0; t0, x0) = x0, определенное при всех t (a, b).

Таким образом, для линейной системы любое решение существует на всем интервале изменения t, на котором определена правая часть системы. В этом смысл глобальности существования решений в отличие от нелинейной системы.

Доказательство. Заметим, что доказательство достаточно провести для случая однородной системы f ≡ 0, т.к. если теорема доказана для однородной системы, ее доказательство для неоднородной системы следует из формулы вариации произвольных постоянных. Рассмотрим сегмент [t1, t2] (a, b), t0 (t1, t2). В силу непрерывности матрицы-функции A имеем неравенство ||A(t)|| ≤ M при t [t1, t2], где величина постоянной M зависит, вообще говоря, от выбранного отрезка [t1, t2] и может стремиться

96

к бесконечности, когда t1 или t2 стремится к границе интервала (a, b). Рассмотрим по-

следовательные приближения:

∫ t

x0(t) ≡ x0, xk(t) = x0 + A(s)xk−1(s)ds,

t0

Из этих оценок получаем, что мажорирующим рядом является ряд, дающий разложение

Ряд справа сходится равномерно на любом ограниченном отрезке по времени. Поэтому равномерно сходится ряд слева и предельная функция x(t) является непрерывной функцией на t [t1, t2]. Переходя к пределу при k → ∞ в равенстве, определяющем последовательные приближения, получаем, как и выше в теореме существования, что x(t) является решением на отрезке t [t1, t2] интегрального уравнения, соответствующего линейному дифференциальному уравнению.

Единственность решения доказывается от противного. Предположим, что имеются два решения x(t), y(t) с одним начальным условием x0 при t = t0, определенные на одном и том же отрезке t [t1, t2] (a, b). Оба они тогда являются решениями интегрального уравнения. Рассмотрим разность x(t) − y(t) и оценим ее, используя интегральное уравнение:

Обозначим ∆ = maxt ||x(t) − y(t)||. Разобьем отрезок [t0, t2] на некоторое число частей так, чтобы длина максимального из этих подотрезков не превышала q/M, 0 < q < 1. Применим полученное неравенство к каждому из этих подотрезков, начиная с первого левого. Тогда получим неравенство (1 − q)∆ ≤ 0, т.к. M|t − t0| ≤ Mq/M = q. Тогда получаем на этом подотрезке, что справедливо тождество ∆ ≡ 0. Далее возьмем правый конец подотрезка и примем его за новое t0 и получим, что тождество сохранится на следующем отрезка. Продолжая таким образом, мы получим, что x(t)−y(t) ≡ 0 на всем отрезке [t1, t2]. Интервал (a, b) можно покрыть счетным множеством расширяющихся отрезков [t(1n), t(2n)], t(1n) → a, t(2n) → b, на каждом из которых можно выбрать постоянные Mn. Поскольку при фиксированном n существование и единственность доказана, то при n → ∞ получаем справедливость утверждения на всем интервале (a, b).

97

10.3Продолжение решений

Как уже было отмечено выше, теорема существования и единственности гарантирует существование решение по независимой переменной (у нас – времени) только в некоторой достаточно малой окрестности начального значения t0 : t (t0 − δ, t0 + δ). Для многих задач этого недостаточно, например, если нас интересует поведение решений на асимптотически больших временах, или нам нужно показать, что заданное решение продолжается на некоторый отрезок по времени (например, на период правой части). Тогда возникает вопрос о продолжении решения на возможно б´ольший интервал. Далее мы предполагаем, что рассматриваемая область D определения дифференциального уравнения является областью существования и единственности решений. Следуя [4], дадим следующее

Определение 10.1 Решение x(t), t (a, b) уравнения (10.1) называется продолжимым вправо за точку t = b, если существует решение y(t) этого уравнения, определенное на множестве (a, c), c > b, которое совпадает на t (a, b) с решением x(t). Решение y(t) называется продолжением x(t) вправо.

Аналогично определяется продолжение решения влево за точку a. Справедлива следующая простая

Теорема 10.6 Для продолжения решения x(t) вправо необходимо и достаточно, чтобы существовал предел lim x(t) = ξ при t → b и при этом (b, ξ) D.

Доказательство. Необходимость условия следует из определения решения и продолжения решения. Для доказательства достаточности рассмотрим решение уравнения с начальным условием (b, ξ) D. Это решение существует по теореме 10.1. Рассмотрим следующую функцию z(t) :

{

z(t) =

x(t) при t [a, b), y(t) при t [b, c).

Теперь рассмотрим функцию

∫ t

u(t) = x(a) + f(s, z(s))ds.

a

При t [a, b) эта функция совпадает с x(t), поскольку тогда z = x и по теореме 10.1 слева также будет x(t). При t [b, c) можно переписать u в виде:

∫ b ∫ t ∫ t

u(t) = x(a) + f(s, z(s))ds + f(s, z(s))ds = ξ + f(s, y(s))ds = y(t)

a b b

согласно определению решения y. Таким образом, при t [a, c) функция u является решением уравнения, совпадающим с x на [a, b), т.е. является продолжением x вправо за b.

98

Итак, имея решение дифференциального уравнения x(t), определенное на некотором интервале t (a, b), мы можем продолжать его вправо и влево. Продолженное решение мы также будем обозначать x(t). Интервал I R называется максимальным интервалом существования решения x(t), если решение нельзя продолжить ни вправо ни влево за этот интервал.

Как мы выяснили, решение x(t) задачи Коши с начальными данными (t0, x0), определенное на полуинтервале [t0, t1), можно продолжить вправо за точку t1, если существует предел limt→t1 x(t) = x1 и точка (t1, x1) D. Этот процесс продолжения решения вправо можно продолжать, тогда мы получим последовательность точек (tk, xk) D. При этом решение продолжается на объединение полученных полуинтервалов. Здесь возможны две ситуации: 1) монотонная последовательность чисел tk неограниченно возрастает (это возможно только, если область D не ограничена вправо по t), тогда решение продолжено на бесконечный полуинтервал [t0, ∞); 2) монотонная последовательность чисел tk ограничена сверху, тогда она имеет конечный предел t . Рассмотрим теперь последовательность точек (tk, xk) D. Эта последовательность неограниченно сближается с плоскостью t = t в пространстве R × Rn. Возможны два случая: 1) последовательность точек (tk, xk) D не ограничена, тогда и область D не ограничена и последовательность точек (tk, xk) на интегральной кривой уходит из любой компактной части области D; 2) последовательность точек (tk, xk) D ограничена в пространстве R × Rn. Во втором случае можно показать (см. [19]), что последовательность (tk, xk) стремится к границе области D. В любом из двух случаев можно сказать, что любое решение можно продолжить до границы области определения уравнения.

99