аппроксимации в i–м наблюдении. Чтобы иметь общее суждение о точности модели, определяют среднюю относительную ошибку аппроксимации:

Ошибка менее 7%-10% свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным (хорошая точность). При ошибке более 12-15 % следует подумать о выборе другого типа уравнения модели. В эконометрическом анализе используют и другие алгоритмы для расчета точности модели.

4. Некоторые вопросы практического использования регрессионных моделей.

4.1. Применение эконометрических моделей для прогнозирования.

Одной из основных задач эконометрического моделирования является прогнозирование значений зависимой переменной при определенных значениях объясняющих переменных.

Параметры a и b содержат случайные ошибки. В результате зависимая переменная Yˆ(X 0 ), найденная по уравнению модели в некоторой точке X0 , является случайной величиной и, следовательно, определяет некоторое условное среднее значение Y в точке X0 (точечная оценка). Обозначим ее – YX 0 .

Найдем дисперсию этой величины.

6 Джонсон « Эконометрические методы», М., Статистика. 1980, стр. 29

33

здесь SYX SY2X – стандартная ошибка условной средней зависимой

переменной.

Из формул (3.23) и (3.24) следует, что ширина доверительного интервала зависит от значения X 0 : при X0 X она минимальна, а по мере удаления X от среднего значения ширина доверительного интервала увеличивается (рис. 5.2).

Y

Доверительный итервал Для M( YX 0 )

ˆ

Y a bX

Рис. 5. Доверительная область для условных средних зависимой переменной.

Построенная на рисунке доверительная область определяет местоположение модельной линии регрессии, т.е. условного математического ожидания, но не отдельных возможных значений зависимой переменной, которые могут варьировать около средней.

Иногда нас больше может заинтересовать отыскание доверительного

интервала для некоторого индивидуального значения Y * , которое мы связываем с X 0*.

В несколько иной форме эта проблема может быть сформулирована так: при получении новой пары наблюдений(X 0*,Y * ) выяснить, удовлетворяет ли

она прежней зависимости, т.е. равняется ли Y * значениюYˆX 0* , полученному

подстановкой X 0* в уравнение модели.

Рассмотрим величину z Y * YˆX 0* . Формулируем две гипотезы:

Поскольку переменная z Y * YˆX 0* представляет линейную комбинацию нормально распределенных переменных, она также имеет нормальное

34

распределение, следовательно, величина t z имеет распределение Стьюдента

Sz

с (n 2) степенями свободы.

Если расчетное значение t–статистики будет больше табличного, то нулевая гипотеза отвергается, т. е. с выбранным уровнем доверия можно

Очевидно, что этот интервал при том же уровне доверия шире, чем для условного среднего YX 0 и включает в себя доверительный интервал для

условного среднего значения.

Обобщим полученные результаты на случай модели множественной регрессии.

Доверительные интервалы в этом случае строятся в предположении,

что факторные переменные приняли значения, задаваемые матрицей (вектором)

7 Джонсон « Эконометрические методы», М., Статистика. 1980, стр. 49

35

Таким образом, процесс прогнозирования, опирающийся на эконометрическую модель распадается на следующие этапы:

выбор и построение модели;

оценка построенной модели;

прогноз (точечный и интервальный).

Для получения точечного прогноза подставляют исследуемое значение X 0 в уравнение модели и находят Y (X 0 ). Это и есть точечный прогноз.

Однако, вероятность попадания Y в найденную точку Y (X 0 ) практически

равна нулю, поэтому возникает необходимость перспективных оценок в виде "вилки" через доверительные интервалы – интервальный прогноз.

Исследуемое значение X 0 может лежать как внутри выборки, так и вне ее. В то же время, если X 0 выходит за пределы выборки и сильно отличается

от среднего, ширина доверительного интервала существенно увеличивается, а это свидетельствует о расплывчатости прогноза.

Значения факторных переменных, составляющих исследуемый вектор (матрицу) X 0 могут быть получены как экспертные оценки, либо

прогнозированием соответствующих временных рядов при условии, что исходные данные показателя представляют некоторый временной ряд, имеющий тенденцию и предполагается сохранение этой тенденции на перспективу. Полученные на основе прогноза данные должны быть критически осмысленны с содержательной точки зрения.

4.2. Экономическая интерпретация связи переменных в модели множественной регрессии

Для экономической интерпретации связей между факторными переменными и зависимой переменной обычно используют коэффициенты

эластичности, бета–коэффициенты и дельта–коэффициенты.

Коэффициенты эластичности характеризуют относительное изменение зависимой переменной при изменении объясняющей переменной на 1%. Если

где X , Y – средние величины, а производная берется в точке X . Бета–коэффициенты ( – коэффициенты) или коэффициенты регрессии

встандартизованном виде используются для устранения различий в измерении

истепени колеблемости факторов.

36