AlgAndGeom-2

a11a22a33 − a11a23a32 + a13a21a32 − a12a21a33 + a12a23a31 − a13a22a31.

Лемма 23.2 (1-е свойство). Определитель не изменяется при транспонировании, т.е. det A = det A.

Доказательство. При транспонировании индексы элементов матрицы не изменяются, это означает, что оба определителя det A и det A имеют одинаковые члены (−1)inv(k1k2:::kn)a1k1 a2k2 . . . ankn , и суммирование происходит по тем же перестановкам, поэтому det A = det A.

Следствие 23.3 Все утверждения, справедливые для строк определителя, верны для его столбцов.

Лемма 23.4 (2-е свойство). Если в определителе поменять местами две строки, то определитель поменяет знак.

т.е. det B получился из det A переменой местами p-й и q-й строк. По опред. 23.1 запишем произвольный член из det A:

(−1)inv(k1:::kp:::kq:::kn)a1k1 . . . apkp . . . aqkq . . . ankn .

По опред. 23.1 запишем соотвествующий член из det B:

(−1)inv(k1:::kq:::kp:::kn)a1k1 . . . aqkq . . . apkp . . . ankn .

Умножение коммутативно поэтому

a1k1 . . . apkp . . . aqkq . . . ankn = a1k1 . . . aqkq . . . apkp . . . ankn .

По лемме 22.8 числа

inv(k1 . . . kp . . . kq . . . kn) и inv(k1 . . . kq . . . kp . . . kn)

имеют разную четность, следовательно единицы

(−1)inv(k1:::kp:::kq:::kn) и (−1)inv(k1:::kq:::kp:::kn)

11

имеют разные знаки.

Таким образом каждый член определителя det A входит в det B с противоположным знаком, поэтому det B = − det A.

Лемма 23.5 (3-е свойство). Если определитель имеет две одинаковые строки, то он равен нулю.

Доказательство. Если в определителе поменять местами одинаковые строки, то он не изменится, а по лемме 23.4 он меняет знак. Значит det A = − det A и поэтому det A = 0.

Лемма 23.6 (4-е свойство). Если все элементы некоторой строки определителя умножить на число c, то и сам определитель умножится на c. Другими словами, общий множитель всех элементов строки можно выносить за знак определителя.

Лемма 23.7 (5-е свойство). Если определитель имеет две пропорциональные строки, то он равен нулю.

Доказательство. Вынесем множитель пропорциональности за знак определителя, получим определитель с двумя одинаковыми строками; по лемме 23.6 он равен нулю.

Лемма 23.8 (6-е свойство). Если некоторая строка определителя состоит из нулей, то он равен нулю.

Доказательство. Можно рассматривать нулевую строку как пропорциональную какой-либо другой строке с нулевым коэффициентом пропорциональности и вынести ноль за знак определителя. Впрочем, доказательство получается непосредственно из определения определителя.

12

Лемма 23.9 (7-е свойство). Если элементы p-ой строки определителя d

∑

=(−1)inv(k1:::kp:::kn)a1k1 . . . bpkp . . . ankn +

k1:::kp:::kn

∑

+(−1)inv(k1:::kp:::kn)a1k1 . . . cpkp . . . ankn = d1 + d2.

k1:::kp:::kn

Доказанная теорема очевидно обобщается на сумму произвольного числа слагаемых.

Определение 23.10. Если i1, i2, . . . , is-ю строку мы умножим соответственно на c1, c2, . . . , cs и поэлементно складываем, то полученная строка называется линейной комбинацией этих строк.

Лемма 23.11 (8-е свойство). Определитель не изменится, если к одной его строке прибавить другую, умноженную на какое-нибудь число.

Доказательство. Утверждение непосредственно следует из 23.9 и 23.7.

Лемма 23.12 (9-е свойство). Определитель не изменится, если к одной его строке прибавить линейную комбинацию других его строк.

13

Доказательство. Применяя лемму 23.11 несколько раз, получаем требуемое утверждение.

Лемма 23.13 (10-е свойство). Если одна строка определителя есть линейная комбинация других его строк, то определитель равен нулю.

Доказательство. Утверждение непосредственно следует из 23.9 и 23.7.

§24. Миноры и алгебраические дополнения

вычеркнем i-ю строку и k-й столбец, обозначим полученный определитель (n − 1)-го порядка символом Mik:

Замечание 24.2. 1) По опред. 23.1 минор Mik, являясь определителем (n − 1)-го порядка, содержит (n − 1)! различных слагаемых.

14

2)Минор Mik не зависят от элементов i-й строки и k-го столбца, т.к. их вычеркнули.

3)Выражение aikMik можно рассматривать как сумму (n−1)! различных слагаемых, но пока не ясно, имеют ли эти слагаемые те же знаки как и члены определителя det A.

4)Если l ≠ k, то выражения aikMik и ailMil не содержат одинаковых слагаемых. Это означает, что выражения ai1Mi1, ai2Mi2, . . . , ainMin содержат все слагаемые определителя det A, т.е. все n! штук, но пока не ясно, имеют ли эти слагаемые в det A и aikMik одинаковые знаки.

В следующем выражении для определителя det A мы выделили черточ-

Лемма 24.3. Каждое слагаемое в annMnn является членом определителя det A.

Доказательство. 1) Число перестановок k1k2 . . . kn−1 и при фиксированном положении n число перестановок k1k2 . . . kn−1n одно и то же и равно (n −1)!.

2)Т.к. n > 1, 2, . . . , n − 1, то числа инверсий inv(k1k2 . . . kn−1) и inv(k1k2 . . . kn−1n) равны.

3)По опред 23.1 выпишем

∑

=(−1)inv(k1k2:::kn−1n)a1k1 a2k2 . . . an−1;kn−1 ann.

k1k2:::kn−1n

Из опред. 23.1 видно, что последняя сумма совпадает с суммой тех членов определителя det A, которые содержат сомножитель ann.

Замечание 24.4. Если в определителе det A (см. опред. 24.1)

1) поменять местами i-ю строку с (i + 1)-й, затем (i + 1)-ю с (i + 2)-й, . . . , затем (n − 1)-ю с n-й; а после этого

15

2) поменять местами k-й столбец с (k + 1)-м, затем (k + 1)-й с (k + 2)-м,

. . . , затем (n − 1)-й с n-м, то в результате этих n − i и n − k транспозиций получится определитель

Лемма 24.5. det A1 = (−1)i+k det A.

Доказательство. Из 24.4 и леммы 23.4 имеем det A1 = (−1)n−i+n−k det A = (−1)2n−i−k det A = (−1)i+k det A.

Лемма 24.6. Каждое слагаемое в aik(−1)i+kMik является членом определителя det A.

Доказательство. Утверждение следует из леммы 24.3.

Определение 24.7. Выражение Aik = (−1)i+kMik называется алгебраическим дополнением к элементу aik в определителе det A.

Теорема 24.8 (1-я теорема о разложении определителя по i-й строке, 1-я торопс).

det A = ai1(−1)i+1Mi1 + ai2(−1)i+2Mi2 + · · · + ain(−1)i+nMin =

∑n

= ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · · + ainAin = aikAik k=1

Доказательство. Утверждение следует из леммы 24.7, замеч. 24.2.4) и опред. 24.7.

Теорема 24.9 (2-я торопс). Сумма произведений элементов k-й строки определителя на алгебраические дополнения к соответствующим элементам i-й строки (i ≠ k) равна нулю, т.е.

ak1Ai1 + ak2Ai2 + · · · + aknAin = 0.

16

Сформулируем без доказательства теорему Лапласа, которая считается венцом теории определителей. Для этого нам понадобится подготовительное

Пусть k — любой номер 1 ≤ k < n. Выберем в определителе k произвольных строк с номерами i1, i2, . . . , ik, удовлетворяющие условию

1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n

и k произвольных столбцов с номерами j1, j2, . . . , jk, удовлетворяющие условию

1 ≤ j1 < j2 < · · · < jk ≤ n.

Определение 24.10. 1) Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k. Определитель этой

матрицы называется минором первого типа и обозначается Ai1i2:::ik .

j1j2:::jk

2) Вычеркнем теперь из определителя det A выбранные строки и столбцы, оставшиеся элементы образуют квадратную матрицу порядка n − k. Опре-

делитель этой матрицы называется минором второго типа и обозначает-

ся Mi1i2:::ik . j1j2:::jk

Замечание 24.11. Если зафиксировать строки с номерами i1i2 . . . ik, то можно подсчитать, что

17

2) число разных миноров второго типа Mi1i2:::ik , порожденных этими стро-

j1j2:::jk

Теорема Лапласа 24.12. (Разложение определителя по k строкам.) Для любых k строк (1 ≤ k < n) с фиксированными номерами i1, i2, . . . , ik, такими что 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n, справедлива формула

§25. Обратимые матрицы

Доказательство. Т.к. в первых n строках содержится единственный отличный от нуля минор A1212:::n:::n = det A и при этом M1212:::n:::n = det B, то по теореме Лапласа имеем

∆1 = (−1)1+2+···+n+1+2+···+n A1212:::n:::n M1212:::n:::n = det A det B.

18

Доказательство. Т.к. в первых n строках содержится единственный отлич-

Теорема 25.3. Пусть A = (aik), B = (bkj) — квадратные матрицы n-го

19

=0 0 . . . 0 c11 c12 . . . c1n .

Теперь в определителе ∆ прибавим ко второй строке сумму следующих строк

Теперь в определителе ∆ прибавим к n-й строке сумму следующих строк (n + 1)-ю строку, умноженную на an1;

(n + 2)-ю строку, умноженную на an2;

..............................................................;

20