AlgAndGeom-1
.pdf§20. Канонические уравнения
нераспадающихся поверхностей второго порядка
В этом параграфе перечислены канонические уравнения нераспадающихся поверхностей второго порядка.
Теорема 20.1 (о классификации квадрик). Нераспадающаяся поверхность второго порядка принадлежит одному из следующих 12 ортогональных типов. (Без доказательства.)
No. |
Тип коники |
Каноническое уравнение |
Рисунок |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Вещественный |
|
2 |
|
2 |
2 |
= 1 |
|
|
x2 |
+ y2 + y2 |
|
|||||||
|
эллипсоид |
a |
|
|
b |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Мнимый |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
= −1 |
|
xa2 |
+ yb2 |
+ yc2 |
|
||||||
|
эллипсоид |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
Однополостный |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
xa2 |
+ yb2 |
− yc2 |
= 1 |
|
|||||
|
гиперболоид |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
Двуполостный |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
= −1 |
|
xa2 |
+ yb2 − yc2 |
|
|||||||
|
гиперболоид |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
Эллиптический |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2z = x2 |
+ y2 |
|
|||||
|
параболоид |
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
Гиперболический |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2z = xa2 |
− yb2 |
|
|||||
|
параболоид |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
Вещественный |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
xa2 |
+ yb2 |
− yc2 |
= 0 |
|
|||||
|
конус |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
Мнимый |
|
2 |
|
2 |
2 |
= 0 |
|
|
x2 |
+ y2 + y2 |
|
|||||||
|
конус |
a |
|
|
b |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
Эллиптический |
|
|
2 |
|
2 |
= 1 |
|
|
|
|
x2 |
+ y2 |
|
|||||
|
цилиндр |
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
Гиперболический |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
xa2 |
− yb2 |
= 1 |
|
||||
|
цилиндр |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
Параболический |
|
|
y2 = 2px |
|
||||
|
цилиндр |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
Мнимый эллипт. |
|
|
2 |
|
2 |
= −1 |
|
|
|
xa2 + yb2 |
|
|||||||
|
цилиндр |
|
|
|
|
|
|
|
|
71