128Гл. 4. Применение кривых для проверки простоты и факторизации

§4.5. Заключение

Взаключение сделаем еще несколько замечаний об алгоритмах, использующих эллиптические кривые.

Как мы видели выше, в ряде случаев приходится вычислять кратную точку kP для точки P на эллиптической кривой (здесь k Z). Такие вычисления проводятся и во многих криптосистемах. Эффективные алгоритмы для решения этой задачи можно найти в работах [200; 261].

Вычисление порядка группы точек эллиптической кривой над полем GF(2l) описано в работе [182].

Построение кривых с комплексным умножением описано в работах [189; 154].

Вработе [133] отмечено, что если криптосистема использует эллиптические кривые с некоторыми специальными свойствами (например, аномальные или суперсингулярные кривые), то на такую криптосистему возможны более эффективные атаки (см. [235]).

Вработе [224] доказано, что с помощью эллиптических кривых можно получить сертификат простоты для каждого простого числа p, проверяемый за O(log p) арифметических операций. Однако отсутствует оценка на количество таких сертификатов для фиксированного p. Метод этой работы, скорее всего, неприменим для практической проверки простоты чисел.