AlgAndGeom-2

= s2F2 + · · · + sp−1Fp−1 + sp+1Fp+1 + · · · + sr−1Fr−1 + sr+1Fr+1 + · · · + snFn.

Полученные n − t вектор-столбцов F2, . . . , Fp−1, Fp+1, . . . , Fr−1, Fr+1,

. . . , Fn являются линейно независимыми. Чтобы доказать это, предположим противное, что векторы линейно зависимы. Тогда какой-нибудь один вектор-столбец можно выразить в виде линейной комбинации других векторстолбцов. Каждый столбец имеет одной из координат единицу 1, а у всех остальных вектор-столбцов эта же координата равна 0. Это означает, если этот столбец можно было бы представить в виде линейной комбинации остальных столбцов, то эту единицу можно было бы представить в виде линейной комбинации нулей, стоящих на этом месте в других вектор-столбцах, т.е. 1 = α1 · 0 + · · · + αn−t−1 · 0, что невозможно. Полученное противоречие доказывает, что вектор-столбцы F2, . . . , Fn линейно независимы и образуют базис. (Ср. доказательство теор. 27.26.)

Следствие 28.9. Пространство L всех решений однородной системы линейных уравнений имеет размерность dim L = n − t.

Определение 28.10. Полученное решение

X0 = s2F2 + · · · + sp−1Fp−1 + sp+1Fp+1 + · · · + sr−1Fr−1 + sr+1Fr+1 + · · · + snFn,

41

где для всех i из этого списка −∞ < si < ∞, называется общим (т.е. полным) решением однородной системы линейных уравнений, а векторы базиса F2, . . . , Fp−1, Fp+1, . . . , Fr−1, Fr+1, . . . , Fn называются фундаментальной системой решений однородной системы.

Замечание 28.11. 1) Пространство всех решений однородной системы AX = O является линейной оболочкой, натянутой на векторы фундаментальной системой решений.

2)Число t главных неизвестных системы равно рангу матрицы системы, т.е. rankA = rankF = t. Другими словами, rankA равен числу линейно независимых уравнений системы.

3)Число n − t свободных неизвестных равно размерности пространства решений, т.е. dim L = n − t, поэтому

dim L = n − rankA.

Замечание 28.12. Метод решения однородных систем линейных уравнений, предложенный в этом параграфе, называется методом Гаусса. Коротко этот метод состоит в приведении системы элементарными преобразованиями к приведённому ступенчатому виду, выражении главных неизвестных через свободные и нахождении фундаментальной системы решений. Метод Гаусса применяют при решении и неоднородных систем линейных уравнений.

§29. Неоднородная системы линейных уравнений. Метод Гаусса.

Замечание 29.1. В этом параграфе мы займёмся решением неоднородной системы линейных уравнений в общем случае, т. е. когда система имеет вид

am1x1 + am2x1 + · · · + amnxn = bm

e

и назовём A — главной матрицей системы, а A — расширенной матрицей

e

системы. Ясно, что rankA ≥ rankA.

42

Лемма 29.2. Пусть AX = O — однородная, а AX = B — неоднородная системы с одной и той же главной матрицей A. Если X0 — общее решение однородной системы, а X1 — какое-нибудь частное решение неоднородной системы, то X0 + X1 есть решение неоднородной системы.

Доказательство. По условию теоремы выполнены тождества AX0 ≡ O и AX1 ≡ B. Сложим эти два тождества, получим тождество A(X0 + X1) ≡ B, которое означает, что X0 + X1 есть решение неоднородной системы.

e

Теорема 29.3. (Теорема Кронекера–Капелли.) 1) Если rank A > rank A, то неоднородная система линейных уравнений общего вида не совместна (т.е. не имеет решений).

e

2) Если rank A = rank A, то неоднородная система линейных уравнений общего вида совместна и имеет частное решение

b′10

...

0b′20

X1 = ... .

0b′0t

...

0

(См. обозначения в доказательстве.)

e

Доказательство. Преобразуем расширенную матрицу A к приведённому сту-

e′

пенчатому виду A =

43

и по этой матрице восстановим систему, которая по опред. 28.2 эквивалентна исходной системе.

Выберем для крайних неизвестных, стоящих на ступеньках, значения x1 = b′1, xp = b′2, . . . , xr = b′t, а для остальных неизвестных значение ноль. Другими словами выберем

легко видеть, что X1 есть частное решение неоднородной системы.

Теорема 29.4. Общее (полное) решение неоднородной системы есть

X = X0 + X1 =

44

b′1

0...

0

b′20

= s2F2 + · · · + sp−1Fp−1 + sp+1Fp+1 + · · · + snFn + ... .

0b′0t

...

0

Доказательство. Доказательство следует из леммы 29.2.

Замечание 29.5. Общее решение однородной системы можно трактовать как линейную оболочку L, натянутую на её фундаментальную систему решений F2, . . . , Fn. Общее решение неоднородной системы получается в результате сдвига линейной оболочки L на вектор X1.

Определение 29.6. Если L — линейное подпространство в Rn. Множество, полученное сдвигом L как целого на вектор X, называется линейным многообразием и обозначается L + X. Размерностью линейного многообразия L + X называется размерность линейного подпространства L, т.е. по определению dim(L + X) = dim L.

Замечание 29.7. 1) Общее решение неоднородной системы есть линейное многообразие L + X1.

2)Число t главных неизвестных системы равно рангу главной матрицы системы, т.е. rank A = t.

3)Число n −t свободных неизвестных равно размерности линейного многообразия L + X1, т.е. dim(L + X1) = n − t, поэтому

dim(L + X1) = n − rankA.

45

Глава 5. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

§30. Скалярные произведения общего вида.

Определение 30.1. Скалярным произведением общего вида в линейном пространстве Rn называется отображение

( , ) : Rn × Rn → R,

которое для любых векторов x, y Rn ставит в соответствие число (x, y), при этом выполняются следующие аксиомы.

А1. (x, y) = (y, x).

А2. (x + y, z) = (x, z) + (y, z).

А3. (λx, y) = λ(y, x) для любого λ R.

А4. (x, x) ≥ 0. При этом {(x, x) = 0}, согда {x = o}.

Линейное пространство с скалярным произведением называется евклидовым. Определение 30.2. 1) Длиной вектора x Rn называется число

√

|x| = (x, x).

2) Углом между ненулевыми векторами x, y Rn называется величина φ, где 0 ≤ φ ≤ π, определяемая по формуле

cos φ = (x, y) .

|x| · |y|

В евклидовых пространствах с любым скалярным произведением справедливо неравенство Коши-Буняковского |(x, y)| ≤ |x| · |y| (доказано в теор. 30.3), поэтому −1 ≤ |(xx|·|;yy)| ≤ 1, значит cos φ и угол φ определены корректно.

3) Если (x, y) = 0, то векторы x, y называются ортогональными (перпендикулярными) друг другу.

Из этого определения следует, что

1)единственный вектор перпендикулярный самому себе — это нулевой вектор;

2)единственный вектор перпендикулярный любому вектору — это нулевой вектор;

Теорема 30.3. (Неравенство Коши-Буняковского.) В евклидовом пространстве Rn справедливо неравенство

|(x, y)| ≤ |x| · |y|.

46

Доказательство. По аксиоме А4 для любого t R выполнено неравенство (tx−y, tx−y) ≥ 0. По аксиомам А1 – А3 имеем t2(x, x)−2t(x, y)+(y, y) ≥ 0, или

t2|x|2 − 2t(x, y) + |y|2 ≥ 0.

Неотрицательный квадратный трёхчлен по t имеет неположительный дискриминант 4(x, y)2 − 4|x|2|y|2 ≤ 0. Откуда следует требуемое неравенство.

Следствие 30.4. (Неравенства треугольника.) В евклидовом пространстве Rn справедливы неравенства

1)|x + y| ≤ |x| + |y|;

2)|a − c| ≤ |a − b| + |b − c|.

Доказательство. 1) |x + y|2 = (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y) ≤

|x|2 + 2|x||y| + |y|2 = (|x| + |y|)2.

2) Сделаем замену x = a−b и y = b−c, получим второе неравенство.

Лемма-пример 30.5. Пусть e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) — базис на плоскости R2. Для любых векторов x = (x1, x2) и y = (y1, y2) в этом базисе зададим отображение ( , ) : R2 × R2 → R по формуле

(x, y) = x1y1 + x2y1 + x1y2 + 2x2y2.

Это отображение задаёт скалярное произведение на плоскости R2.

Доказательство. Для доказательства надо проверить А1 — А4.

1)(x, y) = x1y1 + x2y1 + x1y2 + 2x2y2. (y, x) = y1x1 + y2x1 + y1x2 + 2y2x2. Видно, что (x, y) = (y, x).

2)(x + y, z) = (x1 + y1)z1 + (x2 + y2)z1 + (x1 + y1)z2 + 2(x2 + y2)z2 = x1z1 + x2z1 + x1z2 + 2x2z2 + y1z1 + y2z1 + y1z2 + 2y2z2 = (x, z) + (y, z).

3)(λx, y) = λx1y1 +λx2y1 +λx1y2 +2λx2y2 = λ(x1y1 +x2y1 +x1y2 +2x2y2) = λ(x, y).

4)(x, x) = x1x1+x2x1+x1x2+2x2x2 = x21+2x2x1+2x22 = (x1+x2)2+x22 ≥ 0.

Видно, что (x, x) = (x1 + x2)2 + x22 = 0, согда x = o.

Следствие 30.6. Если на плоскости R2 скалярное произведение задано

47

Замечание 30.7. 1) Векторы e1 = (1, 0), e2 −e1 = (−1, 1) по построению перпендикулярны. Проверим, что алгебраически они тоже перпендикулярны. По опред. 30.2 имеем (e1, e2 − e1) = (e1, e2) − (e1, e1) = 1 − 1 = 0.

2) Лемма-пример 30.5 и след. 30.6 показывают, что скалярное произведение общего вида полностью определяет геометрию базиса, т.е. определяет длины векторов стандартного базиса

e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0),

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

en = (0, 0, . . . , 1).

и углы между ними, и тем самым полностью определяют геометрию евклидова пространства в целом.

§31. Евклидово скалярное произведение

Определение 31.1. Евклидовым скалярным произведением векторов x, y Rn называется число (x, y), определяемое по формуле

(x, y) = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn.

Линейное пространство Rn с заданным на нём скалярным произведением (x, y) называется стандартным евклидовым. В дальнейшем мы будем рассматривать только стандартные евклидовы пространства с евклидовым скалярным произведением, поэтому слово "стандартный" мы будем опускать.

Теорема 31.2. Евклидово скалярное произведение удовлетворяет аксиомам А1 — А4.

Доказательство. 1) (x, y) = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn = (y, x).

2)(x + y, z) = (x1 + y1)z1 + (x2 + y2)z2 + · · · + (xn + yn)zn = (x, z) + (y, z).

3)(λx, y) = λx1y1 + λx2y2 + · · · + λxnyn = λ(x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn) = λ(y, x).

4) (x, x) = x21 +x22 +· · ·+x2n ≥ 0. Ясно, что {(x, x) = 0}, согда {x = o}.

Лемма 31.3. 1) Длина вектора вычисляется по формуле

√√

|x| = (x, x) = x21 + x22 + · · · + x2n.

2) Углом между ненулевыми векторами x, y Rn вычисляется по формуле

48

Замечание 31.4. 1) Неравенство Коши-Буняковского и неравенства треугольника (см. теор. 30.3 и 30.4) выполнены в любом евклидовом пространстве.

2) Если (x, y) = 0, то векторы называются ортогональными (в любом евклидовом пространстве).

Лемма 31.5. Стандартный базис в пространстве с евклидовым скалярным произведением

e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0),

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

en = (0, 0, . . . , 1).

ортонормированный.

Доказательство. По лемме 31.3.1) для любого i имеем |ei| = 1. Ясно, что при i ≠ j имеем (ei, ej) = 0.

Замечание 31.6. Если скалярное произведение задано по формуле 31.1,

то

0) неравенство Коши-Буняковского |(x, y)| ≤ |x|·|y| в координатах имеет

вид

√ √

|x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn| ≤ x21 + x22 + · · · + x2n · y12 + y22 + · · · + yn2

или

(x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn)2 ≤ (x21 + x22 + · · · + x2n)(y12 + y22 + · · · + yn2);

1) неравенство треугольника |x + y| ≤ |x| + |y| в координатах имеет вид

2) неравенство треугольника |a−c| ≤ |a−b|+|b−c| в координатах имеет вид

§32. Построение ортогонального базиса.

Определение 32.1. Базис, состоящий из попарно ортогональных векторов, называется ортогональным, а ортогональный базис, состоящий из нормированных (единичных) векторов, — ортонормированным.

49

Замечание 32.2. Если a1, a2, . . ., as — произвольный базис в подпро-

в L. Фундаментальную роль играет существование в евклидовом пространстве L ортонормированного базиса, потому что в таком базисе скалярное произведение имеет самый простой вид (ср. с 30.5)

(x, y) = x1y1 + x2y2 + · · · + xsys.

Построение ортогонального базиса b1, b2, . . ., bs из произвольного базиса a1, a2, . . ., as осуществляется индуктивным способом, который называется процессом ортогонализации Грама-Шмидта. Суть его выясняется в следующей теореме.

Теорема 32.3. Если a1, a2, . . ., as — базис в подпространстве L Rn, то для каждого k = 0, 1, 2, . . . , s − 1, существуют такие числа c0 = 0, c1, c2, . . ., ck, что вектор

bk+1 = ak+1 + c1b1 + c2b2 + . . . + ckbk ( )

ортогонален векторам b1, b2, . . ., bk. Эти числа находятся из условия ci(bi, bi) = −(ak+1, bi), где i = 1, 2, . . . , k.

Доказательство. Из равенства ( ) получаем следующую последовательность равенств, где в каждом пункте числа c1, c2, . . ., не зависят от чисел, обозначенных теми же символами в предыдущих пунктах.

1)При k = 0 имеем b1 = a1.

2)При k = 1 имеем b2 = a2 + c1b1. Умножая обе части этого равенства

скалярно на вектор b1 и требуя, чтобы (b2, b1) = 0 (т.е. (b2 b1)), получим

c1(b1, b1) = −(a2, b1) и находим c1 = −(a2; b1) .

(b1; b1)

Поэтому b2 = a2 − (a2; b1) b1.

(b1; b1)

3) При k = 2 имеем b3 = a3 + c1b1 + c2b2.

3.1) Умножая обе части этого равенства скалярно на вектор b1 и требуя,

чтобы (b3, b1) = 0 (т.е. (b3 b1)), получим c1(b1, b1) = −(a3, b1) и находим

c1 = −(a3; b1) . (b1; b1)

3.2) Умножая обе части этого равенства скалярно на вектор b2 и требуя,

чтобы (b3, b2) = 0 (т.е. (b3 b2)), получим c2(b2, b2) = −(a3, b2) и находим

c2 = −(a3; b2) . (b2; b2)

Поэтому b3 = a3 − (a3; b1) b1 − (a3; b2) b2.

(b1; b1) (b2; b2)

...........................................................................................

50