Финансово-коммерческие расчеты на основе Microsoft Excel

1.3.3. Анализ коэффициентов наращения

Теорема 1. Принцип стабильности рынка

Если не учитывать налоги и другие накладные расходы, то коэффициент наращения на некотором интервале равен произведению коэффициентов наращения на каждом из составляющих его подинтервалов:

n 1

Доказательство проводится на основе метода математической индукции (самостоятельно).

Отметим, что в такой простой формулировке эта теорема в финансовой практике выполняется лишь приблизительно, так как не учитывает многие факторы: налоги, комиссионные, переоформление договоров и пр.

Величина коэффициентов наращения зависит от ставки процента r и длины интервала.

Пример 1.2. Вычислить коэффициенты наращения при ставке r=0,2 и временной базе 360 дней. Сравним коэффициенты наращения по простым и сложным процентам.

Дадим графическую иллюстрацию изменения коэффициентов наращения.

Рис.1.2. Изменение коэффициентов наращения по простым и сложным процентам

Очевидно, что при T=1 коэффициенты наращения совпадают и равны 1+r. Можно показать, что при любом r в зависимости от величины T имеют место следующие неравенства:

Следовательно, при T 1 наращение по сложным процентам более выгодно для инвестора.

1.3.4.Наращение капитала на основе антисипативного метода

Вслучае антисипативного метода также возможно применение двух схем наращения: схемы простых и схемы сложных процентов.

Пусть d – годовая учетная ставка. Из формулы (1.2) получаем:

PV FV (1 dT ) , тогда

c) Начисление по сложным процентам 1 раз в году:

d) Начисление по сложным процентам m раз в году:

1.3. Понятие эквивалентных процентных ставок. Эффективная ставка

Процентные ставки называются эквивалентными, если при одинаковой начальной сумме PV их применение дает одинаковый конечный результат наращения (одинаковую сумму FV ). Для нахождения эквивалентной ставки следует приравнять множители наращения в двух схемах: с применением эквивалентной ставки и исходной.

14

Множителем наращения называется величина, на которую умножается начальная сумма PV . Обозначим его A(r,T ) .

Пример 1.3. Найти месячную ставку процентов, эквивалентную годовой

rmes 12 r 1.

Эффективная ставка

Определение: годовая ставка сложных процентов, дающая одинаковое соотношение между выданной суммой PV и суммой FV, при любой схеме выплат называется эффективной ставкой и обозначается re .

Для любой схемы начисления процентов, пользуясь определением эквивалентности процентных ставок, можно найти свою эффективную ставку процентов. Например, для схемы сложных процентов с начислением m раз в году:

Пример 1.4. Сравнить эффективность следующих схем наращения капитала:

а) r 20%; m 4 ; b) r 22%; m 2 .

Рассчитаем эффективные ставки для обоих случаев:

а) re (1 0,2 / 4)4 1 0,2155

б) re (1 0,22 / 2)2 1 0,2321

Следовательно, схема (б) для инвестора более выгодна.

15

1.4. Дисконтирование

Дисконтирование – задача обратная наращению процентов: по заданной сумме FV , которую следует уплатить через время T, необходимо определить сумму получаемой ссуды PV .

Термин “дисконтирование” употребляется и в более широком смысле – как средство определения любой стоимостной величины, относящийся к будущему на некоторый, более ранний момент времени. Такой прием часто называют приведением стоимостного показателя к некоторому (обычно начальному) моменту времени.

Величину PV , найденную с помощью дисконтирования, называют современной величиной суммы FV , либо современной (текущей, капитализированной) стоимостью.

Взависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования: математическое дисконтирование и банковский

(коммерческий) учет. В первом случае используется ставка ссудного процента r , во втором – учетная ставка d.

1.4.1.Математическое дисконтирование

Вэтом случае задачу можно сформулировать так: какую первоначальную

сумму PV можно выдать в долг, чтобы при начислении на нее процентов по

16

1.4.2. Банковский учет (учет векселей)

Вексель - это составленное по установленной законом форме безусловное письменное долговое денежное обязательство (ценная бумага), удостоверяющая безусловное обязательство векселедателя уплатить по наступлении срока определенную сумму векселедержателю или лицу, указанному им.

Векселя могут быть простыми и переводными.

Простой вексель представляет собой письменный документ, содержащий простое и ничем не обусловленное обязательство векселедателя (должника) уплатить определенную сумму денег в определенный срок и в определенном месте векселедержателю или его приказу.

В таком векселе с самого начала участвуют два лица: векселедатель, который сам прямо и безусловно обязуется уплатить по выданному им векселю, и векселедержатель, которому принадлежит право на получение платежа по векселю.

Переводной вексель (тратта) представляет собой письменный документ, содержащий безусловный приказ векселедателя плательщику (трассату) уплатить определенную сумму денег в определенный срок и в определенном месте векселедержателю или его приказу.

Учет векселей состоит в том, что векселедержатель передает (продает) вексель банку или иному финансовому учреждению до наступления срока платежа и получает за это вексельную сумму за вычетом (за досрочное получение) определенного (учетного) процента от этой суммы.

Таким образом, владелец векселя с помощью его продажи имеет возможность получить деньги, хотя и не в полном объеме, но раньше срока.

При учете векселей применяется банковский или коммерческий учет. Согласно этому методу, проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d .

Размер учётной ставки зависит от качества векселя, срока до его погашения и определяется в договоре между векселедержателем и банком. Чаще всего применяют простую учетную ставку, но возможно использование сложных процентов.

Вексель может быть с фиксированной суммой долга или с начисляемыми

17

процентами. По векселям, в которых указана фиксированная сумма долга, без начиcления процентов, величина дисконта определяется по формуле:

D FV d Tdn , K0

где D — сумма дисконта; FV – вексельная сумма; Tdn – количество дней до даты погашения векселя; d – учётная ставка банка, K0 – временная база в

днях. Получаемая векселедержателем сумма PV FV (1 d Tdn ) .

K0

При дисконтировании по сложному проценту – дисконтный множитель: (1 d )T .

Банки обычно принимают к учету векселя, содержащие обязательства солидных фирм, платежеспособность которых не вызывает сомнений, так называемые первоклассные векселя. Если вексель имеет гарантию крупного банка, то он учитывается по более низкой процентной ставке, чем вексель торговых или промышленных фирм, не имеющий банковской гарантии (банковского аваля). Векселя с обязательствами мелких и слабых в финансовом отношении фирм учитываются обычно по сильно завышенным процентным ставкам.

Пример 1.5. Какую сумму можно взят в долг, если есть возможность через три года расплатиться суммой 150000 руб. Банк предлагает ставку по депозиту 6% годовых с квартальным начислением.

Для определения суммы долга проведем операцию математического

150000

дисконтирования: PV 4 3 125458,11руб.

(1 0,06 4)

Пример 1.6. 20.12. 2012 предъявлен для учета вексель на сумму 2 млн. руб. Срок погашения векселя 30.03.2013. Банк учитывает вексель по ставке 18% простых точных процентов. Какую сумму получит владелец векселя.

Рассчитаем, за сколько дней до погашения предъявлен вексель. Так как проценты точные расчет ведется по календарю – 100 дней.

1.5.Финансовая эквивалентность обязательств.

Впрактике финансовых расчетов нередко возникают случаи, когда нужно заменить одно денежное обязательство другим, например, с более отдаленным сроком платежа, или объединить несколько платежей в один и т. д.

18

Такие задачи решают на основе принципа финансовой эквивалентности обязательств.

Эквивалентными считаются платежи, которые, будучи «приведенными» к одному моменту времени, оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования (приведение к более ранней дате) или, наоборот, наращения платежа (если дата относится к будущему.

Пример 1.7. Имеется два обязательства:

1.выплатить 500 тыс. руб. через 6 месяцев;

2.выплатить 400 тыс. руб. через 8 месяцев. Можно ли считать их равноценными?

Платежи предусматривают простую ставку процентов r = 15% годовых.

Найдем современную стоимость платежей на основе дисконтирования.

Современные стоимости платежей не равны. Следовательно, они не являются эквивалентными.

Консолидация (объединение платежей)

Общий метод решения подобных задач состоит з в разработке уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому-либо моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Для краткосрочных обязательств приведение обычно осуществляется на основе простых ставок, а для прочих – с помощью сложных процентных ставок. Обычно для объединенного платежа задаются все параметры кроме одного и задача заключается в определении неизвестного параметра.

Пример 1.8. Два платежа 2 млн. руб. и 3 млн. руб. со сроками уплаты соответственно 200 и 320 дней объединяются в один платеж со сроком 250 дней. Стороны согласились на применение при конверсии простой ставки, обычных процентов в 10 %. Найти консолидированную сумму долга.

Выбираем в качестве базовой даты 250 дней. Приведем эти платежи к выбранной дате. Для первого платежа придется сделать наращение, а для второго – дисконтирование.

S1 2000000 1 0,1 50360 2027778 руб.

Тогда консолидированный платеж S будет равен их сумме:

S S1 S2 4970557 руб.

19

Пример 1.9. Суммы в размере 20, 40 и 15 млн. руб. должны быть выплачены через 100, 180 и 150 дней соответственно. Стороны согласились заменить их одним платежом в размере 70 млн. рублей при ставке 10% простых точных процентов. Найти срок платежа.

Найдем современную стоимость всех платежей и составим уравнение эквивалентности.

19,467+38,12+14,408=71,995 млн. руб. – сумма объединяемых платежей.

1.5. Конверсия и наращение капитала

Речь идет о совмещении конверсии (обмена) валюты и наращения процентов. В операции наращения с конверсией валют существует два источника дохода: изменение курса и наращение процента. Причем если второй из них безусловный (ставка процента фиксирована), то этого нельзя сказать о первом. Более того, двойное конвертирование валюты может быть и убыточным.

Варианты с конверсией показаны на рисунке 1.3.

PV(СКВ) FV(СКВ) PV(руб.) FV(руб.)

Рис. 1.3. Схема наращения капитала с конверсией

Рассмотрим вариант (a) наращения процентов с конверсией по схеме простых процентов. Примем следующие обозначения:

PV (СКВ)– сумма депозита в СКВ; PV (руб.) – сумма депозита в

рублях;

FV (СКВ) – наращенная сумма в СКВ; FV (руб.)– наращенная сумма в

рублях;

К0 – курс обмена в начале операции (курс СКВ в руб.);

К1 – курс обмена в конце операции;

T – срок депозита;

r – ставка наращения для рублевых сумм;

– ставка наращения для конкретного вида СКВ.

20

Операция предполагает три шага:

1.обмен валюты на рубли;

2.наращение процентов на эту сумму;

3.конвертирование в исходную валюту.

Конечная (наращенная) сумма в валюте определяется как

Три сомножителя этой формулы соответствуют упомянутым выше трем шагам операции. Множитель наращения с учетом двойного конвертирования:

Взаимодействие двух факторов роста исходной суммы здесь представлено наиболее наглядно. С ростом ставки множитель линейно увеличивается, в свою очередь рост конечного курса уменьшает его:

производная множителя по этому курсу: dA K0 (1 Tr) 0 . dK1 K12

Таким образом, чтобы определить, выгодна ли операция с конверсией, необходимо сравнить ее с обычным наращением процентов в исходной валюте и определить, в каком случае больше будет конечная сумма. Для этого сравниваются коэффициенты наращения этих операций.

Если K0 (1 Tr) (1 T ) , то операция с конверсией выгодна, т. е.

K1

валют. Поскольку в момент заключения контракта величина K1 неизвестна, то полезно определить максимально допустимое ее значение, при котором эффективность будет равна существующей ставке по депозитам в СКВ и применение двойного конвертирования не дает никакой дополнительной выгоды. Для этого приравняем множители наращения:

При использовании схемы сложных процентов изменяется лишь формула

21

наращения:

Определим доходность операции в целом для владельца валюты на основе эффективной ставки процентов re . Обратившись к формуле эффективной ставки (1.7) и подставив в нее (1.13) получим:

Эта формула показывает, что эффективность операции определяется отношением годового множителя наращения по принятой ставке к среднегодовому изменению курса, т. е. с увеличением темпа роста курса валют эффективность операции с конверсией падает.

Пример 1.10. Будет ли выгодной схема наращения капитала с

в долларах 3,5% годовых с месячным начислением. Срок операции один год. Прогнозируется обменный курс K1 =30,5 руб. за доллар.

При наращении капитала на рублевом депозите коэффициент наращения больше. Следовательно, при данных условиях конверсия не выгодна. Найдем, при каком обменном курсе операция с конверсией может быть выгодна инвестору. Для этого следует определить: при каком значении K1 множитель наращения в операции с конверсией будет больше соответствующего множителя в операции без конверсии.

Таким образом, операция с конверсией будет выгодна только в том случае, если обменный курс через год будет более 32 руб.

22