Diff_Uravnenia_lektsii

Глава 3

Об уравнениях, не разрешенных относительно производной

В этой главе мы рассмотрим простейшие вопросы, касающиеся решения уравнений, не разрешенных относительно производной. В трехмерном пространстве R3 с координатами (x, y, p) рассмотрим следующее соотношение:

Это соотношение будем называть дифференциальным уравнением, не разрешенным относительно производной, если решение уравнения F = 0 не везде, где оно определено, может быть представлено в виде p = f(x, y). Уравнение F = 0 определяет множество точек (x, y, p) в трехмерном пространстве, являющихся решениями этого уравнения. Обычно это множество образует некоторую двумерную поверхность. Будем предполагать эту поверхность гладкой, т.е. во всех ее точках дифференциал dF = Fxdx+Fydy+Fpdp отличен от нуля. Последнее означает, что в каждой точке поверхности хотя бы одна из производных Fx, Fy, Fp отлична от нуля. В этом случае в окрестности любой точки (x0, y0, p0) этой поверхности в R3 выполнены условия теоремы о неявной функции для уравнения F = 0, поэтому одна из переменных, производная по которой отлична от нуля, может быть выражена как гладкая функция двух остальных. Это означает, что соответствующий кусок этой поверхности в окрестности рассматриваемой точки является графиком гладкой функции. Поскольку это, по предположению, выполнено для всех точек поверхности, то это и означает, что задана гладкая поверхность в

R3.

Определение 3.1 Решением уравнения (3.1) будем называть непрерывно дифференцируемую функцию y(x), определенную на некотором интервале x (a, b), и такую, что кривая (x, y(x), p(x)), p(x) = y′(x), при всех x (a, b) удовлетворяет уравнению F = 0, т.е. лежит на поверхности.

Рассмотрим сначала те точки этой поверхности, в которых Fp ≠ 0. Такие точки будем называть регулярными. В окрестности такой точки уравнение F = 0 можно разрешить,

30

по теореме о неявной функции, относительно переменной p : p = f(x, y). Рассмотрим теперь обыкновенное дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной:

Справедливо следующее утверждение:

Предложение 3.1 Любое решение y(x) уравнения (3.2), для которого (x, y(x)) лежит в области определения функции f и (x, y(x), f(x, y(x))) ≡ 0, дает кривую (x, y(x), y′(x)), лежащую на поверхности F = 0, т.е. y(x) является решением уравнения (3.1). Обратно, если гладкая кривая (x, y(x), p(x)) лежит на поверхности и для нее p(x) = y′(x), то функция y является решением уравнения (3.2).

Доказательство. Функция f является решением уравнения F = 0: F (x, y, f(x, y)) ≡ 0 и f определена в некоторой области D плоскости (x, y). Рассмотрим решение y(x), x (a, b), уравнения (3.2): y′(x) ≡ f(x, y(x)), для которого (x, y(x)) D. Кривая (x, y(x), y′(x)) = (x, y(x), f(x, y(x))) лежит поэтому на поверхности, т.е. y(x) есть решение уравнения (3.1), согласно определению решения. Обратно, если функция y(x) является решением уравнения (3.1), то для нее F (x, y(x), y′(x)) ≡ 0, а т.к. f решение уравнения F = 0, то y′(x) = p(x) = f(x, y(x)). Поэтому y(x) есть решение уравнения (3.2).

Отметим, что из предположения о гладкости функции F следует, что в окрестности регулярной точки решение уравнения F = 0 определяет гладкую функцию f(x, y), поэтому для уравнения (3.2) выполнены условия теоремы существования и единственности. В частности, в окрестности регулярной точки поверхности через каждую ее точку проходит единственная кривая – решения уравнения (3.1).

Точки поверхности F = 0, для которых Fp = 0, будем называть особыми точками поверхности. Около этих точек поверхность нельзя, вообще говоря, представить в виде графика функции p = f(x, y) и как показывают примеры, проекция (x, y, p) → (x, y) может склеивать точки. Тем не менее, ввиду нашего предположения о гладкости поверхности, около особых точек поверхность можно представить либо в виде y = g(x, p), либо в виде x = g(y, p). Обычно множество особых точек на поверхности образует гладкую кривую1. Образ множества особых точек относительно проекции (x, y, p) → (x, y) называется дискриминантной кривой. Это кривая на плоскости (x, y), которая получается, если из системы уравнений F = 0, Fp = 0 исключить p.

Итак, в окрестности любой регулярной точки на поверхности F = 0 мы имеем кривые (x, y(x), y′(x)), для которых y′(x) = f(x, y(x)), и функция f является решением уравнения F = 0. Преимущество перехода с плоскости (x, y) на поверхность F = 0 состоит в следующем. На плоскости (x, y) над одной точкой (x0, y0) может лежать несколько различных точек с разными координатами p1, p2, . . . , pn, соответственно – несколько листов поверхности F = 0 : p = f1(x, y), . . . , p = fn(x, y) проходящих через эти точки:

1Это будет в тех точках поверхности, координаты которых удовлетворяют системе уравнений F = 0; Fp = 0 и в (2 × 3)-матрице Якоби этой системы один из определителей второго порядка отличен от нуля.

31

pi = fi(x0, y0), если точки поверхности (x0, y0, pi), i = 1, . . . , n, – регулярные. На поверхности в окрестности каждой такой регулярной точки мы имеем единственную кривую, проходящую через точку поверхности, при проекции (x, y, p) → (x, y) на плоскость с каждого листа мы получим свое решение уравнения y′ = fi(x, y), которые на плоскости проходят через одну и ту же точку.

Пример 3.1 Рассмотрим уравнение (y′)2 = ax + b, a ≠ 0. Следуя вышеизложенному, рассмотрим поверхность в пространстве (x, y, p) : p2 = ax + b. Это цилиндрическая поверхность, лежащая над полуплоскостью ax+b ≥ 0. Над каждой точкой открытой

ющихся кривых, а на поверхности p2 = ax + b получаем семейство непересекающихся кривых, лежащих в разных половинах поверхности. При приближении к кривой особых точек p2 = ax + b, p = 0, кривые одного семейства продолжают кривые другого семейства. Действительно, кривая семейства, соответствующего значениям p > 0, имеет вид (x, C1 + (2/3a)(ax + b)3=2, √ax + b), а кривые семейства, соответствующие значениям p < 0, имеют представление (x, C2 − (2/3a)(ax + b)3=2, −√ax + b). Предельное значение при p → 0 для кривой первого семейства есть (−b/a, C1, 0), а для кривых второго семейства (−b/a, C2, 0). Поэтому переход от кривой первого семейства к кривой второго будет непрерывным, если положить C1 = C2. Теперь выясним, будут ли непрерывно переходить касательные. Мы не можем просто перейти к пределу для производных при p → 0, т.к. производная корня стремится к бесконечности (касательная становится вертикальной). Поэтому перейдем к другим координатам. В окрестности кривой особых точек удобными координатами являются (y, p), в которых поверхность записывается как x = (p2 −b)/a. Рассмотрим кривые из верхней и нижней половин поверхности с C1 = C2. Параметром на кривых возьмем координату p. Кривые для каждой из половин p > 0, p < 0 этой поверхности задаются тогда соотношениями: ((p2 − b)/a, C1 + (2/3a)p3, p), p > 0, и ((p2 − b)/a, C1 − (2/3a)p3, p), p < 0.

Производные по p этих кривых равны (2p/a, 2p2/a, 1) и (2p/a, 2p2/a, 1), их пределы при p → 0 одинаковы. Поэтому кривые непрерывно вместе с производными переходят одна в другую. Получаем, что через любую точку поверхности проходит единственная кривая. Тем не менее, поскольку уравнение обычно выводится относительно функции y(x), то часто нужно знать и как ведет себя проекция кривой на плоскость (x, y). Тогда в рассматриваемой задаче получаем, что при стремлении решения к дискриминантной кривой ax + b = 0, p = 0 получаем точку на ней (−b/a, C1), а производные по x в этой точке равны нулю для кривых из обоих семейств. Но поведение кривой разных семейств с C1 = C2 различно: объединение этих двух кривых дает кривую типа полукубической параболы. Итак, в этом случае дискриминантная кривая не является решением ни одного из двух уравнений в полуплоскости. Соответственно, на поверхности кривые из каждой из двух половин поверхности подходят к особой кривой без касания.

32

Другая ситуация возникает, когда кривая особых точек на поверхности сама является решением уравнения (3.1). Тогда обычно эта кривая является множеством неединственности, т.е. через нее проходит больше одного решения этого уравнения.

Пример 3.2

33

Глава 4

Линейные дифференциальные уравнения и системы

Линейными называют дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной, или системы таких дифференциальных уравнений, у которых правые части являются функциями, линейными относительно самой неизвестной функции и ее младших производных. Это, в некотором смысле, самый простой класс дифференциальных уравнений.

4.1Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида

в котором дифференциальный оператор L, действующий на n раз непрерывно дифференцируемую функцию x, является линейным, т.е. при любых постоянных α, β выполнено равенство L[αx + βy] = αL[x] + βL[y], и где предполагается, что функции ai, f являются непрерывными функциями от t на некотором общем интервале (a, b) R, а функция a0 не обращается в нуль на этом интервале (последнее условие означает, что уравнение относится к типу уравнений, разрешенных относительно старшей производной). Поэтому обе части уравнения можно поделить на a0, после чего будем далее предполагать, что a0 ≡ 1. Теория линейных дифференциальных уравнений в случае, когда a0 имеет нули, гораздо более сложна, когда изучаются свойства решений в окрестности нуля функции a0, и это является предметом другого курса.

Линейное дифференциальное уравнение (4.1) называется неоднородным, если функция f не равна нулю тождественно на интервале (a, b), в противном случае уравнение называется однородным. Как обычно в математике при решении линейных задач (вспомни теорию линейных уравнений в алгебре), сначала нужно решить однородную задачу, а затем найти какое-нибудь решение неоднородной задачи. Поэтому сначала

34

приступим к изучению линейного однородного уравнения. Основной результат теории для такого уравнения состоит в том, что однородное уравнение имеет конечное число решений (фундаментальную систему решений, базис), через которые все остальные решения получаются линейными комбинациями с постоянными коэффициентами.

Прежде всего сформулируем для данного случая теорему существования и единственности, которая отличается от общей теоремы существования тем, что она глобальна в том смысле, что решение задачи Коши существует сразу на всем интервале (a, b) изменения коэффициентов уравнения.

Теорема 4.1 Для любого набора из n+1 чисел (t0, y1, y2, . . . , yn), t0 (a, b), (y1, y2, . . . , yn)

Rn, существует единственное решение x(t) задачи Коши для линейного однородного уравнения (4.1), удовлетворяющее начальным условиям: x(t0) = y1, x′(t0) = y2, . . . , x(n−1)(t0) = yn. Это решение существует при всех t (a, b).

Для развития теории необходимо ввести понятие линейной зависимости и независимости для конечных наборов функций, заданных на одном и том же промежутке. В дальнейшем предполагаем, что все рассматриваемые функции являются по крайней мере непрерывными на рассматриваемых промежутках.

Определение 4.1 Функции x1, . . . , xk, определенные на интервале t (a, b) (отрезке, полуинтервале), называются линейно зависимыми над полем чисел R (соответствен-

но, C), если существует ненулевой набор постоянных (c , . . . , c ) из поля, для которого

∑k 1 k

выполнено тождество i cixi(t) ≡ 0.

Если такого набора постоянных не существует, то функции x1, . . . , xk являются линейно независимыми. Это эквивалентно такому условию: если при некотором наборе постоянных (c1, . . . , ck) из поля выполнено тождество ∑ki cixi(t) ≡ 0, то все постоянные равны нулю. Отметим, что это определение зависит от выбранного интервала (a, b). Фактически, мы рассматриваем множество непрерывных функций C(a, b) на промежутке (a, b) как линейное пространство, т.е. определяем в нем сложение функций (поточечно) и умножение функции на число из поля (также поточечно). Как в линейной алгебре, в полученном линейном функциональном пространстве тогда можно рассматривать линейные комбинации функций.

Задача 4.1 Доказать линейную независимость функций: а) x1 = t, x2 = t2 t [−1, 1]; б) x1 = sin t, x2 = cos t, t R; в) x1 = et, x2 = tet.

Задача 4.2 Определить линейную зависимость/независимость функций: x1 = 1, x2 = sin2 t, x3 = cos 2t, t R.

Возникает естественный вопрос: можно ли каким-то способом определить, что заданный набор функций является линейно зависимым?

35

Лемма 4.1 (Необходимое условие линейной зависимости функций) Если набор функций x1, . . . , xk, определенных на интервале t (a, b), является линейно зависимым, и на нем функции k−1 раз непрерывно дифференцируемы, то определитель W [x1, . . . , xk]:

равен нулю тождественно при t (a, b).

Доказательство. Если набор функций x1, . . . , xk линейно зависим, то существует нену-

левой набор постоянных (c , . . . , c ) (т.е. не все постоянные этого набора равны нулю),

1 k ∑k

для которого выполнено тождество i cixi(t) ≡ 0. Поскольку все функции дифференцируемы k − 1 раз, то продифференцировав это тождество k − 1 раз, получим при фиксированном t (a, b) систему k линейных однородных алгебраических уравнений, имеющую, ненулевое решение: ей удовлетворяет набор (1, . . . , k). Но тогда, по известной теореме из теории линейных алгебраических уравнений, определитель этой системы равен нулю, т.е. при всех t (a, b).

Заметим, что обратное, вообще говоря, неверно.

Пример 4.1 Функции x1 = t2 и x2 = t|t| на интервале (−1, 1) обладают тем свойством, что для них W [x1, x2] ≡ 0 (проверьте). Докажите, что эти функции линейно независимы.

Полученный определитель W [x1, . . . , xk] называется определителем Вронского системы функций x1, . . . , xk. Оказывается, что в отличие от случая произвольного набора функций, для набора из n решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка равенство или неравенство нулю определителя Вронского для его решений является характеристическим свойством их линейной зависимости или независимости. Именно, справедливо следующее

Предложение 4.1 Для набора из n решений x1(t), . . . , xn(t) линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка справедлива следующая альтернатива: либо определитель Вронского W [x1, . . . , xn](t) не равен нулю при всех t (a, b) и тогда эти решения линейно независимы, либо W [x1, . . . , xn](t) равен нулю в некоторой точке t0 (a, b) и тогда он равен нулю тождественно при всех t (a, b) и эти решения линейно зависимы.

Доказательство. Тот факт, что при линейной зависимости решений их определитель Вронского тождественно равен нулю, доказан выше. Докажем теперь, что если определитель Вронского набора из n решений равен нулю в некоторой точке t0 (a, b), то эти решения линейно зависимы. Действительно, в этом случае векторы-столбцы этого определителя, вычисленные в точке t0, линейно зависимы. Поэтому существует ненулевой набор чисел (c1, . . . , cn) из поля, для которого линейная комбинация столбцов есть

36

нулевой вектор. Рассмотрим теперь линейную комбинацию решений с этими коэффициентами x(t) = c1x1(t)+· · ·+cnxn(t). Эта функция является решением и она сама и ее n−1 производных обращаются в нуль в точке t0 (a, b). В силу единственности такое решение однородного уравнения может быть только нулевым: x(t) = c1x1(t)+· · ·+cnxn(t) ≡ 0. Отсюда следует, что набор функций x1(t), . . . , xn(t) линейно зависим. Поэтому для линейно независимого набора из n решений определитель Вронского не равен нулю во всех точках t (a, b).

Ввиду важности определителя Вронского для изучения линейной зависимости/зависимости решений, следующая формула Лиувилля-Остроградского, позволяющая вычислять этот определитель по коэффициентам уравнения, является очень полезной.

Предложение 4.2 Пусть x1(t), . . . , xn(t) – набор из n решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Справедлива следующая формула ЛиувилляОстроградского:

∫ t

W [x1, . . . , xn](t) = W [x1, . . . , xn](t0) exp[− a1(s)ds] (4.2)

t0

Доказательство. Продифференцируем определитель Вронского. В силу формулы вычисления определителя [10], производная определителя равна сумме n определителей Wk, каждый из которых получен из основного заменой его k строки на строку из производных соответствующих функций этой строки. Отсюда следует, что первые n − 1 определителей будут равны нулю, т.к. у них есть одинаковые строки. Для определителя Wn его n-я строка состоит из n-х производных функций x1(t), . . . , xn(t), которые, в

силу того, что они решения уравнения, мы заменим на их выражение через производные меньшего порядка: x(kn) = −a1x(kn−1) −a2x(kn−2) −. . .−anxk. Тогда Wn равен линейной

комбинации n определителей с коэффициентами −a1, −a2 и т.д. до −an, причем все из этих определителей, кроме первого с коэффициентом −a1, равны нулю (у них последняя строка, состоящая из производных тех же функций порядков n − 2, n − 3, . . . , 0, совпадает с одной из средних строк). Поэтому Wn = −a1W и получаем скалярное дифференциальное уравнение W ′ = −a1W , решением которого как раз и служит функция (4.2) в формуле Лиувилля-Остроградского.

Эта формула еще раз показывает, что если в начальный момент времени t0 определитель Вронского отличен от нуля, то он отличен от нуля при всех t (a, b). Чтобы оценить значение этой формулы еще больше, отметим, что в случае, когда коэффициенты уравнения зависят от времени, невозможно в общем случае выразить решения дифференциального уравнения через его коэффициенты!

4.2Пространство решений однородного уравнения

Теперь перейдем к свойствам решений однородного линейного дифференциального уравнения. Кратко эти свойства можно сформулировать так: множество решений однородного линейного дифференциального уравнения образует конечномерное линейное про-

37

странство. Нам нужно это доказать, определить размерность этого пространства и указать способ нахождения его базиса.

Выше было показано, что множество решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка является линейным пространством, поскольку сумма решений является решением и при умножении решения на число из основного поля (R или C) также получаем решение. Покажем теперь, что

Теорема 4.2 В пространстве решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка существует n линейно независимых решений. Все остальные решения являются линейными комбинациями этих n решений.

Доказательство. Для построения n линейно независимых решений применим теорему существования линейного дифференциального уравнения. Зададим в начальный момент t0 (a, b) набор из n линейно независимых n-мерных векторов (Y10, . . . Yn0) из Rn или, соответственно, Cn, и примем их за начальные условия задачи Коши: xk(t0) =

y10k, . . . , x(kn−1)(t0) = ynk0 , здесь Yk0 = (y10k, . . . , ynk0 )T . Тогда теорема существования гарантирует, что существует единственное решение уравнения с этим начальным условием,

т.е. мы получаем n решений уравнения. Поскольку в начальный момент времени определитель Вронского совпадает с определителем, составленным из независимых векторов, то по формуле Лиувилля-Остроградского этот определитель отличен от нуля, т.е. решения линейно независимы. Тем самым, мы доказали первое утверждение теоремы.

Теперь покажем, что любое другое решение x(t) дифференциального уравнения является линейной комбинацией решений x1(t), . . . , xn(t). Для этого составим n-мерный вектор (x(t0), x′(t0), . . . , x(n−1)(t0))T . Он является линейной комбинацией векторов (Y10,

. . . , Yn0), которые образуют базис в R или C. Пусть (c1, . . . , cn) – коэффициенты этой линейной комбинации, по ним составим решение уравнения y(t) = c1x1(t)+· · ·+cnxn(t). Это решение обладает тем свойством, что в точке t0 оно и его производные до порядка n − 1 совпадают с соответствующими значениями решения x(t). В силу единственности решения с такими начальными данными эти два решения совпадают, т.е. x(t) = c1x1(t) + · · · + cnxn(t).

Итак, мы показали, что пространство решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка является линейным n-мерным пространством (вещественным, если все коэффициенты вещественные, или комплексным, если они комплексные). Любые n линейно независимых решений образуют базис этого пространства. В теории дифференциальных уравнений такой базис называется фундаментальной системой решений.

Вопрос. Любые ли n линейно независимых n раз дифференцируемых функций переменной t, определенных на некотором общем интервале изменения t (a, b) являются фундаментальной системой решений некоторого однородного дифференциального уравнения n-го порядка? Понятно, что необходимым условием для этого должно быть отличие от нуля при t (a, b) их определителя Вронского. Оказывается, этого и достаточно. Именно, справедливо

Предложение 4.3 Пусть u1, u2, . . . , un – n линейно независимых Cn-гладких функций, определенных на интервале (a, b), для которых определитель Вронского отличен

38

от нуля на этом интервале. Тогда существует линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка, для которого эти функции образуют фундаментальную систему решений.

Доказательство. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка,

Разлагая определитель по последнему столбцу, получаем уравнение относительно переменной x: a0(t)x(n) +a1(t)x(n−1) +· · ·+an(t)x = 0, a0(t) = W [u1, u2, . . . , un] ≠ 0, решениями которого являются функции u1, u2, . . . , un.

4.2.1Понижение порядка линейного однородного уравнения

Предположим, что линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка (4.1) имеет частное решение x1(t) ≠ 0. Сделаем замену переменной x = x1y. Формула Лейбница дает

∑k

x(k) = Cksx(1s)y(k−s), k = 1, . . . , n.

s=0

Подставим эти выражения в (4.1). Тогда получим уравнение

b0(t)y(n) + b1(t)y(n−1) + · · · + bn−1(t)y(′) + bn(t)y = 0, b0 = a0x1 ≠ 0.

Это уравнение должно иметь решение y ≡ 1, поэтому bn(t) ≡ 0. Теперь порядок уравнения понижается заменой y′ = z.

4.3Решения неоднородного уравнения

Рассмотрим теперь линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка L[x] = f и пусть x1, . . . , xn – фундаментальная система решений однородного уравнения. Покажем сначала, что для получения общего решения неоднородного уравнения достаточно найти какое-нибудь (частное) решение неоднородного уравнения.

Предложение 4.4 Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения есть сумма его частного решения и общего решения однородного уравнения.

Доказательство. Пусть известно частное решение неоднородного уравнения x0(t) и x(t) – любое другое его решение. Тогда их разность y(t) = x(t) − x0(t) является решением однородного уравнения, что проверяется подстановкой, и следует из линейности

39