Финансово-коммерческие расчеты на основе Microsoft Excel

эффективности, как процент, обеспечивающий равенство нулю чистой приведенной величины потока платежей NPV . Выбирая между различными вариантами возможных финансовых операций, инвестор всегда ориентируется на операцию с высшей эффективной ставкой IRR.

Приведем без доказательства две теоремы, которые для дискретного потока платежей содержат достаточные условия существования внутренней нормы доходности IRR.

Теорема 4.1. Если все отрицательные платежи предшествуют всем

последовательность (С0, С1, .. ., Сn) имеет ровно одну перемену знака, то уравнение доходности (4.1) имеет единственный положительный корень r0 .

В примере 4.3 распределение инвестиций и платежей отвечает условиям теоремы 1, поэтому уравнение доходности имеет единственный положительный корень: r0 15,12% , который и принимается за ставку доходности IRR.

Пример 4.4. Пусть имеем следующий поток платежей. Требуется найти

IRR.

Так как накопленный поток нетто-платежей имеет только одну перемену знака, то в силу теоремы .2 уравнение стоимости:

имеет единственный положительный корень r0. = 22,1%.

64

4.6. Модифицированная внутренняя норма доходности (MIRR)

Критерий IRR имеет ряд недостатков:

невозможность получения действительных корней уравнения доходности или получение нескольких корней. В последнем случае обычно за IRR выбирается наименьшее значение корня. Такая проблема обычно возникает в случае нерегулярных потоков или в ситуации со знакопеременными денежными потоками;

при расчете IRR неявно предполагается, что все промежуточные денежные поступления реинвестируются по ставке, равной внутренней норме доходности, что мало реалистично. В случае, если IRR близко к уровню реинвестиций фирмы, то этой проблемы не возникает. Однако редко предприятие обладает ежегодными инвестиционными возможностями, которые обеспечивают высокую рентабельность.

Основной недостаток, присущий IRR в отношении оценки неординарных денежных потоков, может быть преодолен с помощью аналогичного показателя, который приемлем для анализа любых денежных потоков, – это модифицированная внутренняя норма доходности (MIRR).

Метод MIRR предполагает реинвестирование положительных поступлений в денежном потоке по ставке, отличной от ставки дисконтирования. Алгоритм нахождения MIRR можно сформулировать следующим образом:

все положительные поступления наращиваются по ставке реинвестирования на конец операции (проекта). Определяется сумма положительных поступлений с начисленными процентами (терминальная стоимость (Net Terminal Value – NTV).

все отрицательные члены (выплаты) дисконтируются на начало операции по выбранной ставке дисконтирования и находится их сумма CC.

NTV дисконтируется по ставке MIRR.

формируется уравнение, аналогичное уравнению доходности: дисконтированные расходы (инвестиции) приравниваются дисконтированной по ставке MIRR терминальной стоимости:

отсюда

MIRR n NTVCC 1.

Метод дает более правильную оценку ставки реинвестирования, снимает

65

проблему множественности ставки внутренней нормы доходности и подходит для любых нерегулярных потоков. Финансовую операцию (проект) рекомендуют к реализации, если MIRR>d (выбранной ставки дисконтирования).

Пример 4.5. Рассматривается инвестиционный проект создания технологической линии для изготовления нового продукта. Инвестиционные затраты поступают в начале первого и третьего года в сумме 200 и 250 млн. руб. соответственно. Ставка дисконтирования std 15% годовых. Ставка реинвестирования str = 12%. Срок реализации проекта 5 лет. Доходы от

Составим уравнение доходности для данного потока платежей:

Положительный действительный корень этого уравнения принимается за ставку доходности IRR. Найдем его на основе подбора параметров в таблицах

Excel. IRR=0,36 ( 36% годовых)

Найдем ставку MIRR проекта.

рассчитаем терминальную стоимость положительных поступлений:

NTV 400 300 (1 0,12) 200 (1 0,12)2 150 (1 0,12)3 1197,62 .

Найдем современную стоимость потока отрицательных членов:

(1 MIRR)5 1197,62389,036 3,078.

MIRR= 53,078 1 0,252 , т.е. модифицированная внутренняя норма

доходности равняется 25,2%, что больше ставки дисконтирования. Следовательно, по всем оценочным показателям проект является приемлемым.

66

4.6. Определение параметров постоянных рент

Как было показано выше, постоянная рента описывается набором основных параметров: A, r, n и дополнительными параметрами p , m . Однако при разработке контрактов и условий финансовых операций могут возникнуть случаи, когда задается одна из двух обобщающих характеристик FV или PV и два основных параметра. Возникает необходимость рассчитать значение недостающего параметра.

Для решения этой задачи выбирают формулу FV или PV для заданной ренты (в зависимости от того, какая из этих характеристик задана). В результате получаем уравнение с одним неизвестным параметром, который находится из решения этого уравнения.

Расчет срока ренты

Иногда при разработке контракта возникает необходимость в определении срока ренты и соответственно числа членов ренты. Для их нахождения рассмотрим формулы для расчета наращенной и приведенной сумм ренты.

Рассмотрим годовую ренту с ежегодным начислением процентов:

Аналогичным образом находятся формулы для расчета срока и для других видов рент при заданной величине FV (или PV ) .

При расчете срока ренты необходимо принять во внимание следующие моменты:

• Расчетные значения срока будут, как правило, дробные. Необходимо округление результата. В этих случаях для годовой ренты в качестве n часто удобнее принять ближайшее меньшее целое число, Для p -срочной ренты результат округляется до ближайшего целого числа периодов – np .

Например, для квартальной ренты получено n =6,28 года, тогда np =25,12 квартала. Округляем до 25, в этом случае срок= 6,25 года.

2. Если округление производится до меньшего целого числа, то наращенная сумма ренты с таким сроком оказывается меньше заданной.

67

Возникает необходимость в соответствующей компенсации. Например, если речь идет о погашении задолженности путем выплаты постоянной ренты, то компенсация может быть осуществлена соответствующим платежом в начале или конце срока, либо с помощью повышения суммы члена ренты.

Обсудим еще одну проблему, связанную со сроком ренты. Пусть PV – текущее значение долга. Если долг погашается с помощью постоянной ренты, то

Пример 4.6. Какой необходим срок для накопления 100 млн. руб. при условии, что ежемесячно вносится по 1 млн. руб., а на накопления начисляются проценты по ставке 25% годовых?

Следовательно, ежемесячный взнос должен составить 914,776 тыс. руб.

68

Определение члена ренты

Исходные условия: задается FV или PV и набор параметров кроме A . Например, за заданное число лет n необходимо создать фонд в сумме S путем систематических постоянных взносов. Если принято, что рента должна быть годовой, постнумерандо, с ежегодным начислением процентов, то, обратившись к формуле суммы наращения ренты получим:

Аналогичным путем на основе формул наращения ренты легко найти A для рент с любыми условиями.

Пусть теперь известна (задана условиями договора) современная стоимость ренты. Если рента годовая, постнумерандо, m = 1, то из формулы приведенной суммы (4.9) следует:

других условий ренты.

Пример 4.7. Определим размеры периодических взносов при решении двух следующих задач:

а) создать целевой фонд (например, для погашения задолженности или обеспечения инвестиций) в сумме 100 млн. руб.;

б) погасить в рассрочку текущую задолженность в сумме 100 млн. руб. Срок в обоих случаях пять лет, процентная ставка равна 20%, платежи

ежегодные постнумерандо.

Определение размера процентной ставки

Необходимость в определении величины процентной ставки возникает всякий раз, когда речь идет о выяснении эффективности (доходности) финансово-банковской операции. В простейшем случае задача ставится

69

соответствующим пакетом программ прибегают к линейной интерполяции или какому-либо итерационному методу, например методу Ньютона – Рафсона, методу секущей и т. д.

Линейная интерполяция:

по заданным A , FV или PV находят значения коэффициентов наращения или приведения ренты:

Рис. 4.5. Графическая иллюстрация метода линейной интерполяции

Для оценки r применяется следующая интерполяционная формула:

Где ав и ан – значения коэффициентов наращения или приведения рент для верхнего и нижнего значений ставок (ставки rв, rн ), а – значение коэффициента наращения или приведения рент для которого определяется размер ставки.

На рисунках изображены зависимости соответствующих коэффициентов от размера процентной ставки, интерполяционные оценки и их точные

значения. Первые обозначены как r , вторые – как r* .

Как видно из рисунков, оценки размера процентной ставки несколько отличаются от точных значений этой величины, причем если за основу взят коэффициент приведения, то оценка оказывается завышенной, в свою очередь оценка r по коэффициенту наращения меньше точного значения. Чем меньше

70

диапазон (rв , rн ) тем точнее оценка процентной ставки.

Пример 4.8. Предполагается путем ежегодных взносов постнумерандо по 100 млн. руб. в течение семи лет создать фонд в размере 1 млрд. руб. Какова должна быть годовая процентная ставка?

Определим исходный коэффициент наращения: s7,r 1000 /100 10 . Предположим, что искомая процентная ставка находится в интервале 11–12%.

Проверка. Найдем коэффициент наращения ренты:

Таким образом, найденное значение ставки обеспечивает выполнение поставленных условий почти точно.

4.7. Конверсия аннуитетов

Под конверсией аннуитета понимается такое изменение начальных его параметров, после которого новый аннуитет был бы эквивалентен данному.

Два аннуитета считаются эквивалентными, если равны их современные величины, приведенные к одному и тому же моменту времени.

На практике необходимость рассчитать параметры эквивалентного аннуитета чаше всего возникает при изменении условий выплаты долга, реструктурировании задолженности, погашении кредита и т. д. При этом конверсия может произойти как в момент начала аннуитета (на этот момент и рассчитываются современные величины эквивалентных аннуитетов), так и после выплаты некоторой его части. В последнем случае все расчеты производятся на остаток долга в момент конверсии. Рассмотрим наиболее распространенные случаи конверсии постоянных аннуитетов:

1.Выкуп ренты.

2.Рассрочка платежей.

3.Изменение периода выплаты.

4.Изменение величины платежа.

5.Отсрочка начала выплаты.

6.Объединение (консолидация рент).

71

Выкуп ренты. Через некоторый промежуток времени n0 (он может быть равен нулю) после начала аннуитета весь остаток долга может быть выплачен за один раз. Очевидно, что в этом случае величина выплачиваемой суммы будет равна современной величине остатка аннуитета, рассчитанной для срока n n0 . Для решения задачи в зависимости от условий погашения

задолженности берется та или иная формула расчета современной стоимости потока платежей. Естественно, что применяемая при расчете ставка должна удовлетворять обе участвующие стороны.

Пример. 4.9. Долг погашается с помощью годовой постоянной ренты постнумерандо платежом A в течение n лет, r - годовая процентная ставка. Через n0 лет рента выкупается одним платежом. Определить выкупной платеж.

2. Рассрочка платежа

Может возникнуть задача, обратная предыдущей: задолженность погашается частями, в виде выплаты постоянного аннуитета.

Для решения задачи приравниваем современную стоимость ренты, с помощью которой производится рассрочка, к сумме долга. Задача обычно заключается в определении одного из параметров аннуитета при заданных остальных (члена ренты или срока ренты). Эти вопросы были обсуждены в предыдущем параграфе.

3. Изменение периода выплаты. Период выплаты долга может быть изменен при сохранении прежней процентной ставки. Величину A1 платежа для срока n1 находим, используя уравнения эквивалентности (приравниваются современные значения аннуитетов):