AlgAndGeom-1

и сделаем аналогичные выкладки как в пункте 1), получим то же уравнение (2).

Это означает, что обе части гиперболы описываются одним уравнением (2).

Определение 14.5. Уравнение x2 − y2 = 1 называется каноническим

a2 b2

уравнением гиперболы. Точки пересечения с осью Ox называются вершинами гиперболы. Длина отрезка F1F2 называется фокусным расстоянием. Числа 2a и 2b называются вещественной и мнимой осями гиперболы соответственно. Величина p = ba2 называется фокальным параметром гиперболы.

Фокальный параметр равен расстоянию от фокуса до гиперболы по вер-

Теорема 14.6. Прямые y = ±ab x являются асимптотами гиперболы (2).

Доказательство. Из математического анализа известно, что если прямая y = kx + ℓ является асимптотой функции y = f(x), то

√

Из уравнения (2) следует, что y = f(x) = ±ab x2 − a2. Поэтому

41

Замечание 14.7. О построении гиперболы. Рис.

Определение 14.8. Число e = ac называется эксцентриситетом гиперболы.

Очевидно, что эксцентриситет гиперболы e > 1. Эксцентриситет является характеристикой сплюснотости гиперболы. Рис.

Замечание 14.9. Пусть F — фиксированная точка, и D — фиксированная прямая, такая что F / D. Пусть M — переменная точка. Обозначим r = F M и d = d(F, D). Пусть ε > 1 — фиксированное число. Рассмотрим геометрическое место точек, удовлетворяющее равенству

Определение 14.10. (2-е геометрическое определение гиперболы.) Гиперболой называется геометрическое место точек {M}, каждая точка которого удовлетворяет уравнению (3). Прямая D называется директрисой гиперболы, а точка F , как будет показано, совпадает с ближайшем к директрисе фокусом гиперболы. Уравнение (3) называется вторым геометрическим уравнением гиперболы. Рис.

Замечание 14.11. Выберем декартову систему координат так, чтобы

1)ось Ox проходила через точку F перпендикулярно директрисе D,

2)точка F имела абсциссу c > 0 (это выбор оси Oy),

3)директриса имела уравнение x = x0, где x0 < c. Рис.

Обозначим координату точки пересечения гиперболы с осью Ox через a, тогда этой точки гиперболы r = c − a и d = a − x0. Расстояния r и d должны удовлетворять уравнению (3), поэтому

Заметим, что для гиперболы ε > 1 и e > 1.

42

Если формально положить ε = e = ac , то уравнение директрисы (4) запишется в виде

Теорема 14.12. Если выполнено условие ε = e, то уравнение (3) приво-

Замечание 14.13. Т.к. гипербола x2 − y2 = 1 симметрична относительно

a2 b2

оси Oy, то она имеет две директрисы

x = ±a2 . c

Рис.

Теорема 14.14. Уравнение касательной к гиперболе

43

в точке M1 = (x1, y1), лежащей на этой гиперболе, имеет вид

Рис.

Доказательство. Во-первых, уравнение (6) — первой степени, поэтому является уравнением прямой.

Во-вторых, постановка (x, y) = (x1, y1) в уравнения (2) и (6) обращает их в тождества, что означает, что точка (x1, y1) лежит и на гиперболе, и на прямой.

В-третьих, гипербола имеет со всякой прямой две точки пересечения: либо две разные вещественные, либо две совпадающие вещественные точки (касание прямой), либо две разные мнимые точки. Поэтому, мы должны доказать, что прямая (6) имеет две совпадающие вещественные точки пересечения с гиперболой. Уравнение (6) запишем в виде

y = b2 (1 − x1x) y1 a2

и подставим в уравнение (2), получим квадратное уравнение (x − x1)2 = 0, которое имеет двукратный корень x1. Это означает, что прямая (6) является касательной к гиперболе (6).

§15. Парабола

Определение 15.1. Геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от прямой D и точки F / D, называется параболой. Прямая D называется директрисой, точка F — фокусом параболы. Рис.

(Обратим внимание dr = 1, т.е. для параболы ε = 1.)

Замечание 15.2. Обозначим AF = 2p. Поведем ось Ox через точку F перпендикулярно директрисе D, а ось Oy через середину отрезка AF .

Теорема 15.3. В выбранной декартовой системе координат парабола

44

y2 = 2px.

Замечание 15.4. Нетрудно видеть, что вертикальная прямая x( = )p2 , проходящая через фокус, пересекает параболу y2 = 2px в точке F = p2 , p . Поэтому p называется фокальным параметром параболы.

§16. Полярные координаты

Определение 16.1. Вы берем на плоскости точку O и назовём её полюсом. Рассмотрим к.-л. прямую, проходящую через полюс O, и назовём её полярной осью. В качестве координат произвольной точки M на плоскости выберем два числа: φ — угол в радианах между полярной осью и отрезком OM и ρ — расстояние от полюса O до точки M. Координаты φ и ρ называются полярными, а система координат — полярной системой координат.

Рис. M = (φ, ρ).

Замечание 16.2. Координата φ определена с точностью до слагаемого 2πk, где k = ±1, ±2, . . . . Другими словами пары чисел (φ, ρ), (φ ± 2π, ρ), (φ ±4π, ρ), . . . определяют одну и ту же точку M. При любом φ координаты (φ, 0) есть координаты полюса O.

Рис: Оси φ и ρ.

Замечание 16.3. О связи с декартовыми координатами. Рис.

1)Если φ0 — фиксированный угол, то уравнение φ = φ0 описывает луч, исходящий из полюса. (Аналог x = x0.) Рис.

2)Если ρ0 > 0 — фиксированное число, то уравнение ρ = ρ0 описывает окружность с центром O. (Аналог y = y0.) Рис.

45

3)Спираль Архимеда ρ = kφ, где k > 0, φ > 0. (Аналог y = kx.) Рис.

4)Логарифмическая спираль ρ = eφ. (Аналог y = ex.) Рис.

5)Прямая x = x0 имеет в полярных координатах уравнение ρ = cosx0φ.

6)Прямая y = y0 имеет в полярных координатах уравнение ρ = siny0φ.

7) Окружность x2 + y2 = R2 имеет в полярных координатах уравнение

ρ= R.

8)Окружность ρ = 2a sin φ. Рис.

9)Окружность ρ = 2a cos φ. Рис.

10)4-х лепестковая роза ρ = a sin 2φ. Рис.

11)4-х лепестковая роза ρ = a cos 2φ. Рис.

12)3-х хлепестковая роза ρ = a sin 3φ. Рис.

13)3-х лепестковая роза ρ = a cos 3φ. Рис.

14)Лемниската Бернулли (геометрическое место точек {M}, произведе-

ние расстояний r1 и r2 которых до двух данных точек F1, F2 (фокусов) равно квадрату половины фокусного расстояния, т.е. если F1F2 = 2c, то r1r2 = c2) (лемниската от греч. lemniskos — лента. В древности "лемнискатой" называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных соревнованиях.)

Получаем уравнение лемнискаты Бернулли в полярных координатах

√

ρ = a cos 2φ,

46

Подставим эти расстояния в уравнение параболы r = d, получим

Уравнение (3) есть каноническое уравнение параболы в полярных координатах. Рис.

Г. Вывод. В полярных координатах уравнение

при 0 < e < 1 определяет эллипс, при e = 1 — параболу,

при e > 1 — гиперболу.

Вдополнение заметим, что при e = 0 уравнение (4) превращается в ρ = p

иопределяет окружность радиуса p с центром в полюсе. Рис.

Другими словами при 0 ≤ e < ∞ уравнение (4) определяет семейство кривых, которое содержит окружность (при e = 0), эллипсы (при 0 < e < 1), параболу (при e = 1) и гиперболы (при e > 1).

§18. Линейные преобразования плоскости

Определение 18.0. Если f : X → Y произвольное отображение, то 1) для любого множества A X множество

f(A) = {f(x) Y | x A}

называется образом множества A при отображении f, (Рис.) 2) для любого множества B Y множество

f−1(B) = {x X | f(x) B}

называется (полным) прообразом множества B при отображении f. Рис. Определение 18.1. Пусть P и Q — две плоскости с декартовыми коор-

динатами (x, y) и (x′, y′) соответственно. Отображение f : P → Q, заданное

50