AlgAndGeom-2

Определение 27.8. Если a1, a2, . . . , am Rn — произвольная система векторов, то размерность её линейной оболочки L называется рангом этой системы векторов. Обозначение: rank(a1, a2, . . . , am) = dim L

Замечание 27.9. Чтобы убрать линейно зависимые (т.е. "лишние" ) векторы системы, применяют процедуру так называемых "элементарных преобразований" , в результате которых число векторов системы не меняется, но некоторые из них становятся нулевыми векторами. Если получающиеся нулевые векторы последовательно убирать из системы (см. лемму 2.5), то в конце концов получится система линейно независимых векторов, которая представляет собой базис системы.

Определение 27.10. Элементарными преобразованиями над системой векторов называются

1)умножение вектора на отличное от нуля число;

2)прибавление к вектору другого вектора системы. Элементарное преобразование обозначается знаком .

Лемма 27.11. В системе векторов любые два вектора можно поменять

местами путём элементарных преобразований.

(a1, . . . , aj, . . . , ai, . . . , am)

Теорема 27.12. Линейная оболочка не изменяется при элементарных преобразованиях над образующими её векторами.

Доказательство. 1) Надо доказать, что линейные оболочки натянутые на наборы векторов

a1, a2, . . . , ai, . . . , am и a1, a2, . . . , αai, . . . , am

образуют одну и ту же линейную оболочку, (т.е. любой вектор из одной оболочки принадлежит другой и наоборот).

Если вектор

λ1a1 + λ2a2 + · · · + λiai + · · · + λmam

31

принадлежит первой оболочке, то при α ≠ 0 тот же вектор, записанный в виде

λ1a1 + λ2a2 + · · · + λαi (αai) + · · · + λmam,

принадлежит второй оболочке и наоборот.

2) Надо доказать, что линейные оболочки натянутые на наборы векторов

a1, a2, . . . , ai, . . . , aj, . . . , am и a1, a2, . . . , ai, . . . , aj + ai, . . . , am

совпадают, (т.е. любой вектор из одной оболочки принадлежит другой и наоборот).

Если вектор

λ1a1 + λ2a2 + · · · + λiai + · · · + λjaj + · · · + λmam

принадлежит первой оболочке, то тот же вектор, записанный в виде

λ1a1 + λ2a2 + · · · + (λi − λj + λj)ai + · · · + λjaj + · · · + λmam =

λ1a1 + λ2a2 + · · · + (λi − λj)aj + · · · + λj(aj + ai) + · · · + λmam

принадлежит второй оболочке и наоборот.

Следствие 27.13. Размерность линейной оболочки не изменяется при элементарных преобразованиях над образующими её векторами.

Рассмотрим в пространстве Rn набор векторов

a1 = (a11, a12, . . . , a1n) = a11e1 + a12e2 + · · · + a1nen,

a2 = (a21, a22, . . . , a2n) = a21e1 + a22e2 + · · · + a2nen,

..................................................................................., am = (am1, am2, . . . , amn) = am1e1 + am2e2 + · · · + amnen.

Для сравнения мы записали векторы как в координатной, так и в векторной форме. Координатная форма компактнее, поэтому мы будем использовать её в дальнейшем.

Замечание 27.14. Очевидно,что набору векторов

a1 = (a11, a12, . . . , a1n),

a2 = (a21, a22, . . . , a2n),

......................................,

am = (am1, am2, . . . , amn)

32

можно поставить во взаимно однозначное соответствие матрицу

размера m × n. При таком соответствии линейным операциям (сложению векторов и умножению вектора на число) будут соответствовать сложение строк и умножению строки на число. Переход к матричной записи делает вычисления более компактными.

По определению 27.8 ранг системы векторов автоматически переносится на матрицу.

Определение 27.15. Рангом матрицы A (обозначение rankA) называется максимальное число её линейно независимых строк. (Поэтому rankA равен максимальному числу линейно независимых векторов в системе векторов a1, a2, . . . , am Rn, т.е. равен числу векторов базиса линейной оболочки L этой системы векторов, т.е. равен dim L.)

Определение 27.16. Элементарными преобразованиями над строками матрицы называются

1)умножение строки на отличное от нуля число;

2)прибавление к строке другой строки матрицы.

Лемма 27.17. Любые две строки матрицы можно поменять местами путём элементарных преобразований.

Доказательство в точности повторяет доказательство леммы 27.11.

Замечание 27.18. 1) По опред. 27.5 система a1, a2, . . . , am не содержит нулевых векторов, поэтому исходная матрица A не содержит нулевых строк. Однако, она может иметь нулевые столбцы, которые при элементарных преобразованиях над строками всегда останутся нулевыми. С другой стороны, если все элементы в столбцах с номерами j1, j2, . . . , jk равны нулю, то все координаты векторов a1, a2, . . . , am с теми же номерами равны тоже равны нулю, и поэтому эта система векторов целиком лежит в подпространстве Rn−k = {xj1 = 0, xj2 = 0, . . . , xjk = 0}. Поэтому нулевые столбцы можно вычеркнуть, провести элементарные преобразования и вставить их обратно в самом конце, если понадобится. Мы будем считать, что матрица A не содержит нулевых столбцов.

2) Т.к. теперь первый столбец ненулевой, то поменяем местами строки так, чтобы a11 ≠ 0, умножим первую строку на 1/a11. После этих манипуляций

33

Теорема 27.19. Элементарными преобразованиями матрицу B можно привести к виду

где p ≥ 2 и s ≤ m.

Доказательство. Умножим первую строку сначала на a21 и вычтем из второй; затем умножим её на a31 и вычтем из третьей; и т.д. ... , и наконец умножим её на am1 и вычтем из m-й строки.

После таких элементарных преобразований, во-первых, некоторые строки могут занулиться и, если таковые возникнут, то, меняя местами строки, сделаем их нижними строками матрицы. Если число ненулевых строк обозначить через s, то число нулевых строк матрицы будет равно m − s.

Во-вторых, все элементы первого столбца кроме a11 = 1 занулятся, и кроме этого, могут занулиться все элементы в прямоугольнике со 2-й по m-ю строки и до p-го столбца, а в p-м столбце, хотя бы в одной из этих строк (возможно в нескольких), скажем в j-й, элемент ajp ≠ 0. Разделим j-ю строку на ajp и поставим её на место второй строки. Т.о., при p ≥ 1 получаем требуемую матрицу.

Замечание 27.20. После таких манипуляций система векторов a1, a2,

. . . , as, . . . , am превратится в a1, a′2, . . . , a′s, o, . . . , o, в которой нулевые векторы не влияют на размерность линейной оболочки и в этом смысле они

"лишние" .

Теорема 27.21. Элементарными преобразованиями матрицу C можно

34

где p ≥ 2, q ≥ p + 1, . . . , r ≥ · · · + 1 и t ≤ s ≤ m.

Доказательство. Применяя необходимое число раз процедуру из доказательства теор. 27.19, получим требуемый результат.

Замечание 27.22. После таких манипуляций система векторов a1, a′2,

. . . , a′s, o, . . . , o превратится в a1, a′2, . . . , a′t, o, . . . , o, где t ≤ s ≤ m.

Определение 27.23. Матрица, имеющая вид D, называется ступенчатой матрицей. В частности, треугольные матрицы являются ступенчатыми.

Теорема 27.24. Элементарными преобразованиями матрицу D можно

где p ≥ 2, q ≥ p + 1, . . . , r ≥ · · · + 1 и t ≤ s ≤ m.

Доказательство. Умножим вторую строку на a1p и вычтем из первой. Умножим третью строку на a1q и вычтем из первой; затем умножим третью строку на a2q и вычтем из второй. И т.д. ... . Затем, умножим s-ю строку на a1r и вычтем из первой строки, умножим s-ю строку на a2r и вычтем из второй, и т.д. ... . Наконец, умножим s-ю строку на as−1;r и вычтем из (s − 1)-й, и получим требуемую матрицу.

Определение 27.25. Матрица, имеющая вид F , называется приведённой ступенчатой матрицей.

35

Теорема 27.26. Не возможно с помощью элементарных преобразований занулить еще одну строку в матрице F , другими словами, ненулевые строки матрицы F линейно независимы, другими словами, ненулевые строки матрицы F образуют базис, другими словами, dim L = rankA = t.

Доказательство. Предположим противное, что можно занулить какую-нибудь ненулевую строку, прибавив к ней линейную комбинацию других строк. Каждая ненулевая строка имеет в начале ступеньки единицу 1, над и под которой стоят нули. Это означает, если эту строку можно было бы представить в виде линейной комбинации остальных строк, то единицу, стоящую в этой строке, можно представить в виде линейной комбинации нулей, стоящих над и под ней, т.е. 1 = α1 · 0 + · · · + αt−1 · 0, что невозможно. Полученное противоречие доказывает теорему.

Следствие 27.27. Векторы

образуют базис системы векторов a1, a2, . . . , am Rn, а следовательно и базис линейной оболочки L.

Пример. Найти в R7 линейную оболочку L, её базис и размерность dim L следующей системы векторов

a1 = (1, 2, 2, 2, 0, 3, 6),

a2 = (2, 4, 5, 5, 0, 7, 14), a3 = (3, 6, 7, 7, 0, 10, 20), a4 = (1, 2, 3, 3, 0, 5, 10).

Пятая координата у всех векторов равна нулю, значит искомая линейная оболочка L находится в координатном подпространстве R6 = {x5 = 0}.

Составим матрицу этой системы и приведём её к приведённой ступенчатой форме с помощью следующих элементарных преобразований.

36

Искомая линейная оболочка L задаётся её базисом n1 = (1, 2, 0, 0, 0, 0, 0), n2 = (0, 0, 1, 1, 0, 0, 0), n3 = (0, 0, 0, 0, 0, 1, 2), и её размерность dim L = 3 = rankA. Любой вектор из L представим в виде α1n1 + α2n+α3n3. (Рис.)

§28. Однородные системы линейных уравнений. Метод Гаусса.

Замечание 28.1. В этом параграфе мы займёмся решением однородной системы линейных уравнений в общем случае, т. е. когда система имеет вид

и назовём A — главной матрицей системы. Однородную систему линейных уравнений общего вида можно записать в матричном виде AX = O.

Определение 28.2. Эквивалентными преобразованиями над уравнениями (любой) системы уравнений называются

1)умножение уравнения на отличное от нуля число;

2)прибавление к уравнению другого уравнения.

Лемма 28.3. Любые два уравнения системы линейных уравнений можно поменять местами путём эквивалентных преобразований.

Доказательство в точности повторяет доказательство леммы 27.11.

37

Ясно, что исходная система и система, полученная из неё в результате эквивалентных преобразований, имеют одни и те же решения; т. е. система не теряет и не приобретает новых решений.

Замечание 28.4. Очевидно, что любая однородная система линейных уравнений всегда имеет решение, хотя бы нулевое x1 = x2 = · · · = xn = 0.

Теорема 28.5. Множество L всех решений однородной системы линейных уравнений является линейным подпространством в Rn.

Доказательство. По опред. 1.17 множество векторов L замкнутое относительно линейных операций называется векторным или линейным пространством. Это означает, что нам надо доказать, что для любых решений X =

ипроизведение на число αX тоже являются решениями системы.

1)Если X и Y — решения, то AX ≡ O и AY ≡ O. Сложим эти тождества получим A(X + Y ) ≡ O. Полученное тождество означает, что X + Y тоже является решением.

2)Если X — решение, то AX ≡ O или αAX ≡ αO или A(αX) ≡ O. Полученное тождество означает, что αX тоже является решением однородной

системы.

Замечание 28.6. 1) Если однородная система AX = O имеет только

2) Если однородная система AX = O имеет ненулевые решения, то линейное пространство L его решений имеет базис, число векторов в котором есть dim L. Пространство L является линейной оболочкой, натянутую на векторы этого базиса.

Замечание 28.7. Чтобы найти ненулевые решения, приведём матрицу системы A к приведённому ступенчатому виду. В теореме 27.24 мы привели матрицу A к этому виду и получили матриц F . По опред. 28.2, можно восстановить однородную систему линейных уравнений, соответствующую матрице F , которая эквивалентна исходной системе. Для простоты мы опускаем

38

в матрице F все элементы, содержащие индекс q, и получаем систему:

Теорема 28.8. Базисом пространства L всех решений этой однородной системы являются n−t вектор-столбцов F2, . . . , Fp−1, Fp+1, . . . , Fr−1, Fr+1,

. . . , Fn, которые описаны в доказательстве.

Доказательство. Заметим сначала, что неизвестные x1, xp, . . . , xr, стоящие в начале каждой ступеньки, содержатся в системе в количестве t штук. Назовём их главными неизвестными. Остальные неизвестные (если они имеются) назовём свободными и обозначим их x2 = −s2, . . . , xp−1 = −sp−1, xp+1 = −sp+1, . . . , xr−1 = −sr−1, xr+1 = −sr+1, . . . , xn = −sn, где для всех i из этого списка −∞ < si < ∞. Всего имеется n − t свободных неизвестных. Главные неизвестные можно выразить через свободные в виде

Запишем полученное решение однородной системы в виде вектор-столбца и преобразуем следующим образом.

39

40