Физика гетероструктур

с потенциалом, обладающим трансляционной симметрией.

Рис. 8.1. Периодический потенциал (а) и амплитудномодулированная волновая функция (б).

Произведя преобразование x → x + a, получаем уравнение

Сопоставляя уравнения (8.2) и (8.3), легко видеть, что функции ψ(x) и ψ(x +a) удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера с одним и тем же собственным значением энергии E. Если это значение энергии невырождено, т. е. ему соответствует одна волновая функция, то функции ψ(x) и ψ(x + a) могут различаться лишь постоянным множителем:

ψ(x + a) = cψ(x) .

Если обе функции нормированы, модуль c должен быть равен единице и, следовательно,

ψ(x + a) 2 = ψ(x) 2 .

Таким образом, частица имеет одинаковую вероятность находиться в точках x и x+a.

Рассмотрим свойства коэффициента c. Применяя дважды операцию трансляции на величины an1 и an2 , имеем

ψ(x + an1 + an2 )= cn1cn2ψ(x),

77

где

an = na, n =1,2,3,K.

Принимая во внимание очевидное соотношение

an1 + an2 = an1+n2 ,

можем записать ψ(x + an1 + an2 )=ψ(x + an1+n2 )= cn1+n2ψ(x), откуда следует

cn1cn2 = cn1+n2 . (8.4)

Уравнение (8.4) имеет решение вида

cn = eikan , (8.5)

где k может принимать любые значения. Таким образом, волновая функция, удовлетворяющая уравнению Шредингера с периодическим потенциалом, может отличаться от периодической функции с периодом a только фазовым коэффициентом вида eif ( x) , где f(x) – линейная функция x. Такая волновая функция имеет вид

ψ(x)= eikxUk (x), Uk (x) =Uk (x +an ) . (8.6)

Запись (8.6) означает, что собственная функция гамильтониана с периодическим потенциалом - это плоская волна, промодулированная с тем же периодом, что и потенциал. Это утверждение известно как теорема Флоке (Floquet). Типичный вид волновой функции для одномерного случая показан на рис. 8.1б.

Одно из важнейших свойств функций вида (8.6) – их периодичность по отношению к волновому числу k. При добавлении к волновому числу величины kn=2πn/a значение волновой функции не изменяется, т.е. ψk+kn (x) =ψk (x) . Поэтому все волновые числа k1, k2,..., отличающиеся на

величину 2πn/a, оказываются эквивалентными. Это свойство является прямым следствием трансляционной симметрии пространства. Все множество волновых чисел оказывается состоящим из эквивалентных интервалов с шириной 2π/a. Каждый из этих интервалов содержит все не-

эквивалентные значения волнового числа k. Эти интервалы называют зо-

нами Бриллюэна. Выбор интервалов может быть произвольным, например

− πa < k < πa ; πa < k < 3aπ ; 3aπ < k < 5aπ ;K .

Более удобно, однако, выбирать зоны Бриллюэна в виде отрезков, симметричных относительно начала координат. Множество всех неэквивалентных значений k, имеющих минимальное абсолютное значение в ин-

78

тервале [-π/a <k<π/a], называют первой зоной Бриллюэна. Зона Бриллюэна с номером n представляет два отрезка

(n −1)π / a < k < nπ / a . (8.7)

Рис. 8.2. Расширенная (а) и приведенная (б) зависимость E(k) для частицы в одномерном периодическом потенциале и соответствующие зоны энергий в координатном представлении (в).

Энергетический спектр и дисперсионная кривая E(k) (т.е. зависимость энергии от k) для частицы в пространстве с трансляционной симметрией также отличаются от случая свободной частицы (рис. 8.2). Дисперсионная кривая имеет разрывы в точках

kn = πa n, n = ±1,±2,±3,K . (8.8)

При этих значениях k волновая функция представляет собой стоячую волну, что является результатом многократных отражений и интерференции волн в периодической структуре. Для каждого значения kn, удовлетворяющего условию (8.8), существуют две стоячие волны с различными значениями потенциальной энергии. Это приводит к возникновению разрывов на дисперсионной кривой в точках kn и появлению запре-

щенных интервалов энергий, для которых не существует распростра-

няющихся волн. Поскольку каждая зона Бриллюэна содержит все неэквивалентные значения волновых чисел, при анализе свойств электронов в периодических структурах обычно рассматривают лишь первую зону Бриллюэна. Путем перемещения различных ветвей зависимости E(k) на величину ± 2πn / a вдоль оси k можно получить так называемое приведенное представление дисперсионной кривой, показанное на рис. 8.2б. Величина p = hk для частицы в периодическом потенциале называется квазиимпульсом. Квазиимпульс отличается от обычного импульса своеобразным законом сохранения. Величина p сохраняется с точностью до 2πh/ a = h / a . Закон сохранения квазиимпульса в такой форме является

79

прямым следствием трансляционной симметрии пространства. Согласно теореме Нетер (E. Noether), каждому виду симметрии пространствавремени соответствует свой закон сохранения. Закон сохранения им-

пульса в обычном пространстве является следствием однородности пространства: все точки пространства эквивалентны. В пространстве с трансляционной симметрией эквивалентны точки, координаты которых различаются на целое число периодов. Поскольку квазиимпульс однозначно определяется значением волнового числа, зоны Бриллюэна, содержащие все неэквивалентные значения k, одновременно содержат и все неэквивалентные значения квазиимпульса. Добавление величины nh/a к квазиимпульсу просто означает переход в эквивалентную точку другой зоны Бриллюэна. Как видно из рис. 8.2а, 8.2б, зависимость E(k) для частицы в периодическом потенциале существенно отличается от зависимости E(k) для свободной частицы. Однако по аналогии с функцией E(k) = h2k 2 / 2m , присущей свободной частице, для периодического потенциала можно формально записать

E(k) = h2k 2 , (8.9)

2m*

где m*(k) – функция, которую обычно называют эффективной массой. Во многих практически важных случаях эффективную массу можно считать постоянной. В окрестности экстремума E0(k0) можно записать разложение функции E(k) в ряд Тейлора

В экстремуме dE/dk = 0. Отсчитывая энергию и волновое число от точки экстремума, т. е., полагая E0 = 0, k0 = 0, можно записать это выражение в более компактной форме

Если пренебречь вкладом членов со степенями выше k2, легко видеть, что (8.11) переходит в соотношение (8.9) с постоянной эффективной массой, определяемой выражением

Эффективная масса, задаваемая этим соотношением, определяет реакцию частицы на внешнее воздействие через соотношение

80

m*a = F , (8.13)

где F – внешняя сила, а a – ускорение. Это уравнение формально совпадает со вторым законом Ньютона. Сопоставляя рис. 8.2а (пунктирная кривая) и 8.2б, легко видеть, что эффективная масса частицы в окрестности минимума энергии может оказаться заметно меньше, чем ее собственная инертная масса. В некоторых случаях она, в принципе, может оказаться и больше, чем в однородном пространстве. Кроме того, частица в периодическом потенциале может иметь отрицательную эффективную массу. Этот случай соответствует положительной кривизне функции E(k) в области ее экстремума. Отрицательность эффективной массы

– не побочный математический результат, лишенный физического смысла, а принципиальное свойство частицы, взаимодействующей одновременно с фоновым периодическим потенциалом и с внешним возмущающим потенциалом. Отрицательность эффективной массы означает, что импульс частицы уменьшается при появлении внешнего потенциала, т. е. частица под действием возмущения не ускоряется, а затормаживается. Это происходит из-за того, что частица отражается от периодических границ потенциала.

Для периодического потенциала прямоугольной формы стационарное одночастичное уравнение Шредингера решается точно. Такая задача была впервые исследована в 1931 г. Кронигом (R. de Kronig) и Пенни (W.G. Penney) и известна как модель Кронига-Пенни.

§ 8.3. Электромагнитные волны в кристаллических структурах

Одномерный случай

По аналогии с предыдущим разделом рассмотрим свойства электромагнитных волн в среде с периодическим изменением диэлектрической проницаемости ε(x)= ε(x + a) вдоль направления распространения

(рис. 8.3).

Рис. 8.3. Оптический аналог квантовомеханической модели КронигаПенни: слоистая периодическая среда.

Волновое уравнение

81

2E(x, t) − c12 ε(x)∂2E∂(t2x, t) = 0 (8.14)

для электрического поля

E(x,t) = E(x)eiωt (8.15)

принимает вид уравнения Гельмгольца

2E(x) + ωc22 ε(x)E(x,t) = 0 . (8.16)

Вуравнениях (8.14)-(8.16) ω – частота поля, t – время. Уравнение Гельмгольца (8.16) математически изоморфно уравнению Шредингера (8.2). Как и в случае уравнения (8.2), уравнению (8.16) удовлетворяют функции E(x), которые имеют вид амплитудно-модулированной плоской волны

E(x) = Ek (x)eikx , (8.17)

а состояния поля Ekm(x), различающиеся значениями волнового числа km = k ± 2πm/a (m - целое число) оказываются эквивалентными. Функция Ek(x) удовлетворяет условию периодичности Ek(x)=Ek(x+a).

Как и в случае одноэлектронной задачи квантовой механики, периодичность среды приводит к появлению разрывов на дисперсионной кривой ω(k) и образованию интервалов k, для которых нет решений уравнения (8.16) в виде бегущих волн. Точки разрыва функции ω(k) соответствуют стоячим волнам с концентрацией энергии поля либо в подрешетке с низким значением ε, либо в подрешетке с высоким значением ε. Эти свойства иллюстрируются на рис. 8.4–8.6. Обсудим их подробнее.

Рис. 8.4. Дисперсионные кривые для электромагнитных волн в однородной (а) и в периодической (б) средах. Показана часть кривых, соответствующая положительным волновым числам. Диаграмма (в) получена из диаграммы вида (б) перемещением двух верхних ветвей дисперсионной кривой вдоль оси k влево и вправо на величины, кратные 2π/a.

82

На рис. 8.4a показана дисперсионная кривая для электромагнитных волн в вакууме

ω= ck (8.18)

и в сплошной среде с показателем преломления n =ε1/2, который не зависит от частоты (магнитная проницаемость среды полагается равной 1),

ω= ck/n (8.19).

В среде с периодическим изменением n на дисперсионной кривой возникают разрывы для всех значений волнового числа km=mπ/a, где m – целое положительное или отрицательное число. На рис. 8.4б показан интервал [0, 2π/a] с разрывом в точке k=π/a. Все волновые числа, отличающиеся на величину 2mπ/a, оказываются эквивалентными. Как отмечалось ранее, это позволяет ввести понятие зоны Бриллюэна - интервала шириной 2π/a, содержащего все неэквивалентные значения k.

Для удобства, как и в случае электронов, зоны Бриллюэна выбирают симметрично относительно начала координат (см. выражение

(8.7)).

По аналогии с рис. 8.2б для электрона в случае электромагнитных волн можно также переместить различные ветви дисперсионной кривой в первую зону Бриллюэна и рассматривать так называемую приведенную дисперсионную кривую, показанную на рис. 8.4в.

При небольших значениях волнового числа (k<<π/a) дисперсионная кривая не отличается от случая сплошной среды. С увеличением k скорость распространения волны dω/dk уменьшается и при k→π/a производная dω/dk стремится к нулю. В точке π/a имеем стоячую волну, причем возможны стоячие волны двух типов. В первом случае поле сосредоточено в подрешетке с высоким значением n, а во втором - в подрешетке с низким значением n. С этим и связано происхождение разрыва на дисперсионной кривой. За разрывом при увеличении k дисперсионная кривая снова приближается к прямой линии, присущей сплошной среде.

Сплошным участкам дисперсионной кривой соответствуют блоховские волны, а для запрещенных интервалов частот волновые решения отсутствуют. Эти свойства присущи всем периодическим средам (а не только слоистым) и всем волнам, подчиняющимся уравнению (8.16), например акустическим.

При рассмотрении конечных периодических диэлектрических структур возможно точное численное решение уравнения (8.16) и построение пространственного распределения поля в среде. На рис. 8.5 в одной шкале частот представлены зависимость ω(k) и спектр пропускания T(ω), а на рис. 8.6, 8.7 – распределение поля на частотах ω1 и ω2, со-

83

ответствующих краям разрешенных зон (полос пропускания) и на частоте ω0 в центре запрещенной зоны (полоса отражения).

Рис. 8.5. Зависимость частоты от волнового числа (а) и спектр пропускания (б) для конечной слоистой периодической структуры. Число пиков пропускания в пределах одной зоны Бриллюэна равно числу периодов в структуре. Ширина полосы отражения (запрещенной зоны) растет с ростом отношения диэлектрических функций сред А и В.

Рис. 8.6. Пространственное распределение поля в периодической слоистой среде для полос пропускания непосредственно вблизи границ полосы отражения ω1 (а) и ω2 (б). Расчеты С.В. Жуковского. Пространственное распределение показателя преломления показано серым цветом

В каждой полосе пропускания число резонансных пиков равно числу периодов в среде. Им соответствуют дискретные точки на графике ω(k). На рис. 8.6 видно, что на границах полос пропускания максимумы амплитуды поля находятся в разных подрешетках периодической многослойной структуры. Наличие запрещенного интервала частот Δω=ω2 - ω1 приводит к появлению полосы сильного отражения. Для среды без диссипации электромагнитной энергии, т.е. с чисто действительным показателем преломления, нулевое пропускание в интервале Δω=ω2 - ω1 на рис.

84

8.5 означает 100%-ное отражение волны от границы раздела сплошной диэлектрик-периодическая среда. Распространение поля внутри среды в полосе отражения описывается экспоненциально затухающей функцией (рис. 8.7). Этот случай аналогичен отражению электромагнитных волн от границы диэлектрик-металл, при котором поле также экспоненциально затухает внутрь металла. Квантовомеханической аналогией является отражение частицы от потенциального барьера с экспоненциальным просачиванием волновой функции внутрь барьера.

Рис. 8.7. Распределение поля в конечной периодической структуре на частоте ω0, построенное на фоне пространственного профиля показателя преломления. Расчеты А.Г. Смирнова.

Для любой конечной периодической структуры коэффициент пропускания в полосе отражения хотя и мал, но отличен от нуля. Этот эффект аналогичен частичной прозрачности тонких металлических пленок, а также туннельному эффекту, известному в квантовой механике с 1928 года. В квантовой механике туннелирование частицы происходит благодаря тому что волновая функция частицы не обращается в нуль на границе барьера, а экспоненциально затухает в глубь барьера. Таким образом, можно говорить о туннельном характере распространения электромагнитного поля в периодической среде в полосе отражения.

Ширина запрещенной зоны Δω=ω2 - ω1 растет с увеличением разности показателей преломления материалов, формирующих решетку. Существует один практически важный частный случай периодических слоистых структур, образованных слоями равной оптической толщины

n1d1 = n2d2 . (8.20)

В этом случае центральная частота ω0=2πс/λ0 в полосе отражения определяется из так называемого четвертьволнового условия

λ0 / 4 = n1d1 = n2d2 , (8.21)

85

а спектр пропускания является периодической функцией частоты с пе-

риодом 2ω0.

Спектральные свойства сред с периодическим изменением показателя преломления вдоль одного направления исследованы достаточно хорошо в связи с использованием слоистых тонкопленочных структур для изготовления зеркал и интерференционных фильтров. Анализ их свойств содержится, например, в работе [8.1].

При приближении к границам зоны Бриллюэна нелинейная зависимость частоты от волнового числа приводит к отличной от нуля второй производной d2ω/dk2. Переходя от частоты ω к энергии фотона E = hω , получаем

d 2 E ≠ 0 , (8.22) dk 2

что в соответствии с (8.9)-(8.12) позволяет говорить о появлении эффективной массы у фотона (электромагнитной волны). Как отмечалось в предыдущем разделе, введение эффективной массы для электрона позволяет описать реакцию на внешнее поле, вызывающее его ускорение. В случае электромагнитных волн (фотонов) возможность силового воздействия, при котором проявилась бы эффективная масса, по-видимому, отсутствует. Электромагнитную волну нельзя «разгонять» вдоль дисперсионной кривой, подобно классической частице, связь энергии и частоты с волновым числом (импульсом) «статична», она лишь указывает на дозволенные состояния фотона (электромагнитные моды), которые могут существовать в среде. Более детальное обсуждение проблемы эффективной массы фотона выходит за рамки настоящей работы. Возможно, к электромагнитным волнам в периодических средах можно применить подход, предложенный при обсуждении сложного закона дисперсии электромагнитных волн в волноводах [8.2]. В этом случае масса фотона, возникающая при локализации поля в волноводе, рассматривается как эквивалент энергии, высвобождаемой при его делокализации. Понятно, что и в периодических средах нелинейная зависимость частоты от волнового числа связана с локализацией поля, и при снятии условий, вызывающих локализацию (например, при уменьшении разницы показателей преломления или при увеличении периода структуры) произойдет высвобождение энергии (переход от локализованного к делокализованному распределению поля в пространстве). Нельзя исключить, что последовательное рассмотрение свойств излучения в периодических средах и анализ мысленных экспериментов может стимулировать развитие и уточнение наших представлений о квантах электромагнитного поля.

86