таблице 4.

Таблица 4.

имеется тенденция в дисперсии (tK tтеор) и имеется тенденция в среднем, так как tL tтеор . Следовательно, можно говорить о наличии тренда во временном

ряду.

Метод средних

5.3. Методы механического сглаживания временного ряда

Очень часто уровни экономических рядов динамики колеблются, при

этом тенденция развития экономического явления во времени скрыта случайными отклонениями уровней в ту или иную сторону. С целью более четкого выявления тенденции развития исследуемого процесса, в том числе для дальнейшего применения методов прогнозирования на основе трендовых

моделей, производят сглаживание (выравнивание) временных рядов.

Сглаживание всегда включает некоторый способ локального усреднения данных, при котором несистематические компоненты взаимно погашают друг друга.

Методы сглаживания временных рядов делятся на две основные группы:

1)механическое выравнивание отдельных уровней временного ряда с

использованием фактических значений соседних уровней.

2)аналитическое выравнивание с использованием кривой, проведенной

между конкретными уровнями ряда так, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освобождала его от незначительных

колебаний;

Суть методов механического сглаживания заключается в следующем.

Берется несколько первых уровней временного ряда, образующих интервал сглаживания. Для них подбирается полином, степень которого должна быть меньше числа уровней, входящих в интервал сглаживания; с помощью полинома определяются новые, выровненные значения уровней в середине

интервала сглаживания. Далее интервал сглаживания сдвигается на один уровень ряда вправо, вычисляется следующее сглаженное значение и т. д.

Метод простой скользящей средней.

Самый простой метод сглаживания - скользящее среднее, в котором

46

дних членов, где m - ширина интервала сглаживания. Вместо среднего можно использовать медиану значений, попавших в интервал сглаживания.

Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим. Если нужно сохранить более мелкие колебания, интервал сглаживания уменьшают. При прочих равных условиях интервал сглаживания рекомендуется брать нечетным.

Для вычисления сглаженных уровней ряда Yt применяется формула:

В результате такой процедуры получаются (n-m+1)сглаженных значений уровней ряда; при этом первые р и последние р уровней ряда теряются (не сглаживаются). -

При четных значениях т, после процедуры сглаживания обычно поводят центрирование полученного ряда (находят средние значения двух последовательных скользящих средних).

Данный метод применим применим лишь для рядов, имеющих линейную

тенденцию. Если для процесса характерно нелинейное развитие, то простая скользящая средняя может привести к существенным искажениям.

Когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы и для исследователя желательно сохранить волны, то предпочтительной является взвешенная

скользящая средняя. При построении взвешенной скользящей средней на

каждом интервале сглаживания значение центрального уровня заменяется на расчетное, определяемое по формуле взвешенной средней арифметической:

i t p

где wi - весовые коэффициенты, определяемы методом наименьших

квадратов, при этом выравнивание на каждом интервале сглаживания осуществляется чаще всего с применением полиномов второго или третьего порядков11. Например, весовые коэффициенты для интервала 5 будут

следующие: 351 [ 3, 12, 17, 12, 3] , а для интервала 7: 211 [ 2, 3, 6, 7, 6, 3, 2]

Пример. Задан временной ряд объема выпуска продукции (в тыс. руб). Уровни ряда Y (t) приведены в таблице 5.

Выберем интервал сглаживания m=3 и проведем сглаживание простой скользящей средней (третья строка таблицы) После сглаживания явно видна возрастающая тенденция.

11 Михтарян В.С., Архипова М.Ю. и др. Эконометрика.: учеб./ под ред. Михтарян В.С . М.: ООО

«Проспект»,2008 , стр. 293

47

коэффициенты.

Метод экспоненциального сглаживания.

При исследовании экономических данных иногда важным является влияние на процесс более поздних наблюдений. Этот вопрос решает метод

экспоненциального сглаживания. В этом случае текущее значение временного

ряда сглаживается с учетом сглаживающей константы (веса), обычно

обозначаемой . Расчет проводится по следующей формуле:

St Yt (1 )St 1 , (5.4),

Рассматривая рекуррентный процесс разложения для величин St 1 , St2 и

т.д. по формуле (5.4), получим:

где j – число периодов отставания от момента t . Согласно формуле (5.5)

относительный вес каждого предшествующего уровня снижается по экспоненте по мере удаления от момента, для которого вычисляется сглаженное значение.

Отсюда и название данного метода.

При практическом использовании метода возникают проблемы выбора параметра и определения начального уровня Y0 . Чем больше значение

параметра , тем меньше сказывается влияние предшествующих уровней В каждом конкретном случае необходимо выбирать наиболее приемлемое

значение . Чаще всего это делается на основе проверки нескольких значений.

Задачу выбора начального значения Y0 решают следующим образом: за Y0

принимается первое значение временного ряда или среднее арифметическое

нескольких первых членов ряда.

Рассмотрим предыдущий пример. Проведем экспоненциальное

сглаживание временного ряда (третья строка таблицы)

Первое сглаженное значение равняется первому уровню ряда.. Следующее сглаженное значение рассчитываем согласно формуле (5.3), где

48