AlgAndGeom-1

Определение 3.10. 1) Базис e1, e2, . . . , en называется ортогональным, если его векторы попарно перпендикулярны.

2) Ортогональный базис называется ортонормированным, если |e1| = 1,

|e2| = 1, . . . , |en| = 1.

§4. Координаты точки.

Определение 4.1. Совокупность фиксированной точки O и базиса e1, e2,

. . . , en называется аффинной системой координат. Обозначение: (O; e1, e2 ,

. . . , en). Если базис ортогональный (соотв. ортонормальный), то система координат называется ортогональной (соотв. декартовой).

Определение 4.2. Для точки M Rn и базиса e1, e2, . . . , en в Rn вектор

−−→

r = OM = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen называется радиус-вектором точки M, а его координаты называются координатами точки M в этой аффинной систе-

ме координат. Обозначение M = (x1, x2, . . . , xn). Прямые Ox1, Ox2, . . . , Oxn, проходящие через точку O и параллельные базисным векторам, называются

координатными осями.

Лемма 4.3. Если A = (a1, a2, . . . , an) и B = (b1, b2, . . . , bn) координаты

−→

точек, то AB = (a1 − b1)e1 + (a2 − b2)e2 + · · · + (an − bn)en.

−→ −−→ −→

Доказательство. AB = OB−OA = (a1 −b1)e1 +(a2 −b2)e2 +· · ·+(an −bn)en. Рис.

Теорема 4.4. (Деление отреза в данном отношении.) Пусть M1 = (x1, y1, z1) и M2 = (x2, y2, z2) – две точки. Если точка M = (x, y, z) делит отрезок

−−−→

M M

11

§5. Проекции вектора на вектор.

Определение 5.1. Углом φ между ненулевыми векторами a и b называется наименьший положительный угол между ними. Обозначение: φ =

Доказательство. 1) Рис. 2) Рис.

Лемма 5.5. Пусть a, b, c – векторы, c ≠ o, и α – число. Тогда

1)prc(αa) = αprca,

2)prc(a + b) = prca + prcb.

12

Определение 6.4. Векторы a и b называются ортогональными (или перпендикулярными), если угол φ между ними прямой. Обозначение: a b.

Теорема 6.5. (Критерий ортогональности векторов.) Ненулевые векторы ортогональны, согда их скалярное произведение равно нулю.

Доказательство. a b, согда \(a, b) = π2 , согда (a, b) = |a| · |b| cos π2 .

Замечание 6.6. Таблица скалярного умножения векторов ортонормированного базиса i, j, k. Всюду в дальнейшем i, j, k – ортонормированный базис. Рис.

Таблица (a, b).

Теорема 6.7. Если a = a1i + a2j + a3k, b = b1i + b2j + b3k и φ – угол между ними, то

1) (a, b) = a1b1 + a2b2 + a3b3,

Доказательство. 1), 2), 3).

Определение 6.8. Если a ≠ o, то углы α = \(a, i), β = \(a, j), γ =

\(a, k) называются направляющими углами, а их косинусы – направляющими косинусами. Рис.

Лемма 6.9. (О направляющий косинусах.) cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.

5.2

Доказательство. Пусть a = a1i+a2j+a3k. Вычисляем a1 = pria = |a| cos α, т.е. a1 = |a| cos α. Аналогично a2 = |a| cos β и a3 = |a| cos γ. Поэтому

С другой стороны по 6.3.7) имеем (a, a) = |a|2. Откуда получаем требуемый результат.

Лемма 6.10. (О координатах единичного вектора.) Если e – произвольный единичный вектор и cos α, cos β, cos γ – его направляющие косинусы, то e = cos α i + cos β j + cos γ k.

14

Доказательство. Запишем формулу ( ) для вектора e

e = |e| cos α i + |e| cos β j + |e| cos γ k.

Т.к. |e| = 1, то получаем требуемую формулу.

§7. Векторное произведение и смешанное произведение

Определение 7.1. Упорядоченная тройка векторов a, b, c называется правой, если кратчайший поворот от a к b виден с конца вектора c против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой. Рис.

Определение 7.2. Каждая из этих двух возможностей (быть правой или левой тройкой) называется ориентацией тройки.

Лемма 7.3. Тройки a,b,c; b,c,a; c,a,b имеют одну ориентацию, а тройки b,a,c; a,c,b; c,b,a — другую ориентацию.

Доказательство.

Определение 7.4. Векторным произведением векторов a и b называется вектор c = [a, b], который находится следующим образом.

1)|c| = |[a, b]| = |a||b| sin φ,

2)c a и c b,

3)a, b, c — правая тройка.

Если один из векторов a, b или оба равны нулевому вектору, то [a, b] = o. Рис.

Лемма 7.5. (3-й критерий коллинеарности.) Ненулевые векторы a и b

коллинеарны a b, согда [a, b] = o.

Доказательство. a b φ = 0, согда sin φ = 0, согда [a, b] = o.

Замечание 7.6. Если a b, то длина |c| = |[a, b]| = |a||b| sin φ численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b. Рис.

Определение 7.7. Смешанным (векторно-скалярным) произведением векторов a, b, c называется число ([a, b] , c). Обозначение: ([a, b] , c) = (a, b, c).

Теорема 7.8. (2-й критерий компланарности.) Ненулевые векторы a, b, c компланарны, согда (a, b, c) = 0.

0. Рис.

2) Доказывается в обратном порядке.

15

Теорема 7.9. (Об объёме параллелепипеда, построенного на некомпланарных векторах.)

Доказательство. Рис. V = S осн. h = |[a, b]| h. Но по пред. 5.2

{

Поэтому V =

Следствие 7.10. (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = −(b, a, c) = −(a, c, b) =

−(c, b, a).

Следствие 7.11.

(a, b, c) > 0, если a, b, c — правая тройка

(a, b, c) = 0, если a, b, c — компланарны .(a, b, c) < 0, если a, b, c — левая тройка

Лемма 7.12. (Вспомогательная.) Если для любого вектора x R3 выполнено равенство (a, x) = 0, то a = o.

Доказательство. Пусть a = a1i + a2j + a3k, и т.к. x — произвольный, то

1)пусть x = i = i + 0j + 0k, тогда (a, i) = a1, т.е. a1 = 0,

2)пусть x = j = 0i + j + 0k, аналогично a2 = 0,

3)аналогично a3 = 0.

Таким образом a = o.

Теорема 7.13. (Свойства векторного произведения.)

1)[a, b] = −[b, a] (антикоммутативность),

2)[αa, b] = α[a, b],

3)[a + b, c] = [a, c] + [b, c],

4)[a, βb] = β[a, b],

5)[a, b + c] = [a, b] + [a, c].

16

Таким образом ([α a, b] , x) = (α [a, b] , x), т.е ([α a, b] , x) − (α [a, b] , x) = 0, или по 6.3.3) имеем ([α a, b] − α [a, b] , x) = 0, или по 7.12 имеем [α a, b] − α [a, b] = o. Откуда получаем требуемый результат.

7.10

3) Доказывается аналогично, начиная вычисления с ([a + b, c], x) = . . .

4) Доказывается как 6.3.4).

5) Доказывается как 6.3.5).

Замечание 7.14. Таблица векторного умножения векторов ортонормированного базиса i, j, k. Рис.

По 3-му критерию коллинеарности 7.5 имеем [i, i] = [j, j] = [k, k]. Таблица [a, b].

Теорема 7.15. (Вычисление векторного и смешанного произведений в правом ортонормированном базисе.) Если a = a1i+a2j+a3k, b = b1i+b2j+b3k

§8. Двойное векторное произведение

Определение 8.1. Двойным векторным произведением векторов a, b, c называется вектор [[a, b] , c].

17

Замечание 8.2. Векторное произведение не является ассоциативным, т.е.

[[a, b] , c] ≠ [a, [b, c]] .

Пример. [[i, i] , j] = [o, j] = o, а [i, [i, j]] = [i, k] = −j.

Теорема 8.3. Справедливо тождество

[[a, b] , c] = b (a, c) − a (b, c) .

Доказательство. По опред. 6.1 и 7.4 скалярное и векторное произведения не зависят от выбора базиса, поэтому достаточно доказать это тождество в каком-либо (удобном) базисе, и это будет означать, что тождество будет выполняться в любом другом базисе.

Выберем правый ортогональный базис i, j, k так, чтобы i j, а векторы i, j, b были бы компланарны. Рис. Тогда в этом базисе

b (a, c) − a (b, c) = (b1i + b2j)a1c1 − a1i(b1c1 + b2c2) = −a1b2c2i + a1b2c1j. 3) Левая и правая части равны, следовательно тождества доказано.

Следствие 8.4. Справедливо тождество

[a, [b, c]] = b (a, c) − c (a, b) .

Теорема 8.4. Справедливо тождество Якоби.

[[a, b] , c] + [[b, c] , a] + [[c, a] , b] = o.

18

Доказательство. Складывая левые и правые части равенств

8.3

[[a, b] , c] = b (a, c) − a (b, c) ,

8.3

[[b, c] , a] = c (a, b) − b (a, c) ,

8.3

[[c, a] , b] = a (b, c) − c (a, b) ,

получим требуемый результат.

Глава 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

§9. Прямая на плоскости

Определение 9.1. Пусть L — прямая на плоскости.

1) Любой вектор N перпендикулярный прямой L называется вектором

нормали этой прямой. Рис.

→−

2) Любой вектор ℓ параллельный прямой L называется направляющим вектором этой прямой. Рис.

Всюду в дальнейшем M = (x, y) — произвольная (т.е. переменная) точка на плоскости с декартовыми координатами (O; x, y), а M0 = (x0, y0), M1 = (x1, y1), M2 = (x2, y2), . . . — фиксированные точки. Их радиус-векторы суть r = xi + yj, r0 = x0i + y0j, r1 = x1i + y1j, r2 = x2i + y2j, . Рис.

Лемма 9.2. Пусть прямая L проходит через точку M0 = (x0, y0) перпендикулярно вектору N = Ai + Bj. Тогда уравнение прямой L в векторной форме есть

а в координатной форме

Доказательство. Рис. Пусть M = (x, y) — переменная точка на прямой L.

−−−→

Тогда вектор M0M = r − r0 лежит на прямой L и поэтому перпендикулярен вектору нормали N, т.е. N r − r0. По критерию ортогональности 6.5 получаем уравнение (1).

Т.к. N = Ai + Bj, а r −r0 = (x −x))i + (y −y0)j, то вычисляя левую часть уравнения (1) по формуле 6.7.1) получаем уравнение (2).

Определение 9.3. Уравнение (2) можно записать в виде

Ax + By − Ax0 − By0 = 0.

19

Обозначим C = −Ax0 − By0. Уравнение

называется общим уравнением прямой на плоскости. Подчеркнём, что коэффициенты A и B в этом уравнении суть координаты вектора нормали прямой.

Замечание 9.4. Ясно, что при ρ ≠ 0 уравнения Ax + By + C = 0 и ρAx + ρBy + ρC = 0 описывают одну и ту же прямую.

Теорема 9.5. (О расположении двух прямых на плоскости.) Пусть

L1(x, y) = A1x + B1y + C1 = 0

и

L2(x, y) = A2x + B2y + C2 = 0

— две прямые L1 и L2. Тогда

Доказательство. 1) Очевидно по замечанию 9.4.

2) Прямые L1 и L2 пересекаются, согда их векторы нормали неколлинеарны, т.е.

Лемма 9.6. Уравнение прямой L, проходящей через точку M0 = (x0, y0)

−→

параллельно вектору ℓ = l1i + l2j в векторной форме есть

20