Diff_Uravnenia_lektsii

0.3

0.2

0.1

0.0

x2

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

x1

Рис. 12.5: Траектории в окрестности вырожденного узла

решениями которой являются

x(t; x0) = et(x0 + ty0), y(t; y0) = y0et.

Исключая t из полученных соотношений, находим форму траектории:

x = x0 y + y ln( y ). y0 λ y0

Прямая y = 0 является собственной прямой кратного собственного значения λ, на ней лежат три траектории: состояние равновесия и две траектории на каждом из лучей x > 0, x < 0. Поэтому траектории не пересекают эту прямую и лежат в каждой из полуплоскостей y > 0 и y < 0. Фазовый портрет системы изображен на рис.

12.2.1Нелинейные системы

Определьных циклах, 16 проблеме Гильберта.

12.3Обратимые системы

При исследовании нелинейных систем очень полезно обращать внимание и использовать симметрии системы, если они существуют. Это может существенно упрощать изучение и поиск нужных решений. Одним из таких важных свойств системы является ее обратимость или реверсивность [6].

111

Определение 12.1 Система дифференциальных уравнений первого порядка x˙ = v(x), заданная в области D Rn, называется обратимой (или реверсивной), если в Rn задан линейный оператор L, являющийся инволюцией, т.е. L2 = id, L(D) = D и система удовлетворяет тождеству: Lv(x) = −v(Lx).

Геометрический смысл этого тождества весьма прозрачен (см. рис. ): рассмотрим решение x(t) этой системы, подействуем на соответствующую траекторию оператором L : L(x(t)) и изменим на противоположное направление движения по времени вдоль полученной кривой x1(t) = L(x(−t)); тогда x1(t) также является решением системы: x′1(t) = −L(x′(−t)) = −L(v(x(−t))) = v(L(x(−t))) = v(x1(t)).

В связи с этим определением траектория γ системы называется симметричной, если L переводит точки из γ в точки из γ. В противном случае траектория называется несимметричной. Из определения следует, что для несимметричной траектории имеется двойственная ей траектория Lγ, точки из γ отображаются в точки на Lγ и наоборот. В частности, можно говорить о симметричных состояниях равновесия и симметричных периодических траекториях. Их легко искать ввиду следующих свойств обратимых систем. Точка x называется неподвижной точкой инволюции L, если Lx = x. Множество всех таких из Rn называется множеством неподвижных точек инволюции F ix(L). Поскольку L линейно, то F ix(L) – линейное подпространство в Rn.

Предложение 12.1 Состояние равновесия x0 D является симметричным тогда и только тогда, когда x0 F ix(L). Если траектория γ пересекает F ix(L) в двух точках x1, x2, то γ – периодическая траектория периода T > 0, а время движения точки на траектории от x1 до x2 равно T/2.

Доказательство. Требуется доказать только вторую часть утверждения. Пусть траектория γ пересекает F ix(L) в двух точках x1, x2. Обе эти точки не являются состояниями равновесия, иначе это были бы две различные траектории. Поэтому γ не является состоянием равновесия, а тогда γ – траектория, проходящая при t = 0 через точку x1 достигает точки x2 через время τ. Рассмотрим отрезок траектории γ между точками x1, x2 и применим к этому множеству оператор L. Мы также получим отрезок траектории, может быть другой.

112

Глава 13

Устойчивость по Ляпунову

В этой главе мы изучим некоторые свойства системы, автономной или неавтономной, которые позволяют сказать, что в окрестности данного решения система имеет свойство, аналогичное непрерывной зависимости от начальных условий, но уже на бесконечном интервале t ≥ t0.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

x˙ = f(t, x), (t, x) D R × Rn

и предположим, что система имеет решение x(t), определенное на бесконечном интервале t ≥ t0, (t, x(t)) D.

Определение 13.1 Решение x(t) называется устойчивым по Ляпунову при t ≥ t0, если по любому ε > 0 существует такое δ > 0, что решение системы с начальным условием (t0, x0), для которого ||x0 − x(t0)|| < δ, удовлетворяет неравенству

||x(t; t0, x0) − x(t)|| < ε при всех t ≥ t0.

Рассмотрим случай автономной системы x˙ = v(x) и в качестве "пробного" решения рассмотрим состояние равновесия x0, v(x0) = 0. Тогда будем говорить об устойчивом по Ляпунову состоянии равновесия, если для решения x(t) ≡ x0 выполнены условия предыдущего определения.

Рассмотрим некоторые примеры устойчивых по Ляпунову и неустойчивых по Ляпунову решений. Начнем со скалярных уравнений.

Пример 13.1 Рассмотрим линейное уравнение x˙ = −ax, a > 0. Его решение x(t; t0, x0) = exp[−a(t − t0)]x0 – монотонно убывающая функция при x0 > 0 и монотонно возрастающая при x0 < 0. Выберем ε > 0, тогда при |x0| < ε получаем |x(t; t0, x0)| < ε, т.е. можно взять δ < ε.

Пример 13.2 Центр на плоскости.

Докажем теперь следующее достаточное условие асимптотической устойчивости линейной автономной системы.

113

Теорема 13.1 Нулевое решение линейной однородной n-мерной системы x˙ = Ax асимптотически устойчиво по Ляпунову, если все собственные значения λi матрицы A удовлетворяют неравенству Re 0λi < 0.

Доказательство. Существует линейная невырожденная замена координат x = By (с вообще говоря комплексной матрицей B), которая приводит систему к виду, в котором новая матрица равна B−1AB = J с жордановой матрицей J = Λ + N, причем матрица Λ – диагональна, а матрица N – нильпотентна: Nk = 0 при некотором целом k ≤ n. Кроме того, матрицы Λ, N коммутируют: ΛN = NΛ. Линейная система с матрицей J имеет фундаментальную матрицу решений exp[tJ] = exp[tΛ + tN] = exp[tΛ] exp[tN]. Напомним также, что фундаментальная матрица исходной системы exp[tA] имеет вид B−1 exp[tJ]B, поэтому для доказательства устойчивости нужно оценить || exp[tJ]||. Заметим, что экспоненциальный ряд для exp[tN] обрывается и является поэтому многочленом от t с матричными коэффициентами. Отсюда имеем оценку || exp[tN]|| ≤ Ps(|t|) с положительными коэффициентами (нормами матриц-коэффициентов). Оценка для нормы диагональной матрицы exp[tΛ] имеет вид:

|| exp[tΛ]|| ≤ exp[−(min |Re λi)t] = exp[−γt], t > 0.

i

Выберем 0 < ε < γ и оценим функцию exp[−γt]Ps(t) на полуоси t ≥ 0. Для этого представим exp[−γt]Ps(t) = exp[−(γ − ε)t] exp[−εt]Ps(t). Тогда максимум функции exp[−εt]tm ≤ exp[−m](m/ε)m = rm(ε). Поэтому функция | exp[−εt]Ps(t)| оценивается некоторой положительной постоянной, откуда следует, что || exp[tΛ]|| оценивается как C exp[−bt], b > 0. Теперь оценка норма матрицы exp[tA] получается как

|| exp[tA]|| ≤ ||B−1||||C exp[−bt]||||B|| ≤ M|| exp[−bt]||.

Теперь задавая ε > 0, мы получаем для δ величину ε/M.

Теперь вернемся к двумерным линейным автономным однородным системам, у которых начало координат всегда является специальным решением – состоянием равновесия. Как уже мы выяснили в предыдущей главе, имеются устойчивые узлы и фокусы, а также устойчивые вырожденные и дикритические узлы. Сейчас мы понимаем, что эти названия не случайны – соответствующие решения x = 0, y = 0 являются асимптотически устойчивыми по Ляпунову, поскольку у них выполнено условие Re λ1 < 0, i = 1, 2.

114

Глава 14

Первые интегралы

При изучении систем дифференциальных уравнений полезное упрощение задачи исследования поведения решений достигается, когда система имеет некоторую гладкую (по крайней мере класса C1) функцию, являющуюся постоянной на решениях данной системы. Такую функцию называют первым интегралом системы. Мы уже встречались с такой ситуацией в главе 1 при изучении уравнений в полных дифференциалах. Рассмотрим теперь случай существования первых интегралов более подробно и выведем некоторые следствия из их существования. Как мы увидим ниже локально, т.е. в окрестности неособой точки интегралы существуют всегда (при некоторых весьма слабых ограничениях на правые части системы). Именно поэтому такие локальные интегралы приносят мало пользы для исследования системы. Важны те интегралы, которые существуют глобально в некоторой области.

Пусть имеется система дифференциальных уравнений первого порядка

определенная в некоторой области D Rn+1, где вектор-функция f по крайней мере 1 раз непрерывно дифференцируема.

Определение 14.1 C1-гладкая функция F , определенная в области D (или в меньшей подобласти) называется первым интегралом системы 14.1, если для любого решения x(t) этой системы, у которого интегральная кривая лежит в D (или соответственно – в меньшей подобласти), выполнено тождество F (t, x(t)) ≡ c, где постоянная c зависит, вообще говоря, от выбранного решения.

Поскольку первый интеграл постоянен на решении и является функцией класса C1, то функция F (t, x(t)) дифференцируема и производная от нее равна нулю тождественно. Вычисляя эту производную, получаем тождество:

Это свойство имеет место на всех интегральных кривых, лежащих в области существования интеграла. Поскольку интегральные кривые проходят через каждую точку

115

рассматриваемой области (по теореме существования), то последнее тождество выполнено для всех точек (t, x). Верно и обратное утверждение: если в каждой точке области

D1 D определена C1-гладкая функция F и для нее в точках этой области выполнено тождество (14.2), то F является первым интегралом системы 14.1 в указанной области. Для доказательства нужно использовать тот факт, что через каждую точку области D1 как подобласти D проходит единственная интегральная кривая (t, x(t)), и при подстановке в F мы имеем непрерывно дифференцируемую функцию от t, производная от которой тождественно равна нулю в силу (14.2). Поэтому эта функция постоянна на любом решении x(t).

В случае автономной системы 14.1 ее интегралом называют функцию F (x), определенную в некоторой области D Rn, постоянную на решениях системы. В этом случае тождество (14.2) имеет вид

Пример 14.1 В качестве первого примера рассмотрим систему двух уравнений первого порядка полученную стандартной заменой из уравнения математического маятника (см. главу 1):

φ˙ = y, y˙ = − sin φ.

Для этой системы имеется первый интеграл H = y2/2+1−cos φ, для него производная в силу системы тождественно равна нулю (проверьте). Слоение на линии уровня этого интеграла выглядит следующим образом (см. рис.). В силу 2π-периодичности интеграла и системы по φ естественным фазовым пространством системы является цилиндр C = [−π, π] × R, где нужно отождествить границы полосы: (−π, y) = (π, y).

Обобщим этот пример.

Пример 14.2 Рассмотрим систему двух уравнений первого порядка

x˙ = Hy, y˙ = −Hx,

где H(x, y) – гладкая функция, определенная в некоторой области D R2. Легко проверить, что функция H является первым интегралом этой системы. Системы такого вида называются гамильтоновыми, а функция H – ее гамильтонианом. Рассмотрим обобщение на случай гамильтоновых систем дифференциальных уравнений, т.е. систем вида

x˙ i = Hyi , y˙i = −Hxi , i = 1, . . . , n, H = H(x1, . . . , xn, y1, . . . , yn)

с гладкой функцией – гамильтонианом – H. Непосредственно проверяется, что гамильтониан является первым интегралом этой системы.

116

14.1Локальные интегралы

Рассмотрим теперь вопрос о существовании интегралов системы (14.1) локально в окрестности заданной точки (t0, x0) D. Предположим, что в окрестности этой точки система имеет k первых интегралов F1, . . . , Fk.

Определение 14.2 Интегралы F1, . . . , Fk называются независимыми в точке (t0, x0) D, если ранг матрицы

Справедлива следующая теорема

Теорема 14.1 В окрестности точки (t0, x0) D система (14.1) имеет n независимых первых интегралов.

Доказательство. По теореме существования и единственности в окрестности точки (t0, x0) D имеется единственное решение задачи Коши x(t; t0, x0), которое зависит гладко от точки x0 при фиксированном t0. Обозначим c1 = x01, . . . , cn = x0n и рассмотрим систему уравнений

x1 = x1(t; t0, c1, . . . , cn), . . . , . . . , xn = xn(t; t0, c1, . . . , cn).

Поскольку эти функции задают решение задачи Коши, то x01 = x1(t0; t0, c1, . . . , cn), . . . , x0n = xn(t0; t0, c1, . . . , cn). Поэтому якобиан

Следовательно по теореме о неявной функции эта система уравнений имеет единственное решение в окрестности точки (t0, x0) : c1 = F1(t, x1, . . . , xn), . . . , cn = Fn(t, x1, . . . , xn)

(мы опускаем зависимость от t0). Покажем, что полученные функции являются первыми интегралами и что они независимы. Второе утверждение следует из того, что эти функции являются решениями системы. Поэтому их якобиан по переменным (x1, . . . , xn) при t = t0 равен E. Первое утверждение следует из того, что функции F1, . . . , Fn являются решениями уравнений, в которых правые части задают при фиксированном (t0, c) единственное решение, которое в момент t оказывается в точке x. Поэтому ему соответствует одно и то же c, т.е. F (t; x(t; t0, c)) = c.

Из доказательства этой теоремы сразу получаем

Следствие 14.1 Пусть в области D заданы n независимых первых интегралов F1, . . . , Fn. Обозначим F (m) – значение этих интегралов в точке m = (t0, x0) D. Тогда решение системы F1(t, x) = F1(m), . . . , Fn(t, x) = Fn(m) является решением системы (14.1) с начальными условиями (t0, x0), определенным в окрестности этой точки.

117

Доказательство. Доказательство следствия вытекает из единственности решения системы по теореме о неявной функции.

Теперь рассмотрим случай автономной системы. Здесь понятие независимости интегралов изменяется, а теорема 14.1 модифицируется. Во-первых, рассматривается окрестность неособой точки автономной системы, т.е. точки x0, в которой вектор-функция f(x0) ≠ 0. Тогда одна из координат этой вектор-функции в точке x0 не равна нулю. Предположим, что в окрестности этой точки автономная система имеет k < n интегралов h1(x1, . . . , xn), . . . , hk(x1, . . . , xn). Эти интегралы называют независимыми, если ранг матрицы Якоби (∂h/∂x) равен k.

Пусть, для определенности, fn(x0) ≠ 0 и рассмотрим окрестность этой точки, в которой fn(x) ≠ 0. Поделим почленно обе части каждого уравнения системы на dxn/dt = fn(x). Получим неавтономную систему со временем xn :

Теорема 14.2 В окрестности неособой точки x0 автономной системы существует n − 1 независимых интегралов h1(x1, . . . , xn), . . . , hn−1(x1, . . . , xn).

Доказательство. По теореме 14.1, примененной к системе (14.2), в окрестности точки x0 система имеет n−1 независимых первых интегралов h1(x1, . . . , xn), . . . , hn−1(x1, . . . , xn). Записывая тождество для первого интеграла этой системы и умножая его на fn(x), получим тождество для автономного интеграла. Эти интегралы независимы, т.к. для них якобиан по переменным (x1, . . . , xn−1) отличен от нуля в точке (x01, . . . , x0n−1, x0n).

118

Глава 15

Уравнения с частными производными первого порядка

В предыдущей главе мы видели полезность первых интегралов для изучения системы дифференциальных уравнений первого порядка. Все такие интегралы удовлетворяют некоторому дифференциальному тождеству (14.2), связывающему правые части системы и частные производные интеграла. Подобные дифференциальные соотношения называют уравнениями с частными производными первого порядка. В этой главе мы рассмотрим основные свойства таких уравнений. Оказывается, что решения такого уравнения "собираются"из решений связанной с уравнением системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, решения которой называются характеристиками изучаемого уравнения в частных производных первого порядка.

15.1Однородные линейные уравнения

Напомним понятие производной от скалярной функции f(x), x = (x1, . . . , xn) Rn по направлению вектора v = (a1, . . . , an) : Lvf. Рассмотрим произвольную гладкую кривую c(t), t [0, ε) c(0) = x, c′(0) = v. Тогда

Понятно, что это определение не зависит от выбора конкретной кривой c с заданными условиями c(0) = x, c′(0) = v.

Определение 15.1 Однородным линейным дифференциальным уравнением с частными производными первого порядка в области D Rn называется соотношение

, где U – искомая C1-гладкая функция, определенная в области D, а v – векторное поле, заданное в области D.

119