AlgAndGeom-2

преобразует квадратичную форму a(x) = a(x1, x2, x3, . . . , xn) = a12x1x2 +

a13x1x3 + . . . + annx2n в квадратичную форму a(y1 + y2, y1 − y2, y3, . . . , yn) =

a12(y1 + y2)(y1 − y2) + a13(y1 + y2)y3 + . . . + annyn2 = a12y12 − a12y22 + a13y1y3 +

a13y2y3 + . . . + annyn2, в которой коэффициент при y12 отличен от нуля.

Доказательство. Утверждение очевидно.

Вернёмся к квадратичной форме (Q) и рассмотрим случай a11 ≠ 0. Заметим, что члены, имеющие множитель x1, содержатся только в первой строке квадратичной формы: a11x21 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + · · · + 2a1nx1xn, а члены остальных строк не имеют множитель x1. Обозначим выражение, несодержащее x1, через b(x2, x3, . . . , xn). Ясно, что b(x2, x3, . . . , xn) — квадратичная форма, а квадратичную форму (Q) можно записать в компактном виде

a(x) = a11x21 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + · · · + 2a1nx1xn + b(x2, x3, . . . , xn).

Теорема 38.6. (Метод Лагранжа.) Если a11 ≠ 0, то с помощью линейной формы

квадратичная форма (Q) может быть приведена к виду

a11y12 + c(x2, x3, . . . , xn),

где

— квадратичная форма, несодержащая аргумента x1.

Доказательство. Выделим полный квадрат из первой строки квадратичной формы (Q) следующим образом.

a(x) =

71

( )

c(x2, x3, . . . , xn) = −a11 a11 x2 + a11 x3 + . . . + a11 xn + b(x2, x3, . . . , xn),

получим требуемый результат.

Замечание 38.7. Применяя последовательно к квадратичной форме c(x2, x3, . . . , xn) (если необходимо сначала лемму 38.5) и теорему 38.6, можно привести её к сумме квадратов линейных форм.

Метод Якоби

Замечание 38.8. (Метод Якоби.)Если все главные миноры матрицы

квадратичной формы a(x) = X AX отличны от нуля, т.е.

72

то квадратичную форму можно привести к каноническому виду

(Без доказательства.)

Пример. Привести квадратичную форму a(x) = x21+2x1x2+2x22+4x2x3+ 3x23 к каноническому виду методом Якоби.

виду: y12 + y22 − y32.

Какие миноры матрицы квадратичной формы надо выбрать взамен главных, чтобы привести её к виду −12 z12 + 23 z22 + 3z32?

73