AlgAndGeom-1
.pdf
Доказательство. Рис. Пусть M = (x, y) — переменная точка на прямой L.
−−−→
Тогда вектор M0M = r − r0 = (x − x))i + (y−→− y0)j лежит на прямой L и поэтому параллелен направляющему вектору ℓ . По 3-му критерию колли-
неарности 7.5 получаем уравнение (4), а по 2-му критерию коллинеарности 3.9 получаем уравнение (5). 
Лемма 9.7. Уравнение прямой, проходящей через две точки M1 = (x1, y1) и M2 = (x2, y2), есть
x − x1 |
= |
y − y1 |
. |
(6) |
x2 − x1 |
|
|||
|
y2 − y1 |
|
||
Доказательство. Направляющим вектором этой прямой является вектор |
||||||||||||||||||
−→ |
= |
−−−→ |
= ( |
|
2 |
− |
|
1 |
)i + ( |
|
2 |
− |
|
1 |
)j |
поэтому по Лемме 9.6 уравнение (6) |
||
ℓ |
|
1 |
M |
2 |
|
x |
x |
|
y |
y |
|
|||||||
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
является искомым.
Лемма 9.8. Пусть прямая L проходит через точку M0 = (x0, y0) па-
−→
раллельно вектору ℓ = l1i + l2j. Тогда уравнения прямой L в векторнопараметрической форме есть
−→ r = r0 + ℓ t,
а в координатно-параметрической форме
{
x = x0 + l1t , y = y0 + l2t
(7)
(8)
где в обоих случаях −∞ < t < ∞.
Доказательство. Рис. Пусть M = (x, y) — переменная точка на прямой L.
−−−→
Тогда вектор M0M = r − r0 = (x − x))i + (y−→− y0)j лежит на прямой L и поэтому параллелен направляющему вектору ℓ . По 1-му критерию колли-
→−
неарности 1.14 получаем r − r0 = ℓ t или уравнение (7). Запишем уравнение (7) в координатной форме
xi + yj = x0i + y0j + (l1i + l2j)t.
По следствию 3.8 получаем уравнения (8).
21
Определение 9.9. По замечанию 9.4 уравнения Ax + By + C = 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
ρAx + ρBy + ρC = 0 описывают одну и ту же прямую. При ρ = ± |
√ |
|
|||||||||
A2+B2 |
|||||||||||
ρC < 0 уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
± ( |
√ |
A |
x + |
√ |
B |
y + |
√ |
C |
) = 0 |
|
|
и
и
A2 + B2 |
A2 + B2 |
A2 + B2 |
|
||
|
|
1 |
|
||
называется нормальным уравнением прямой, а ρ = ± |
√ |
|
называется нор- |
||
A2+B2 |
|||||
мирующим множителем. Условие ρC < |
0 означает, что знак нормирую- |
||||
щего множителя должен быть противоположен знаку C.
Замечание 9.10. 1) Чтобы получить нормальное уравнение прямой, надо общее уравнение (3) умножить на нормирующий множитель.
2) Вектор нормали N = ± ( |
√ |
|
A |
|
i + |
√ |
B |
j) — единичный вектор, т.к. |
||||||
|
|
|||||||||||||
A2+B2 |
A2+B2 |
|||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
B |
2 |
||
( |
√ |
|
) |
|
+ ( |
√ |
|
|
) = 1. |
|||||
|
|
|
||||||||||||
A2 + B2 |
|
A2 + B2 |
||||||||||||
3) По Лемме 6.10 координаты единичного вектора суть его направляющие
косинусы, и т.к. α + β = π/2, то cos α = ± |
√ |
A |
, а cos β = sin α = ± |
√ |
B |
|
|
||||
A2+B2 |
A2+B2 |
соответственно, и поэтому нормальное уравнение прямой может быть записано в компактном виде
cos α · x + sin α · y − p = 0, |
(9) |
где p > 0.
4) Значение нормального уравнения состоит в том, что, используя левую часть δ(x, y) = cos α·x+sin α·y−p этого уравнения, можно найти расстояние d(M0, L) от любой точки M0 = (x0, y0) до этой прямой L.
Теорема 9.11. Если уравнение прямой L приведено к нормальному виду (9), то расстояние от точки M0 = (x0, y0) до прямой L вычисляется по формуле
d(M0, L) = |δ(x0, y0)| = | cos α · x0 + sin α · y0 − p|.
Доказательство. Рис. Пусть e = cos α · i + sin α · j — единичный вектор нормали прямой L. Пусть прямая OM0 пересекает прямую L в точке M = (x, y). Тогда
d(M0, L) = M0B = AC = |OC − OA|,
6.2 |
(e,r0) |
6.7.1) |
+ sin α · y0, |
|
OC = prer0 = |
|
|
= (e, r0) = cos α · x0 |
|
|e| |
||||
|
|
|
(9) |
|
OA = prer = (e, r) = cos α · x + sin α · y = p.
Таким образом d(M0, L) = | cos α · x0 + sin α · y0 − p| = |δ(x0, y0)|.
22
Заметим, что
δ(x0, y0) > 0, согда точки O и M0 лежат по разные стороны от прямой L, δ(x0, y0) = 0, согда M0 L,
δ(x0, y0) < 0, согда точки O и M0 лежат по одну сторону от прямой L.
Замечание 9.12. 1) Если
L1(x, y) = A1x + B1y + C1 = 0
L1(x, y) = A2x + B2y + C2 = 0
— две неколлинеарные прямые, т.е. |
A1 |
B1 |
|
|
|||||
A2 |
̸= B2 , то по правилу Крамера |
|
|||||||
|
|
|
|
A1 |
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= A1B2 − A2B1 |
|
|
|
∆ = |
|
A2 B2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
C1 |
B1 |
|
|
|
|
|
∆1 = |
− |
B2 |
|
= −B2C1 + B1A2, |
|
|
||
|
|
−C2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
C1 |
|
|
|
|
|
|
∆2 = |
|
A2 |
− |
|
= −A1C2 + A2C1, |
|
|
|
|
|
−C2 |
|
|
|
||||
поэтому центр пучка M0 |
|
|
|
|
|
|
B2C1+B1A2 |
и |
|
= (x0, y0) имеет координаты x0 = |
−A1B2 A2B1 |
||||||||
y0 |
= −A1C2+A2C1 . Ясно, что |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
A1B2−A2B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A1x0 + B1y0 + C1 ≡ 0
A2x0 + B2y0 + C2 ≡ 0.
Определение 9.13. Пучком прямых с центром в M0 называется множество всех прямых, проходящих через точку M0. Рис.
Лемма 9.14. Если A1x+ B1y + C1 = 0 и A2x+ B2y + C2 = 0 — две разные прямые из пучка с центром в M0, то при при любых (α, β) ≠ (0, 0) прямая
α(A1x + B1y + C1) + β(A2x + B2y + C2) = 0, |
(10) |
или
(αA1 + βA2)x + (αB1 + βB2)y + αC1 + βC2 = 0, |
(10′) |
тоже является прямой из этого пучка.
Доказательство. Ясно, что эта прямая проходит через точку M0.
23
Определение 9.15. Уравнение (10) называется уравнением пучка с центром в M0.
Уравнение пучка можно записать короче в виде
αL1(x, y) + βL2(x, y) = 0, |
(10′′) |
где L1(x, y) = A1x + B1y + C1, L1(x, y) = A2x + B2y + C2.
Лемма 9.16. Уравнение прямой из пучка с центром в M0, которая про-
ходит через точку M1(x1, y1) ̸= M0, есть |
|
L2(x1, y1)L1(x, y) − L1(x1, y1)L2(x, y) = 0, |
(11) |
т.е. получается из уравнения пучка (10) при α = L2(x1, y1) и β = −L1(x1, y1).
Доказательство. Подставим в уравнение (11) координаты точки M1(x1, y1), получим тождество. 
§10. Плоскость в пространстве
Определение 10.1. Пусть P — плоскость в пространстве R3. Любой вектор N перпендикулярный плоскости P называется вектором нормали этой плоскости. Рис.
Всюду в дальнейшем M = (x, y, z) — произвольная (т.е. переменная) точка в пространстве R3 с декартовыми координатами (O; x, y, z), а M0 = (x0, y0, z0), M1 = (x1, y1, z1), M2 = (x2, y2, z2), . . . — фиксированные точки. Их радиус-векторы суть r = xi+yj+zk, r0 = x0i+y0j+z+0k, r1 = x1i+y1j+z1k, r2 = x2i + y2j + z2k, . . . соответственно. Рис.
Лемма 10.2. Уравнение плоскости P , проходящей через точку M0 = (x0, y0, z0) перпендикулярно вектору N = Ai + Bj + Ck. в векторной форме есть
(N, r − r0) = 0, |
(1) |
а в координатной форме —
A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0. |
(2) |
Доказательство. Рис. Пусть M = (x, y, z) — переменная точка на плоско-
−−−→
сти P . Тогда вектор M0M = r − r0 лежит на плоскости P и поэтому перпендикулярен вектору нормали N, т.е. N r − r0. По критерию ортогональности 6.5 получаем уравнение (1).
24
Т.к. N = Ai+Bj+Ck, а r−r0 = (x−x))i+(y−y0)j+(z−z0)k, то, вычисляя левую часть уравнения (1) по формуле 6.7.1), получаем уравнение (2). 
Определение 10.3. Уравнение (2) можно записать в виде
Ax + By + Cz − Ax0 − By0 − Cz0 = 0.
Обозначим D = −Ax0 − By0 − Cz0. Уравнение
Ax + By + Cz + D = 0 |
(3) |
называется общим уравнением плоскости в пространстве. Подчеркнём, что коэффициенты A, B, C в этом уравнении суть координаты вектора нормали плоскости.
Замечание 10.4. Ясно, что при ρ ≠ 0 уравнения Ax + By + Cz + D = 0 и ρAx + ρBy + ρCz + ρD = 0 описывают одну и ту же плоскость.
Теорема 10.5. (О расположении двух плоскостей в пространстве.) Пусть
P1(x, y) = A1x + B1y + C1z + D1 = 0
и
P2(x, y) = A2x + B2y + C2z + D2 = 0
— две плоскости P1 и P2. Тогда
1) |
P1 |
= P2, согда |
A1 |
= B1 = C1 |
= D1 , |
||
|
|
|
|
A2 |
B2 |
C2 |
D2 |
2) |
P1 ∩ P2 |
= L, согда (A1 : B1 : C1) ̸= (A2 : B2 : C2), |
|||||
3) |
P1 |
P2 |
, согда |
A1 |
B1 |
C1 |
D1 |
A2 |
= B2 |
= C2 |
̸= D2 . |
||||
Доказательство. 1) Очевидно по замечанию 10.4.
2) Плоскости P1 и P2 пересекаются, согда их векторы нормали неколлинеарны, т.е.
N1 = A1i + B1j + C1k N2 = A2i + B2j + C2k,
согда (A1 : B1 : C1) ≠ (A2 : B2 : C2) по 2-му критерию коллинеарности 3.9. 3) Утверждения 1) и 2) не выполнены, согда выполнено утверждение 3).
Теорема 10.6. Уравнение плоскости P , проходящей через три точки
M1 = (x1, y1, z1), M2 = (x2, y2, z2), M3 = (x3, y3, z3) есть |
|
||||||||
|
x |
x |
y |
y |
z |
z1 |
|
= 0. |
(4) |
x2 |
− x11 |
y2 |
− y11 |
z2 |
− z1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
− |
|
− |
|
− |
|
|
|
|
− x1 |
y3 − y1 |
z3 − z1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
Доказательство. Рис. Если переменная точка M лежит на плоскости P , то
векторы
−−−→
M1M = (x − x1)i + (y − y1)j + (z − z1)k,
−−−→
M1M2 = (x2 − x1)i + (y2 − y1)j + (z2 − z1)k,
−−−→
M1M3 = (x3 − x1)i + (y3 − y1)j + (z3 − z1)k
компланарны, тогда по 2-му критерию компланарности 7.8
−−−→ −−−→ −−−→
(M1M, M1M2, M1M3) = 0,
откуда по формуле 7.15.2) получаем требуемый результат.
Теорема 10.7. Уравнение плоскости P , проходящей через точку M0 = (x0, y0, z0) параллельно векторам a = a1i + a2j + a3k, b = b1i + b2j + b3k в векторной форме есть
|
|
(r − r0, a, b) = 0, |
|
а в координатной форме есть |
|
||
|
x − x0 y − y0 z − z0 |
||
a1 |
a2 |
a3 |
|
|
b1 |
b2 |
b3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5)
= 0. (6)
Доказательство. Рис. Если переменная точка M лежит на плоскости P , то
−−−→
векторы M0M = r − r0 = (x − x0)i + (y − y0)j + (z − z0)k, a, b компланарны, тогда по 2-му критерию компланарности 7.8 имеем
(r − r0, a, b) = 0.
По формуле 7.15.2) вычисления смешанного произведения получаем уравнение (6). 
Теорема 10.8. Параметрические уравнения плоскости P , проходящей через точку M0 = (x0, y0, z0) параллельно векторам a = a1i + a2j + a3k и b = b1i + b2j + b3k в векторной форме есть
r = r0 + as + bt, |
где |
s, t R1, |
|
(7) |
||
а в координатной форме есть |
|
|
|
|
|
|
x = x0 + a1s + b1t |
|
|
|
|
|
|
y = y0 + a2s + b2t |
, |
где s, t |
|
R1 |
, |
(8) |
z = z0 + a3s + b3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26
Доказательство. Рис. Если переменная точка M лежит на плоскости, тогда
−−−→
векторы M0M = r − r0 = (x − x0)i + (y − y0)j + (z − z0)k, a, b компланарны, тогда по 2.14
r − r0 = as + bt
или
r = r0 + as + bt.
Записывая последнее равенство в координатной форме, получаем уравнение (8). 
Определение 10.9. Общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 называется нормальным, если вектор нормали N = Ai+Bj+Ck — единичный вектор (т.е. |N| = 1), и D < 0.
Замечание 10.10. Чтобы получить нормальное уравнение плоскости, надо общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 умножить на норми-
рующий множитель ρ = ± |
√ |
|
1 |
|
|
и выбрать его знак так, чтобы ρD < 0. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
A2+B2+C2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
Пример. 2x − y + 2z − 6 = 0, |
ρ = ± |
√ |
|
|
|
|
|
= |
± |
3 . Нормальное |
||||||||||||||||||||
22+(−1)2+22 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
уравнение 32 x − 31 y + 32 z − 2 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2) Вектор нормали N = |
|
|
|
|
A |
|
i + |
|
|
B |
j + |
|
|
C |
|
k — |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
единичный вектор, т.к. |
|
|
|
|
± (√A2 |
+B2+C2 |
|
|
|
|
√A2+B2+C2 |
|
|
√A2+B2+C2 |
) |
|||||||||||||||
|
|
A |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( |
√ |
|
) |
|
+ ( |
√ |
|
) + ( |
√ |
|
) = 1. |
|||||||||||||||||||
A2 + B2 + C2 |
|
A2 + B2 + C2 |
A2 + B2 + C2 |
|||||||||||||||||||||||||||
3) По Лемме 6.10 координаты единичного вектора суть его направляющие
косинусы, т.е. cos α = |
√ |
A |
, cos β = |
√ |
B |
, cos γ = |
√ |
C |
, и по- |
|
|
|
|||||||
A2+B2+C2 |
A2+B2+C2 |
A2+B2+C2 |
этому нормальное уравнение плоскости может быть записано в компактном
виде |
|
cos α · x + cos β · y + cos γ · z − p = 0, |
(9) |
|D|
где p = √A2+B2+C2 > 0.
4) Значение нормального уравнения плоскости P состоит в том, что, используя левую часть δ(x, y, z) = cos α · x + cos β · y + cos γ · z − p этого уравнения, можно найти расстояние d(M0, L) от любой точки M0 = (x0, y0) до этой плоскости P .
Теорема 10.11. Если уравнение плоскости P приведено к нормальному виду (9), то расстояние от точки M0 = (x0, y0, z0) до плоскости P вычисляется по формуле
d(M0, P ) = |δ(x0, y0, z0)| = | cos α · x0 + cos β · y0 + cos γ · z0 − p|.
27
Доказательство. Рис. Пусть |
|
cos α · x + cos β · y + cos γ · z − p = 0, |
(9) |
— нормальное уравнение плоскости P . По Лемме 6.10 вектор N = e = cos α ·
i + cos β · j + cos γ · k — единичный вектор нормали плоскости P . Обозначим, |
||||||||||||||||||||||||
как обычно −−→0 = r0 |
= |
x |
0i + |
y |
0j + |
z |
0k, r = |
x |
i + |
y |
j + |
z |
k, Пусть прямая |
OM |
0 |
|||||||||
OM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= r = |
|
i + |
|
|
|
|||||||||
пересекает плоскость P в точке M = (x, y, z), т.е. |
−−→ |
x |
y |
j + |
z |
k, |
||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OM |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d(M0, L) = M0B = AC = |OC − OA|, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6.2 |
(e,r0) |
|
|
|
|
6.7.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z0, |
|
|
|
|
|
|
|
OC = prer0 = |
|
= (e, r0) |
= cos α · x0 |
+ cos β · y0 |
+ cos γ · |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|e| |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
OA = prer = (e, r) = cos α · x + cos β · y + cos γ |
|
(9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
· z = p. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Таким образом d(M0, L) = | cos α·x0+cos β·y0+cos γ·z0−p| = |δ(x0, y0, z0)|.
Заметим, что
δ(x0, y0, z0) > 0, согда начало координат O и точка M0 лежат по разные стороны от плоскости P ,
δ(x0, y0) = 0, согда M0 P ,
δ(x0, y0) < 0, согда начало координат O и точка M0 лежат по одну сторону от плоскости P .
Определение 10.12. Множество всех плоскостей, проходящих через фиксированную прямую L называется пучком плоскостей, проходящих через прямую L. Рис.
Замечание 10.13. Т.к. одно уравнение Ax + By + Cz + D = 0 задаёт плоскость в пространстве R3, то становится ясно, что прямую в пространстве задать с помощью одного уравнения первой степени невозможно. Т.к. две непараллельные плоскости пересекаются по единственной прямой, то прямую в пространстве R3 можно задать как пересечение двух плоскостей A1x+B1y+ C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0. Другими словами прямую в пространстве можно задать в виде системы двух уравнений
{
A1x + B1y + C1z + D1 = 0 , A2x + B2y + C2z + D2 = 0
{
потому что фигурная скобка в системе уравнений, означает логический знак "И" , т.е. означает, что решение M = (x, y, z) системы должно удовлетворять как первому так И второму уравнению, при этом множество всех решений (точек M = (x, y, z)) представляет собой прямую в пространстве.
28
Информация 10.14. В системе
[
A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0
[
квадратная скобка |
означает логическое "ИЛИ" , т.е. означает, что решение |
M = (x, y, z) системы должно удовлетворять ИЛИ первому ИЛИ второму |
|
уравнению, при этом множество всех решений (точек M = (x, y, z)) такой |
|
системы представляет собой объединение плоскостей. Рис. |
|
Лемма 10.15. Если |
|
|
P1(x, y, z) ≡ A1x + B1y + C1z + D1 = 0 |
(3.1) |
|
P2(x, y, z) ≡ A2x + B2y + C2z + D2 = 0 |
(3.2) |
|
— две разные плоскости P1 и P2 из пучка плоскостей вокруг прямой L, то |
||
при (α, β) ̸= (0, 0) плоскость |
|
|
α(A1x + B1y + C1z + D1) + β(A2x + B2y + C2z + D2) = 0, |
|
(10) |
или |
|
|
(αA1 + βA2)x + (αB1 + βB2)y + (αC1 + βC2)z + αD1 + βD2 = 0, |
(10′) |
|
тоже является плоскостью из этого пучка. |
|
|
Доказательство. Пусть M = (x, y, z) произвольная точка на прямой L = P1 ∩ P2. Т.к. эта точка лежит на обеих плоскостях, то при подстановке координат этой точки в уравнения (3.1) и (3.2) они обращаются в тождества. Это означает, что при постановке координат этой точки в уравнение (10) оно тоже обращается в тождество. Т.к. точка M — произвольная точка прямой L, то все точки прямой L удовлетворяют уравнению (10), а это означает, что плоскость (10) принадлежит пучку плоскостей вокруг прямой L. 
Определение 10.16. Уравнение (10) называется уравнением пучка плоскостей вокруг прямой L = P1 ∩ P2.
Уравнение пучка плоскостей можно записать короче в виде
αP1(x, y, z) + βP2(x, y, z) = 0, |
(10′′) |
где мы уже обозначили P1(x, y, z) = A1x + B1y + C1z + D1, P2(x, y, z) =
A2x + B2y + C2z + D2
Лемма 10.17. Уравнение плоскости из пучка плоскостей вокруг пря-
мой L, которая проходит через точку M0 = (x0, y0, z0) / L, есть |
|
P2(x0, y0, z0)P1(x, y, z) − P1(x0, y0, z0)P2(x, y, z) = 0, |
(11) |
29
т.е. получается |
из уравнения пучка (10) при α = P2(x0, y0, z0) и |
β = −P1(x0, y0, z0). |
Рис. |
Доказательство. Подставим в уравнение (11) вместо (x, y, z) координаты точки M0 = (x0, y0, z0), получим тождество
P2(x0, y0, z0)P1(x0, y0, z0) − P1(x0, y0, z0)P2(x0, y0, z0) ≡ 0,
что означает, что плоскость из пучка (10) проходит через точку M0.
Замечание 10.18. Уравнение (11) можно записать с помощью опреде-
лителя |
|
P (x, y, z) |
P (x, y, z) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
P1(1x0, y0, z0) |
P2(2x0, y0, z0) |
= 0. |
(11′) |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Определение 10.19. Множество всех плоскостей, проходящих через фиксированную точу M0 = (x0, y0, z0) называется связкой плоскостей с центром в точке M0. Рис.
Лемма 10.20. Если
P1(x, y, z) ≡ A1x + B1y + C1z + D1 = 0 |
(3.1) |
P2(x, y, z) ≡ A2x + B2y + C2z + D2 = 0 |
(3.2) |
P3(x, y, z) ≡ A3x + B3y + C3z + D3 = 0 |
(3.3) |
— три плоскости P1, P2, P3 из связки с центром в точке M0, у которых векторы нормали N1, N2, N3 не компланарны, то при (α, β, γ) ≠ (0, 0, 0) плоскость
P4(x, y, z) ≡ α(A1x + B1y + C1z + D1) + β(A2x + B2y + C2z + D2)+
+γ(A3x + B3y + C3z + D3) = 0, |
(12) |
или |
|
(αA1 + βA2 + γA3)x + (αB1 + βB2 + γB3)y+ |
|
+(αC1 + βC2 + γC3)z + αD1 + βD2 + γD3 = 0, |
(12′) |
тоже является плоскостью из этой связки.
Доказательство. Если M0 = (x0, y0, z0) — точка пересечения плоскостей P1, P2, P3, т.е. M0 = P1 ∩ P2 ∩ P3, то при подстановке координат этой точки в уравнения (3.1), (3.2), (3.3) они обращаются в тождества. Это означает, что при постановке координат этой точки в уравнение (12) оно тоже обращается в тождество, поэтому плоскость P4 проходит через точку M0 = (x0, y0, z0). 
30