Физика гетероструктур

основе классической волновой теории, не привлекая квантовую оптику. В этом случае необходим корректный расчет интерференции многократно рассеянных волн. Однако если учесть, что плотность состояний также задается условиями распределения волн, становится понятным, что классическое волновое и квантово-оптическое рассмотрения согласуются. Хотя интерпретация резонансного рассеяния с использованием плотности состояний не расширяет наших представлений о взаимодействии поля и вещества, она позволяет качественно и полуколичественно предсказать диаграммы рассеяния для сложных сред, для которых спек- трально-угловое перераспределение плотности мод приблизительно известно. Например, для планарных структур с анизотропными порами можно, не решая полностью задачи теории многократного рассеяния волн, предсказать повышенное рассеяние излучения вдоль осей пор и подавленное рассеяние в ортогональном направлении, что было подтверждено в недавних экспериментах (рис. 8.12).

Рис. 8.12. Диаграмма рассеяния света пористым оксидом алюминия.

97

ГЛАВА 9. ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КВАНТОВЫХ ЯМ § 9.1. Классификация гетероструктур

В настоящее время сложилась устойчивая терминология низкоразмерной физики полупроводников. Перечислим и кратко охарактеризуем различные гетероструктуры и сверхрешетки, указывая в скобках соответствующий термин и сокращение на английском языке.

Систематику удобно начать с одиночного гетероперехода между двумя композиционными материалами – полупроводниками A и B (single heterojunction). Один или оба композиционных материала могут быть твердыми растворами, например, Al1-xGaxAs или Cd1-xMnxTe. При-

ведем примеры гетеропар A/B: GaAs/Al1-xGaxAs, In1-xAlxAs/Ga1-yAlyAs, InAs/AlSb, Ga1-xInxAs/InP, CdTe/Cd1-xMnxTe, Zn1-xCdxSe/ZnSySe1-y, ZnSe/BeTe, ZnSe/GaAs, Si1-xGex/Si и т.д. Здесь индексы x,1-x или y,1-y

означают долю атомов определенного сорта в узлах кристаллической решетки или какой-либо из подрешеток. По определению, в гетеропереходах типа I запрещенная зона Eg одного из композиционных материалов лежит внутри запрещенной зоны другого материала. В этом случае потенциальные ямы для электронов или дырок расположены в одном и том же слое, например, внутри слоя GaAs в гетероструктуре GaAs/Al1- xGaxAs с x < 0.4. Пусть материал A характеризуется меньшей запрещенной зоной, т.е. EAg < EBg. Тогда высота потенциального барьера на интерфейсе A/B составляет Vc = EcB - EcA для электронов и Vh = EvA - EvB для дырок, где Ecj, Evj - энергетическое положение дна зоны проводимости c и потолка валентной зоны v в материале j =A, B. Сумма Vc + Vh равна разности EBg - EAg. В широко применяемой гетеросистеме GaAs/Al1-xGaxAs отношение потенциальных барьеров Vc/Vh составляет

1.5.

В структурах типа II дно зоны проводимости Ec ниже в одном, а потолок валентной зоны Ev выше в другом материале, как в случае

GaAs/Al1-xGaxAs с x > 0.4, InAs/AlSb или ZnSe/BeTe. Для указанных ге-

теропар запрещенные зоны EAg и EBg перекрываются. Имеются также гетеропереходы типа II (например, InAs/GaSb), у которых запрещенные зоны не перекрываются и дно зоны проводимости в одном материале лежит ниже потолка валентной зоны в другом материале. К типу III относят гетеропереходы, в которых один из слоев является бесщелевым, как в случае пары HgTe/CdTe.

Двойной гетеропереход B/A/B (double heterojunction) типа I представляет собой структуру с одиночной квантовой ямой, если EAg < EBg (single quantum well) (SQW), (рис. 9.1a), или структуру с одиночным барьером, если EAg > EBg (рис. 9.1b). В широком смысле квантовой ямой

98

называют систему, в которой движение свободного носителя, электрона или дырки, ограничено в одном из направлений.

Рис. 9.1. Зонная схема структуры с одиночной квантовой ямой (a) и одиночным барьером (b). Ve,h – высота потенциального барьера (или разрыв зон) на интерфейсе в зоне проводимости и валентной зоне соответственно.

В результате возникает пространственное квантование и энергетический спектр по одному из квантовых чисел из непрерывного становится дискретным. Ясно, что двойная гетероструктура типа II является структурой с одиночной квантовой ямой для одного сорта частиц, скажем, для электронов, и структурой с одиночным барьером для носителя заряда противоположного знака. Наряду с прямоугольными квантовыми ямами, представленными на рис. 9.1, можно выращивать ямы другого профиля, в частности параболического или треугольного.

Рис. 9.2. Зонная схема периодической структуры с квантовыми ямами (если барьеры широкие) или сверхрешетки (если барьеры тонкие).

Естественным развитием однобарьерной структуры являются двух- (double-) и трехбарьерные (triple-barrier) структуры. Аналогично от одиночной квантовой ямы естественно перейти к структуре с двумя (double QWs) или тремя (triple QWs) квантовыми ямами и структурам с целым набором изолированных квантовых ям (multiple quantum wells (MQWs)), рис. 9.2). Даже если в такой структуре барьеры практически

99

непроницаемы, двухчастичные электронные возбуждения, экситоны, в различных ямах могут быть связаны через электромагнитное поле, и присутствие многих ям существенно влияет на оптические свойства структуры. По мере того как барьеры становятся тоньше, туннелирование носителей из одной ямы в другую становится заметнее. Таким образом, с уменьшением толщины b квазидвумерные состояния (2D- состояния), или состояния в подзонах (subband) размерного квантования изолированных ям, трансформируются в трехмерные минизонные (miniband) состояния. В результате периодическая структура изолированных квантовых ям, или толстобарьерная сверхрешетка, превращается в тонкобарьерную сверхрешетку, или просто сверхрешетку (superlattice (SL)). Формирование минизон становится актуальным, когда период сверхрешетки d = a + b становится меньше длины свободного пробега носителя заряда в направлении оси роста структуры (в дальнейшем ось z). Эта длина может зависеть от сорта носителя, в частности, из-за различия эффективных масс электрона и дырки. Поэтому одна и та же периодическая структура с квантовыми ямами может быть одновременно как сверхрешеткой для более легких носителей, обычно это электроны, так и структурой с набором изолированных ям для другого сорта носителей, например тяжелых дырок. Последние также могут перемещаться вдоль оси роста, однако это движение носит не когерентный характер, а представляет собой цепочку некогерентных туннельных прыжков между соседними ямами.

Строго говоря, по определению сверхрешетки толщины слоев a и b должны существенно превышать постоянную кристаллической решетки a0. В этом случае для описания электронных состояний можно использовать метод эффективной массы или, в более широком смысле, метод плавных огибающих. Тем не менее, полезно в поле зрения физики низкоразмерных систем в качестве предельного случая включить «ультратонкую» сверхрешетку AmBn, например (GaAs)m(AlAs)n с m,n = 2 - 4 и даже полупроводниковое соединение типа (GaAs)1(AlAs)1, т.е. GaAlAs2.

Аналогично приведенной выше классификации гетероструктур по взаимному выстраиванию запрещенных зон EAg и EВg каждая сверхрешетка принадлежит к одному из трех типов, соответственно типу I, II и III. Сверхрешетки, состоящие из чередующихся слоев различных материалов, называются композиционными. Первоначально для создания квантовых ям и сверхрешеток подбирались гетеропары с практически одинаковыми постоянными решетки, например пара GaAs/AlGaAs. Структуры с рассогласованием постоянной решетки a0/a0, не превышающим 0.01, называются согласованными, или ненапряженными. Совершенствование технологии роста позволило получить бездислокационные сверхрешетки и при заметном рассогласовании постоянных решетки. В таких многослойных структурах, по крайней мере, один из

100

слоев, A или B, должен быть достаточно тонким, чтобы согласование кристаллических решеток происходило за счет внутреннего напряжения, сжатия одного из слоев и, возможно, растяжения другого. Структуры с квантовыми ямами и сверхрешетки с a0/a0 ≥0.01 называются напряженными. В композиционных спиновых сверхрешетках один или оба слоя A и B содержат магнитные примеси или ионы. Примером служит гетероструктура CdTe/CdMnTe.

Наряду с композиционными сверхрешетками, образованными периодическим изменением состава, сверхрешетки могут создаваться модулированным легированием донорной и/или акцепторной примесью. Такие сверхрешетки, в частности сверхрешетка n-GaAs/p-GaAs или nipi- структура, называются легированными.

§9.2. Размерное квантование электронных состояний

Внастоящее время разработаны изощренные методы компьютерного расчета квантовых состояний в наноструктурах, основанные на микроскопических моделях псевдопотенциала или сильной связи. Мы будем исходить из приближенного метода эффективной массы (в случае простых зон) или эффективного гамильтониана (для вырожденных зон или в многозонной модели), более наглядного и позволяющего получать аналитические результаты. В приближенных подходах огибающая волновой функции электрона внутри каждого слоя многослойной структуры записывается в виде суперпозиции линейно независимых объемных решений, а для сшивки на гетерограницах вводятся граничные условия для этой огибающей и ее производной по нормальной координате.

Электронные подзоны в квантовых ямах

Расчеты электронных состояний в полупроводниковых наноструктурах, выполняемые в методе эффективной массы, выглядят часто как практические занятия по квантовой механике. Мы начнем с простейшей структуры с одиночной квантовой ямой A с толщиной a, заключенной между полубесконечными барьерами B. В случае простой зоны проводимости, изотропной и параболической, огибающая записывается в виде

ψ(r)= 1S exp(i k||r)ϕ(z). (9.1)

Здесь z - главная ось структуры, k|| - двумерный волновой вектор с компонентами kx и ky, он описывает движение электрона в плоскости интер-

101

фейсов (x,y), S - площадь образца в этой плоскости. Зависящая от z огибающая ϕ(z) удовлетворяет следующему уравнению Шредингера:

где mA,B - эффективная масса электрона в материале A или B.

При конечной высоте барьера Ve имеются два вида решений уравнения (9.2). Если величина E −Ve −h2k||2 / 2mB положительна, решения в

пределах каждого слоя являются линейными комбинациями двух плоских волн и энергетический спектр в этой области энергий непрерывен даже при фиксированной величине 2D-волнового вектора k||. В области энергий с отрицательными значениями E −Ve −h2k||2 / 2mB , которая рас-

сматривается в дальнейшем, внутри ямы функция ϕ(z) есть линейная комбинация плоских волн exp (±i k z), а в левом и правом барьерах она экспоненциально спадает как exp(±κz) соответственно. Здесь

В этом случае возникают размерно-квантованные электронные состояния, которые нумеруются дискретным индексом ν (ν = 1, 2,...), и для электронов в зоне проводимости обозначаются составным индексом eν. Энергетический спектр этих состояний представляет собой набор ветвей Eeνk||, называемых подзонами, которые сдвинуты вертикально относительно друг друга. Полная энергия электрона складывается из энергии размерного квантования Ez ≡ Eeν0 и кинетической энергии Exyk|| ≡ Eeνk|| - Eeν0 при свободном движении электрона в плоскости (x,y).

Рассматриваемая система B/A/B симметрична к операции отражения z → -z, если за начало отсчета координаты выбрать середину квантовой ямы. Поэтому совокупность собственных решений уравнения Шредингера разбивается на подгруппы четных и нечетных решений, так что ϕ(-z) = ± ϕ(z). Огибающая ϕ(z) для четных размерно-квантованных состояний записывается в виде

102

Коэффициенты C и D находятся из условия нормировки

∫dzϕ2 (z)=1 (9.5)

играничных условий, связывающих огибающие ϕA, ϕB и их производные (dϕ/dz)A, (dϕ/dz)B по обе стороны гетерограницы между материалами A и B. Чаще других используются граничные условия

Они обеспечивают непрерывность огибающей функции ϕ(z) и потока частиц через интерфейс. Для решения (9.4) эти граничные условия приводят к системе двух линейных однородных уравнений для коэффициентов C и D

Отсюда простые выкладки приводят к трансцендентному уравнению для энергии четных решений

Для нечетных решений огибающая ϕ(z) имеет вид

103

а энергия удовлетворяет уравнению

ctg ka2 = −η . (9.10)

Коэффициент C находится из нормировочного условия (9.5) и может быть представлен как

для решений произвольной четности. Известно, что в симметричной одномерной потенциальной яме всегда имеется хотя бы одно размерноквантованное состояние. Поэтому при конечной высоте барьеров энергетический спектр электрона состоит из конечного числа подзон размерного квантования eν (ν = 1,...,N) и континуума (электронные состояния с E −h2k||2 / 2mB >Ve ). При совпадающих эффективных массах mA и mB

дисперсия Eeνk|| параболическая, как в однородных композиционных материалах. При относительно небольшом различии масс mA и mB дисперсия подзон почти параболическая.

В пределе бесконечно высоких барьеров, Ve → ∞, размерноквантованные значения волнового вектора

k= 2mAE / h2 −k||2 ≡ 2mAEz

иэнергии E принимают значения

где ν=1,3,..., 2n+1,... для четных решений и ν=2,4,..., 2n,... для нечетных.

104

§ 9.3. Межзонное поглощение

Рассмотрим полупроводник с прямыми разрешенными переходами в двухзонном приближении. В обычном трехмерном случае коэффициент межзонного оптического поглощения такого полупроводника описывается известной формулой:

где pcv – межзонный матричный элемент импульса; Eg – ширина запрещенной зоны; индексы c и h относятся соответственно к электронам и дыркам; ψk (r) – огибающие волновые функции в приближении эффективной массы.

Мы ограничимся рассмотрением систем типа тонкой пленки или квантовой ямы, в которых эффекты размерного квантования существуют как для электронов, так и для дырок. В результате интегрирование по kz и k’z в (9.13) должно быть заменено на суммирование по номеру квантового уровня. Интегралы по dx и dy дают законы сохранения соответствующих компонент волнового вектора: ∫exp(i(kx – k’x)x)dx = 2πδ(kx – k’x) и окончательно

где α0 – константа, пропорциональная pcv, μ = mcmh /(mc + mh ) . Правила от-

бора при межзонном поглощении будут детально обсуждаться в Главе

10.

105

ГЛАВА 10. ПРАВИЛА ОТБОРА ПРИ ОПТИЧЕСКИХ ПЕРЕХОДАХ В КВАНТОВЫХ ЯМАХ

§ 10.1. Межзонные и внутризонные оптические переходы между подзонами размерного квантования

Рассмотрим поглощение света в структурах с квантовыми ямами. Будем использовать кулоновскую калибровку, в которой скалярный потенциал равен нулю и электрическое и магнитное поля световой волны выражаются через векторный потенциал в виде E = – (1/c)∂A/∂t, B} = rotA (c – скорость света в вакууме). Для плоской монохроматической волны имеем

A(r,t) = A0 exp(−iω t +iqr) + A*0 exp(iω t −iqr) , (10.1)

где ω, q, A0 – частота, волновой вектор и амплитуда. Удобно записать вектор A0 как произведение вещественной (положительной) скалярной амплитуды A0 и единичного вектора поляризации e. Напомним, что для эллиптически поляризованного света вектор e комплексный. В случае квазимонохроматической волны амплитуду векторного потенциала A0 или электрического поля E0 можно считать медленно меняющейся функцией времени. Состояние поляризации света характеризуется поля-

ризационной матрицей плотности dαβ= E0,α E0,* β , где α, β = x, y, оси x,y

лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения света, а угловые скобки означают усреднение по времени. Поляризационная матрица полностью задается тремя параметрами Стокса: степенью циркулярной поляризации Pc, степенью линейной поляризации Pl в осях x,y и степенью линейной поляризации P'l в осях x',y', повернутых вокруг оси z на угол 450 относительно осей x,y.

В линейной оптике оператор электрон-фотонного взаимодействия

равен

− 2eAcm00 [p€A(r,t) + A(r,t)p€],

где p€ - оператор импульса −ih . В дипольном приближении координатной зависимостью вектора A пренебрегают и оператор возмущений принимает форму

− eAc0 [ee−iω t +e*eiω t ]v€,

где e – заряд электрона (e < 0), оператор скорости v€ = −ih /m0, m0 – масса свободного электрона.

При прямом междузонном оптическом поглощении в нелегированной структуре электроны под действием света совершают переходы

106