§ 11.5. Алгоритм Видемана |
287 |
§ 11.5. Алгоритм Видемана
В этом параграфе мы опишем алгоритм Видемана [281] для решения системы линейных уравнений
Ax = b, |
b = 0, |
(11.27) |
над конечным полем K = GF(q). |
Матрица |
A предполагается раз- |
реженной; w обозначает число ненулевых элементов A. Мы будем считать, что A квадратная размера n × n и невырожденная; рассмотрение других случаев, а также алгоритм вычисления определителя матрицы можно найти в работе [281]. Полученные Видеманом оценки сложности алгоритмов являются наилучшими из известных, и их применение позволяет улучшать оценки сложности в других алгоритмах, использующих методы решения линейных систем. В частности, описываемый ниже алгоритм 2 является детерминированным и требует O(n(w + n log n log log n)) операций поля. Заметим, что первое время после появления работы [281] алгоритмы Видемана считались непрактичными и полезными лишь для получения наилучших оценок сложности. Однако в последние годы алгоритмы были реализованы на компьютере и использовались, например, для разложения многочленов на множители над конечными полями, см. [139]. Появились различные модификации, в частности, блочный алгоритм Видемана, см. [96; 105; 138; 140; 177].
Вернемся к решению системы (11.27). Матрица A задает невырожденное линейное отображение (которое мы также обозначаем A) на пространстве Kn. Рассмотрим пространство S, порожденное множеством векторов {Aib | i = 0, 1, 2, . . .}, и положим AS = A|S — линейное отображение S на S. Обозначим f(z) K [z] — минимальный многочлен AS, т. е. ненулевой многочлен наименьшей степени, такой, что f(AS) — нулевое отображение S. Мы считаем f(z) нормализованным таким образом, что его свободный член равен 1. Заметим, что если g(z) K [z], то g(AS) — нулевое отображение S тогда и только тогда, когда g(A)b = 0. Кроме того, f(z) делит многочлен det(zIn − A), и поэтому deg f(z) n.
Обозначим d = deg f(z), f(z) = d f[i]zi, где f[i] K — коэффициенты
i=0
f(z). Если мы сможем найти f(z), то найдем и решение системы (11.27): так как f(A)b = 0 и f[0] = 1, то
d |
|
i |
|
x = − f[i]Ai−1b. |
(11.28) |
=1 |
|
288 Гл. 11. Решение систем линейных уравнений над конечными полями
Пусть u — какой-либо фиксированный вектор из Kn; (·, ·) — стандартное билинейное отображение Kn в K,
((v1, . . . , vn), (w1, . . . , wn)) = n viwi.
i=1
Поскольку f(A)b = 0, то последовательность
(u, Aib), i = 0, 1, 2, . . . |
(11.29) |
удовлетворяет линейному рекуррентному соотношению, характеристический многочлен которого равен f(z). Пусть fu (z) — минимальный многочлен для последовательности (11.29) (т. е. характеристический многочлен самого короткого рекуррентного соотношения). Тогда fu | f(z). Действительно, если мы разделим с остатком
f(z) = q(z)fu (z) + r(z), deg r(z) < deg fu (z),
то из равенств
0 = (u, f(A)b) = (u, q(A)fu (A)b) + (u, r(A)b), (u, fu (A)Ajb) = 0, j = 0, 1, 2, . . . ,
и минимальности fu (z) будет следовать, что r(z) = 0. Поскольку свободный член f(z) равен 1, мы можем считать, что и свободный член fu равен 1.
Минимальный многочлен fu (z) для последовательности (11.29) может быть вычислен с помощью алгоритма Берлекэмпа—Месси (см. [7; 31, гл. 2; 175]) по первым 2n ее членам. Поэтому возможен следующий метод решения (11.27): выбрать случайный вектор u, построить fu (z) и в предположении, что f(z) = fu (z), найти x по формуле (11.28). Согласно [281], мы этим путем с достаточно высокой вероятностью найдем решение системы (11.27).
Рассмотрим другой подход к решению (11.27). Пусть b0 = b, f1 (z) = fu1 (z) для некоторого вектора u1. Если вектор b1 = f1 (A)b0 равен 0, то мы находим x по формуле (11.28) (так как тогда f1 (z) = f(z)). Если же b1 = 0, то повторяем процедуру, т. е. выбираем случайный вектор u2 и строим минимальный многочлен f2 (z) = fu2 (z) для последовательности (u2, Aib1). Если b2 = f2 (A)b1 = 0, то (как будет показано ниже) f(z) = f1 (z)f2 (z) и мы находим решение x по формуле (11.28), иначе выбираем u3 и т. д.
