- •1.1. Понятие связи между экономическими показателями.
- •1.2. Основные типы эконометрических моделей
- •1.3. Исходные данные для построения эконометрической модели
- •1.4. Этапы построения эконометрической модели
- •2.1. Парная линейная регрессия
- •2.2. Метод наименьших квадратов (МНК) для линейной парной регрессии.
- •2.3. Модель множественной регрессии
- •2.4. Метод наименьших квадратов для линейной модели множественной регрессии
- •2.5. Нелинейные регрессионные модели
- •2.6. Классическая линейная модель регрессии (КЛМР)
- •3. Проверка качества регрессионных моделей.
- •3.1. Проверка общего качества регрессионной модели. Коэффициент детерминации
- •3.2. Понятие статистической значимости
- •3.3. Оценка статистической значимости параметров линейной модели множественной регрессии
- •3.4. Оценка статистической значимости параметров линейной модели парной регрессии
- •3.5. Оценка статистической значимости уравнения регрессии
- •3.6. Оценка точности модели
- •4.1. Применение эконометрических моделей для прогнозирования.
- •4.2. Экономическая интерпретация связи переменных в модели множественной регрессии
- •4.3. Проблемы спецификации модели.
- •4.4. Понятие мультиколлинеарности
- •5. Моделирование временных рядов
- •5.1. Введение в анализ временных рядов
- •5.2. Предварительный анализ временных рядов.
- •5.3. Методы механического сглаживания временного ряда
- •5.4. Аналитическое сглаживание (трендовые модели)
- •Показатель
- •5.5. Проверка качества трендовой модели.
- •5.6. Прогнозирование на основе трендовой модели
- •6. Примеры построения эконометрических моделей.
- •6.1. Модель парной регрессии
- •6.2. Модель множественной регрессии
- •6.3. Модель тренда (кривой роста)
- •7. Применение ППП “EXCEL” для эконометрического моделирования
- •.Литература
- •Приложение. Статистические таблицы
Тогда 0,796 0,19 |
0,154 ; |
2 |
0,976 0,84 |
0,846 |
|
1 |
0,969 |
|
0,969 |
|
|
|
|
|
|
Это означает, что на 84,6% приращения прибыли предприятий можно объяснить вложениями в основной капитал и только на 15,4% дополнительными вложениями в оборотный капитал.
6.3. Модель тренда (кривой роста)
Пример. Имеются статистические данные об объемах выпуска продукции Y (млн. руб.) в некоторой отрасли за несколько лет (табл. 9). Проверить, имеется ли тенденция в изменении выпуска продукции. Выбрать тип модели кривой роста и рассчитать ее параметры.
Проверить качество построенной модели на основе исследования ряда остатков. Выбрать и построить модель тренда и сделать прогноз на один шаг вперед.
Таблица 9
годы |
2000 |
2001 |
2002 |
2003 |
2004 |
2005 |
2006 |
2007 |
2008 |
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Y |
10 |
12 |
15 |
16 |
20 |
22 |
25 |
24 |
27 |
U |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
V |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Введем начало отсчета временного ряда с 2000 года и поставим ему в соответствие переменную t=1, остальные года пронумеруем по порядку.
1. Для выявления тенденции используем метод Фостера – Стьюарта.
Определим величины Ut и Vt (см. табл.9). Величина
соответствующий уровень временного ряда больше всех предшествующих уровней. Vt =1, если соответствующий уровень временного ряда меньше всех
предшествующих уровней.
Рассчитаем величины: K и |
L . |
|
|
|
n |
(Ut Vt ) =7; |
n |
=7 |
|
|
||||||||||||||||||||
K |
L (Ut Vt ) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Рассчитаем t– статистики: |
|
|
t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t 1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
tK |
|
K K |
|
= |
|
|
7 3,7 |
|
|
2,66 ; |
|
tL |
|
|
L |
|
|
|
= |
|
|
7 |
|
|
3,63 |
. Значения |
|
|
, k , L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1,24 |
|
|
|
|
|
L |
1,93 |
|
|
k |
|
|||||||||||||||||
выбрали из таблицы табулированных значений для n=9.(таблица 3). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Найдем теоретическое значение статистики Стьюдента по таблице t - |
||||||||||||||||||||||||||||||
распределения |
|
для |
=0,05 |
и |
числа |
|
степеней |
свободы |
n m 1 7 |
|||||||||||||||||||||
(двусторонний тест): |
t =2,365. |
Так как |
|
|
обе статистики tk и tL |
|
больше |
табличного значения t , то с вероятностью 95% можем утверждать, что временной ряд имеет тенденцию как в среднем (т.е. имеется тренд), так и в дисперсии.
2. Построение модели.
По расположению точек на диаграмме рассеяния (рис.6) можно предположить, что кривую роста можно представить в виде линейной функции
61
(прямая линия). Тогда уравнение модели запишем: Yˆ a b t .
объемвыпуска(млн. руб)
30
25
20
15
10
5
0
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
время
Рис. 6. Диаграмма рассеяния уровней временного ряда Найдем параметры этого уравнения по методу наименьших квадратов,
для чего составим систему нормальных уравнений
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b Y |
|
|
a 5 b 19 |
|||||
|
a t |
|
||||||||||
t |
a |
|
b |
|
5 a 31,67 b 109,44 |
|||||||
t2 |
tY |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Промежуточные расчеты отразим в таблице 10.
Таблица 10
Таблица для расчета параметров и характеристик модели.
|
t |
|
Y |
|
|
t2 |
|
|
t*y |
|
ˆ |
e |
|
|
p |
e |
(et et 1)2 |
e |
2 |
|
)2 |
(Y Y |
)2 |
(t t )2 |
|
ei |
|
|
100 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
(Y Y |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
t |
|
|
t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Yi |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
10 |
|
1 |
|
10 |
|
10,33 |
-0,33 |
|
|
-0,50 |
0,03 |
0,11 |
81,00 |
75,11 |
16 |
3,33 |
|||||||||||||||
|
2 |
|
12 |
|
4 |
|
24 |
|
12,50 |
-0,50 |
|
1 |
0,33 |
0,69 |
0,25 |
49,00 |
42,25 |
9 |
4,17 |
|||||||||||||||
|
3 |
|
15 |
|
9 |
|
45 |
|
14,67 |
0,33 |
|
1 |
-0,83 |
1,35 |
0,11 |
16,00 |
18,78 |
4 |
2,22 |
|||||||||||||||
|
4 |
|
16 |
|
16 |
|
64 |
|
16,83 |
-0,83 |
|
1 |
1,00 |
3,36 |
0,69 |
9,00 |
4,69 |
1 |
5,21 |
|||||||||||||||
|
5 |
|
20 |
|
25 |
|
100 |
|
19,00 |
1,00 |
|
1 |
0,83 |
0,03 |
1,00 |
1,00 |
0,00 |
0 |
5,00 |
|||||||||||||||
|
6 |
|
22 |
|
36 |
|
132 |
|
21,17 |
0,83 |
|
1 |
1,67 |
0,70 |
0,69 |
9,00 |
4,69 |
1 |
3,79 |
|||||||||||||||
|
7 |
|
25 |
|
49 |
|
175 |
|
23,33 |
1,67 |
|
1 |
-1,50 |
10,03 |
2,78 |
36,00 |
18,78 |
4 |
6,67 |
|||||||||||||||
|
8 |
|
24 |
|
64 |
|
192 |
|
25,50 |
-1,50 |
1 |
-0,67 |
0,69 |
2,25 |
25,00 |
42,25 |
9 |
6,25 |
||||||||||||||||
|
9 |
|
27 |
|
81 |
|
243 |
|
27,67 |
-0,67 |
|
|
|
|
|
|
0,44 |
64,00 |
75,11 |
16 |
2,47 |
|||||||||||||
|
45 |
171 |
285 |
|
985 |
|
171 |
0,00 |
|
7 |
|
16,88 |
8,33 |
290 |
281,67 |
60 |
39,10 |
|||||||||||||||||
Ср. |
5 |
|
19 |
|
31,67 |
109,44 |
19 |
0,00 |
|
|
|
|
|
|
RSS |
TSS |
ESS |
|
4,34 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
tY |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
b |
Y |
109,44 5 19 |
2,17 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
a Y |
b t |
19 2,17 5 8,17 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t2 (t |
)2 |
|
31,67 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение кривой роста: ˆ
Y 8,17 2,17 t
3. Проверка качества модели.
Проверку качества трендовой модели можно провести также как для модели парной регрессии, проверяя статистическую значимость параметров и общее качество с помощью коэффициента детерминации R2 .
a). Рассчитаем R2 TSSESS 281,67290 0,97 .
Проверим его статистическую значимость на основе F–критерия Фишера.
62
F |
Sr2 |
ESS (n m 1) = 281,67 |
7 236,69 , что больше табличного значения |
||||||||||||||||||||
|
Se2 |
RSS m |
|
|
|
|
|
|
|
8,33 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F( 0,05;k1 1,k2 7) 5,59. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Следовательно, уравнение кривой роста в целом статистически значимо. |
||||||||||||||||||||||
|
b). Проверим статистическую значимость параметра b . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
Статистика t |
b |
|
|
|
b |
|
|
|
8,17 |
|
15,38 , где |
S 2 |
|
se2 |
|
8,337 |
0,02 . |
|||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Sb |
0,02 |
|
|
b |
|
|
60 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ti t |
|
||||||||||||
|
|
|
tb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 1 |
|
|
|
|
|||
|
Статистика |
|
больше табличного значения статистики |
Стьюдента |
|||||||||||||||||||
t(7;0,05) =2,365 |
Следовательно, |
параметр |
b |
статистически |
значимо с |
вероятностью 95% отличается от нуля, что подтверждает наличие зависимости показателя Y от времени.
c). Точность модели.
Для оценки точности модели рассчитаем среднюю относительную
ошибку аппроксимации: |
|
|||||||
1 |
|
|
ei |
|
|
|
||
n |
|
|
|
100% |
=4,34 % < 10% , что свидетельствует о достаточной |
|||
Y |
||||||||
|
i |
|
|
|
||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
точности построенной модели (табл.10)
4. Проведем оценку качества модели кривой роста на основе исследования ряда остатков
ˆ |
|
|
|
|
i 1.n , (столбец et в |
||||
Ряд остатков составляют величины ei Yi Yi |
табл.10). Для того, чтобы считать построенную модель адекватной и
надежной проверим выполнение требований случайности и независимости элементов ряда остатков.
a). Проверку случайности ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек.
Внашем примере имеем 7 поворотных точек: p=7 (табл. 10). Рассчитаем теоретическое значение поворотных точек для 0,05
P1 2(n 2) / 3 2 |
(16 n 29) / 90 2(9 2) / 3 2 |
(16 9 29) / 90 2 . |
Так как P>P1, ряд остатков является случайным с вероятностью 95%
b). Проверку независимости элементов ряда остатков осуществим на основе критерия Дарбина –Уотсона.
Вычисляем статистику d : d = |
n |
e |
e |
2 |
/ |
n e 2 |
16,88/8,33=2,026. |
|
|
t |
t 1 |
|
|
t |
|
|
t 2 |
|
|
|
t 1 |
|
Рассчитаем d * 4 d =1,974. Критические значения статистики d при 5%
уровне значимости: d1 =0,824 и d2 =1,32. Расчетное значение статистики d *
63
попадает в интервал: d2 d* 2 , что свидетельствует об отсутствии автокорреляции в ряду остатков
c). Проверим соответствие ряда остатков нормальному закону распределения на основе RS–критерия.
При соответствии ряда остатков нормальному закону распределения для
величины |
RS (Emax Emin ) / S должно выполняться, условие: |
RS , |
где и |
нижнее и верхнее значения критических уровней, рассчитанных |
в зависимости от доверительной вероятности и количества уровней ряда остатков (таблица 16).
Рассчитаем статистику RS: RS (Emax Emin ) / S =(1,67 -(-1,5)/1,02=3,1
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
ei |
|
8,33 |
|
||
где S |
i 1 |
|
|
1,02 . |
||
n 1 |
9 1 |
|||||
|
|
|
Значения нижней и верхней границ интервала для статистикиRS , при доверительной вероятности 0.95:: 2,59; 3,399
Следовательно, элементы ряда остатков подчиняются нормальному закону распределения, и мы можем, с помощью построенной трендовой модели, дать не только точечный, но и доверительный интервальный для Y(t).
Вывод: исследование ряда остатков свидетельствует об адекватности и надежности построенной модели.
5. .Построим точечный и интервальный прогноз на один шаг вперед
Выберем t 10 и подставим в уравнение тренда:
Y(10)=8,17 +2,17 10=29,8. Получили точечный прогноз (точечную оценку). Так как элементы ряда остатков подчиняются нормальному закону распределения, можно построить доверительные интервалы для математического ожидания среднего значения зависимой переменной.
Верхняя граница интервального прогноза: Y(t0)+tSyx. Нижняя граница интервального прогноза: Y(t0)–tSYX.
Здесь t – теоретическое значение статистики Стьюдента с выбранной доверительной вероятностью и n-2 степенями свободы: t(7;0,05) 2,365
|
|
1 |
|
(t |
|
|
|
)2 |
|
|
1 |
|
(10 5)2 |
|
|
|||
S 2 |
S 2 ( |
|
0 |
t |
) 1,19 |
( |
|
) 0,628 |
для t0=10. |
|||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
YX |
e |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
60 |
|
|
|
|
|
|
(t |
|
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
i |
t |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда ожидаемое значение показателя Y (объема выпуска) при t 10 ( |
||||||||||||||||||
в 2005 году) лежит в интервале: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
29,8 2,365 |
|
0,628 M (Y (t 10) 29,8 2,365 |
0,628 ; |
27,959 M (Y (t 10) 31,708.
64