AlgAndGeom-1

4)Если 0 < φ < π2 , то прямая cos φ · x + sin φ · y = 0 при напряжении поворачивается на угол φ по часовой стрелке и становится осью y′ = {x′ = 0},

5)Если −π2 < φ < 0, то прямая cos φ · x + sin φ · y = 0 при напряжении

′=

{x′ = 0}.

6) Если 0 < ψ < π2 , то прямая sin ψ · x + cos ψ · y = 0 при напряжении поворачивается на угол ψ против часовой стрелки и становится осью x′ =

{y′ = 0},

7)Если −π2 < φ < 0, то прямая sin ψ · x + cos ψ · y = 0 при напряжении поворачивается на угол ψ по часовой стрелке и становится осью x′ = {y′ = 0}.

8)Очевидно, что при φ = 0 или ψ = 0 напряжение превращается соответственно в вертикальный или горизонтальный сдвиг, а при φ = ψ = 0 — в тождественное отображение.

Определение 18.24. При φ + ψ = 0 напряжение принимает вид

{x′ = cos φ · x + sin φ · y y′ = − sin φ · x + cos φ · y

иназывается поворотом на угол φ.

Ничто не мешает определить поворот (безотносительно к напряжению) на всей оси −∞ < φ < ∞.

Определение 18.25. Аффинное преобразование называется ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведение любых двух векторов.

Лемма 18.26. Ортогональное преобразование сохраняет длины векторов и углы между ними.

Доказательство. 1) Пусть вектор a′ является образом вектора a. Тогда |a′| =

Следствие 18.27. При ортогональных преобразованиях сохраняются форма и размеры любой геометрической фигуры.

Другими словами: Если Γ R2 — фигура, а f : R2 → R2 ортогональное преобразование, то Γ и f(Γ) эквивалентны, т.е. являются двумя копиями одной фигуры.

Замечание 18.28. Не существуют ортогональные преобразования на плос-

61

§19. Кривые второго порядка

Определение 19.1. Множество точек, удовлетворяющих уравнению

называется кривой второго порядка или короче коникой, а уравнение (1) называется общим уравнением кривой второго порядка. Будем считать, что по крайней мере один из коэффициентов a, b c отличен от нуля.

Замечание 19.2. 1) Эллипс, гипербола и парабола являются кониками. Какие ещё кривые являются кониками? Ясно, что многочлен второго порядка может быть представлен в виде произведения многочленов первого порядка, тогда, например, коника (x + y − 2)(3x − 4y + 5) = 0 есть объединение двух прямых.

2) Чтобы форма коники не изменилась, мы используем только ортогональные преобразования: симметрии, параллельные переносы и повороты.

Стандартное упрощение общего уравнения коники путём поворота осей.

Теорема 19.3. Для поворота f : P → Q,

{

обратное преобразование, т.е. обратный поворот f−1 : Q → P , определяется по формулам

Доказательство. Обратный поворот есть поворот на угол −φ, поэтому, делая в формулах ( ) замены x ↔ X, y ↔ Y , φ ↔ −φ, получим формулы ( ).

Теорема 19.4. При повороте ( ) общее уравнение коники (1) преобразу-

62

2b(cos φ X − sin φ Y )(sin φ X + cos φ Y )+ c(sin φ X + cos φ Y )2+

2d(cos φ X − sin φ Y )+

2e(sin φ X + cos φ Y ) + f = 0.

Вычисляем "столбиком" коэффициенты

при X2, т.е. A = a cos2 φ + 2b cos φ sin φ + c sin2 φ,

при XY , т.е. 2B = −2a cos φ sin φ + 2b(cos2 φ − sin2 φ) + 2c cos φ sin φ, при Y 2, т.е. C = a sin2 φ − 2b cos φ sin φ + c cos2 φ,

при X, т.е. 2D = 2d cos φ + 2e sin φ, при Y , т.е. 2E = −2d sin φ + 2e cos φ,

свободный член F = f.

Приводим подобные члены в выражении для коэффициента 2B, получим требуемый результат.

Замечание 19.5. Если потребовать, чтобы получилось B = 0, надо ре-

63

Т.е. при повороте декартовых координат на каждый из углов

√

c − a ± (c − a)2 + 4b2

φ1,2 = arctan

2b

моном 2BXY в уравнении (1′) исчезнет. Т.о. мы доказали следующую теорему.

Теорема 19.6. Если b ≠ 0, то уравнение (1) при замене

{

x = cos φ1,2 X − sin φ1,2 Y y = sin φ1,2 X + cos φ1,2 Y

(либо с индексом 1, либо с индексом 2), где

√

преобразуется к виду

Замечание 19.7. 1) Нетрудно проверить, что tan φ1 · tan φ2 = −1. Это означает, что в полярных координатах прямые φ = φ1 и φ = φ1 взаимно перпендикулярны, а это в свою очередь означает, что при обоих поворотах

{

X = cos φ1,2 x + sin φ1,2 y Y = − sin φ1,2 x + cos φ1,2 y

эти прямые с точностью до симметрии

{

X = ±y Y = ±x ,

отображаются на координатные оси X и Y . Значит, поворот на угол φ1 и поворот на угол φ2 приведёт к одному результату.

2) При конкретных преобразованиях уравнения (1) к уравнению (2) полезно использовать формулы

Стандартное упрощение уравнения коники с B = 0 путём параллельного переноса осей. Классификация коник.

64

1. Случай A > 0 и C > 0. Рассмотрим случай, когда A > 0 и C > 0. (Если A < 0 и C < 0, то умножив уравнение (2) на −1, получим A > 0 и

C > 0.)

Выделим в уравнении (2) полные квадраты по X и по Y , получим

Обозначим α = −DA , β = −EC , G = DA2 + EC2 − F , получим уравнение

A (X − α)2 + C (Y 2 − β)2 = G.

1.1. Случай A > 0, C > 0 и G > 0. Разделим обе части на G, получим уравнение

65

1.3. Случай A > 0, C > 0 и G = 0. Уравнение

A (X − α)2 + C (Y − β)2 = 0

описывает объединение двух мнимых прямых

(√ √ ) (√ √ )

A (X − α) + i C (Y − β) A (X − α) − i C (Y − β) = 0,

пересекающихся в вещественной точке O′ = (α, β). Параллельным переносом начала координат в точку O′ уравнение этих прямых приводится к стандартному виду

где a = √1A и b = √1C или к виду

(xa + iyb ) (xa − iyb ) = 0.

2.Случай A > 0 и C < 0. Рассмотрим теперь случай, когда A > 0 и C < 0. (Если A < 0 и C > 0, то, умножив уравнение (2) на −1, получим

A > 0 и C < 0.)

Выделим в уравнении (2) полные квадраты по X и по Y и в точности как

вп.2.1 получим

A (X − α)2 + C (Y − β)2 = G,

где обозначены α = −DA , β = −EC , G = DA2 + EC2 − F .

2.1. Случай A > 0, C < 0 и G > 0. Разделим обе части на G, получим

с центром в точке O′ = (α, β). Параллельным переносом начала координат в точку O′ гипербола приводится к каноническому виду

2.2. Случай A > 0, C < 0 и G < 0. Легко проверить, что в этом случае получается гипербола.

66

2.3. Случай A > 0, C < 0 и G = 0. Уравнение

A (X − α)2 + C (Y − β)2 = 0

описывает объединение двух вещественных прямых

(√ √ ) (√ √ )

A (X − α) + −C (Y − β) A (X − α) − −C (Y − β) = 0,

пересекающихся в точке O′ = (α, β). Параллельным переносом начала координат в точку O′ уравнение этих прямых приводится к каноническому виду

где a = √1A и b = √−1 C .

3.Случай A = 0 и C ≠ 0. Рассмотрим теперь случай, когда A = 0

иC ≠ 0. (Если A ≠ 0 и C = 0, то с помощью симметрии относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов получим A = 0 и C ≠ 0.)

Уравнении (2) запишется в виде

Выделим в этом уравнении полный квадрат по Y получим

где β = −EC .

3.1. Случай A = 0 и C ≠ 0 и D ≠ 0. Разделим обе части на C, получим

уравнение

(Y − β)2 = −2DC (X − α) ,

параболы с фокальным параметром p = DC и с вершиной в точке O′ = (α, β),

где α = E2−CF . С помощью параллельного переноса начала координат в точ-

2D

ку O′ уравнение параболы приводится к виду

Y 2 = −2pX.

С помощью симметрии относительно оси Y оно приводится к каноническому

виду

y2 = 2px.

67

3.2. Случай A = 0, C ≠ 0 и D = 0. Уравнении (4) запишется в виде

при помощи симметрии относительно биссектрисы первого квадранта приво-

описывает объединение двух мнимых параллельных прямых

( √ )( √ )

Y − β + i CF − E2 Y − β − i CF − E2 = 0, C C

уравнение (5) принимает вид

(Y − β)2 = 0,

описывает двукратную прямую. Сделав параллельный перенос в точку (0, β), затем симметрию относительно биссектрисы первого квадранта, получим каноническое уравнение двух совпадающих прямых x2 = 0.

Таким образом нами доказана следующая теорема.

Теорема 19.8 (о классификации коник). Общее уравнение коники (1) с помощью ортогональных преобразований (поворот + параллельный перенос) может быть приведено только к одному из 9 видов следующей таблицы.

68

Качественное исследование общего уравнения коники.

Вернёмся к общему уравнению коники

Величина S называется следом, определитель ∆ называется дискриминантом, а S′ называется полуинвариантом коники.

Теорема 19.8 (критерий распада коники на две прямые). Многочлен в общем уравнении коники раскладывается в произведение многочленов первого порядка, согда ∆ = 0. Без доказательства.

69

Таблица (качественного исследования произвольной коники).

70