AlgAndGeom-2

Ясно, что при этих манипуляциях строки с номерами n + 1, n + 2, . . . , 2n сохранятся.

3) По 25.2 имеем

= (−1)n2 det C (−1)n = (−1)n(n+1) det C = det C.

Теорема 25.4. (О произведении определителей.) Пусть A и B — квадратные матрицы n-го порядка. Тогда det(AB) = det A det B.

Доказательство. По 25.3.1) имеем ∆ = det A det B. По 25.3.3) имеем ∆ = det C = det(AB).

Следствие 25.5. Если C = AB и det C ≠ 0, то det A ≠ 0 и det B ≠ 0.

Обратимая матрица.

Определение 25.6. Квадратная матрица A порядка n называется обратимой, если существует такая матрица, обозначаемая A−1, что

AA−1 = A−1A = E.

Матрица A−1 называется обратной матрице A.

Теорема 25.7. Обратимая матрица имеет единственную обратную.

Доказательство. Допустим, что A имеет две разные обратные матрицы A1,

A2, A1 ≠ A2 и

AA1 = A1A = E и AA2 = A2A = E.

Тогда AA1 = AA2, A−1AA1 = A−1AA2, EA1 = EA2, A1 = A2. Полученное противоречие доказывает теорему.

21

Определение 25.8. Матрица A называется вырожденной, если det A = 0, и невырожденной, если det A ≠ 0,

Теорема 25.9. Пусть

(Обратите внимание, что в матрице B строки занумерованы вторым индексом, а столбцы — первым.)

Доказательство. 1) Вычислим

На месте ii главной диагонали стоит разложение определителя det A по

∑n

i-й строке; по теор. 24.8 имеем aikAik = det A.

k=1

На месте ij при i ≠ j стоит сумма произведений элементов i-й строки

определителя на алгебраические дополнения к соответствующим элементам

∑n

22

Окончательно получаем AB = det A · E

2) Равенство BA = det A · E доказывается аналогично.

Теорема 25.10. Пусть A — невырожденная матрица. Тогда

Доказательство. По теор. 25.9 имеем AB = BA = det A · E или

Отсюда по опред. 25.6 имеем A−1 = det1 AB.

Теорема 25.11. (Критерий обратимости.) Матрица A обратима тогда и только тогда, когда det A ≠ 0, (т.е. A — невырожденная).

денная.

Теорема 25.12. Пусть A, B — обратимые матрицы, тогда

1)det A−1 = det1 A;

2)(AB)−1 = B−1A−1 (ср. с 21.17);

3)(A−1)−1 = A;

4)матрица A обратимая;

5)(A )−1 = (A−1) , т.е. операции взятия обратной матрицы и транспонирования коммутативны;

Доказательство. 1) Т.к. A−1A = E, то det(A−1A) = 1 и по теор. 25.4 det A−1 det A = 1.

2) По опред. 25.6

AB (AB)−1 = E,

A−1AB (AB)−1 = A−1E,

23

EB (AB)−1 = A−1, B−1B (AB)−1 = B−1A−1, (AB)−1 = B−1A−1.

Теорема 25.13. Пусть A — обратимая, а B — любая матрица, тогда справедливо тождество det(A−1BA) = det B.

Глава 5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

§26. Матричные уравнения и системы

линейных уравнений с невырожденной матрицей

Везде в этом параграфе матрица A — квадратная невырожденная матри-

ца.

Определение 26.1. Уравнения вида AX = B, XA = B, AXB = C, где A, B, C — данные, а X — неизвестная матрица, называются матричными. Разумеется, что матрицы, входящие в такие уравнения, выбираются таких размеров, чтобы запись имела смысл.

Пример.

Теорема 26.2. Пусть AX = B — матричное уравнение, где A — невырожденная квадратная матрица порядка n, B — матрица размера n × s. Тогда

24

1)матрица X = A−1B размера n × s является решением уравнения

AX = B;

2)это решение единственное.

Доказательство. 1) Подставим X = A−1B в уравнение AX = B, получим AA−1B = B, т.е. тождество B ≡ B.

2) Допустим, что имеется два разных решения X1, X2, X1 ≠ X2, т.е. AX1 ≡ B и AX2 ≡ B — тождества. Вычтем из первого тождества второе, получим AX1 − AX2 ≡ O, где O — нулевая матрица размера n × s; затем A(X1 − X2) ≡ O, A−1A(X1 − X2) ≡ A−1O, X1 − X2 ≡ O, и полученное противоречие X1 ≡ X2 доказывает теорему.

Аналогично доказывается, что

1)решение уравнения XA = B есть X = BA−1;

2)решение AXB = C есть X = A−1CB−1.

то эту систему можно записать в матричном виде AX = B, при этом A называется матрицей СЛУ, X — столбцом неизвестных, а B — столбцом свободных членов.

25

c1

c2

Замечание 26.3. Если C = . — решение матричного уравнения

..

cn

AX = B, то c1, c2, . . . , cm — решение исходной СЛУ; поэтому исходная СЛУ и уравнение AX = B эквивалентны.

Матричный метод решения СЛУ. В этом пункте мы рассматрива-

ем СЛУ

матрица A которой — квадратная и невырожденная, т. е. det A ≠ 0. Замечание 26.4. (Матричный метод решения СЛУ.) Т.к. матрица A —

квадратная и невырожденная, то матричное уравнение AX = B удовлетворяет теор. 26.2, и поэтому вектор-столбец X = A−1B является решением этой СЛУ.

Пример. Рассмотрим СЛУ

{

Правило Крамера. В этом пункте мы рассматриваем СЛУ AX = B,

такую же как в предыдущем пункте, матрица A которой — квадратная и невырожденная, т.е.

26

Определитель ∆ называется главным определителем этой системы. По теор. 26.2 и замеч. 26.3 она имеет единственное решение.

Наша цель — получить формулы, которые явно выражают это решение через коэффициенты и свободные члены системы. Для этого введем обозначение: если в определителе ∆ заменить k-й столбец столбцом свободных членов, то получится определитель, который обозначим ∆k. Например,

Лемма 26.5. Разложения каждого определителя ∆k по его k-му столбцу суть

∆1 = b1A11 + b2A21 + · · · + bnAn1

∆2 = b1A12 + b2A22 + · · · + bnAn2

....................................................

∆k = b1A1k + b2A2k + · · · + bnAnk

....................................................

∆n = bkA1n + b2A2n + · · · + bnAnn,

где Aik — алгебраические дополнения к соответствующим элементам в определителе ∆.

Доказательство. Очевидно.

Теорема 26.6. (Правило Крамера.) Система n линейных уравнений с n неизвестными и определителем ∆ ≠ 0 имеет единственное решение

x1 = ∆1/∆, x2 = ∆2/∆, . . . , xn = ∆n/∆.

27

§27. Линейные оболочки.

Ранг матрицы и ранг системы векторов.

По опред. 1.4 сумма векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами. По опред. 1.17 множество векторов L замкнутое относительно линейных операций называется векторным или линейным пространством. Это означает, что для любых векторов a, b L и любого числа α R имеют место включения a + b L и αa L. Другими словами, в результате линейных операций не возможно получить векторы, не содержащиеся в L.

Примерами векторных пространств являются для каждого n = 0, 1, 2, . . .

арифметические пространства Rn с естественными операциями покоординатного сложения и покоординатного умножения на число.

Определение 27.1. Множество L Rn называется линейным подпространством пространства Rn, если L замкнуто относительно линейных операций.

Выбор системы координат в Rn порождает последовательность стандартных подпространств: R0 R1 R2 R3 · · · Rn.

Определение 27.2 (= 3.1). Если при k ≥ 1 произвольные векторы n1, n2, . . . , nk L

1)линейно независимы (см. опред. 2.3) и

2)любой вектор a L можно представить в виде их линейной комбинации, т.е.

a = a1n1 + a2n2 + · · · + annk,

то набор n1, n2, . . . , nk называется базисом векторного пространства L, а числа a1, a2, . . . , an называются координатами вектора a в этом базисе.

28

Пусть векторное пространство Rn имеет систему координат (Ox1x2 . . . xn) (необязательно ортогональную), тогда каждый вектор OM и его конечная точка M имеют одни и те же координаты (x1, x2, . . . , xn). Каждая система координат порождает стандартный базис в Rn, векторы которого соединяют начало координат O с единичными точками каждой оси,

e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0),

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

en = (0, 0, . . . , 1).

Определение 27.3 (= 3.2). Число векторов базиса называется размерностью пространства. В частности dim Rn = n.

Замечание 27.4. Каждое ненулевое линейное подпространство L Rn имеет базис. Размерность dim L не превосходит размерности dim Rn = n объемлющего пространства, поэтому dim L ≤ n.

Следующая конструкция (линейной оболочки) позволит нам описать все линейные подпространства в Rn.

Определение 27.5. Пусть a1, a2, . . . , am Rn — произвольный набор фиксированных ненулевых векторов. Множество всех векторов представимых в виде

b 1; 2; :::; m = λ1a1 + λ2a2 + · · · + λmam,

где λ1, λ2, . . . , λm, R, называется линейной оболочкой этих векторов, сами векторы называются образующими оболочки. Говорят, что линейная оболочка натянута на векторы a1, a2, . . . , am.

Лемма 27.6. Любая линейная оболочка является линейным пространством.

Доказательство. Надо доказать, что линейная оболочка замкнута относительно линейных операций.

1) Пусть b 1; 2; :::; m и b 1; 2; :::; m — два произвольных вектора из линейной оболочки. Тогда их сумма

b 1; 2; :::; m + b 1; 2; :::; m =

=λ1a1 + λ2a2 + · · · + λmam + µ1a1 + µ2a2 + · · · + µmam =

=(λ1 + µ1)a1 + (λ2 + µ2)a2 + · · · + (λm + µm)am =

= b 1+ 1; 2+ 2; :::; m+ m

является вектором из этой линейной оболочки.

29

2) Если α — число, то

αb 1; 2; :::; m = α(λ1a1 + λ2a2 + · · · + λmam) =

= (αλ1)a1 + (αλ2)a2 + · · · + (αλm)am = b 1; 2; :::; m

является вектором из этой линейной оболочки.

Примеры. Пусть e1, e2, . . ., en — базис в Rn. Тогда

1)линейная оболочка L(ei), натянутая на вектор ei есть координатная прямая Oxi;

2)при i ≠ j линейная оболочка L(ei, ei), натянутая на векторы ei и ej есть координатная плоскость Oxixj;

3)при попарно различных i, j, k линейная оболочка L(ei, ei, ek), натянутая на векторы ei, ej, ek есть координатное пространство Oxixjxk;

4)при попарно различных i, j, k, l линейная оболочка L(ei, ei, ek, el), натянутая на векторы ei, ej, ek, el есть 4-мерное координатное пространство

Oxixjxkxl и т.д.;

5) Легко видеть, что плоскость Ox1x2 = R2 Rn можно определить как линейную оболочку, натянутую, например,

а) на векторы e1 + e2 и e1 − e2,

б) либо на векторы e1, e2, e1 + e2 и e1 − e2.

В случае б) некоторые векторы можно рассматривать как "лишние" т.к. линейную оболочку Ox1x2 = R2 можно натянуть на любую пару из этих четырёх векторов. Здесь "лишние" означает, что эта четверка векторов являются линейно зависимой, и каждые два из них из них линейно выражаются через другие два вектора. В дальнейшем мы изучим, как можно убрать из рассмотрения "лишние" векторы и уравнения.

6)Линейная оболочка L(e1 + e2) является биссектрисой 1-го и 3-го квадрантов на плоскости Ox1x2 = R2 Rn;

7)линейная оболочка L(e1 + e2 + e3) является биссектрисой (+, +, +)- и (−, −, −)-октантов в пространстве Ox1x2x3;

8)Линейная оболочка L(e1 + e2, e3) является плоскостью, натянутой на векторы e1 + e2 и e3. Ясно, что для любых α β линейные оболочки L(e1 +

e2, e3) и L(e1 + e2, e3, α(e1 + e2) + βe3) совпадают.

Замечание 27.7. Линейная оболочка является линейным пространством, и поэтому нашей ближайшей задачей будет задача определения его размерности. Пусть a1, a2, . . . , am Rn — произвольная система векторов, порождающая линейную оболочку L. Максимальное подмножество линейно независимых векторов этой системы составляет базис оболочки L, а число векторов базиса по опред. 27.3 есть её размерность.

30