Глава 11. Решение систем линейных уравнений над конечными полями

к модулю qk, мы получим систему линейных уравнений

му (11.2), редуцируя ее к модулю q2k и затем поделив на qk, мы получим систему линейных уравнений над полем Z/qkZ относительно неизвестных xj1, j = 1, . . . , N, и так далее. В конечном счете, найдя значение xj (mod qkk) для всех k, мы найдем xj (mod p − 1) по китайской теореме об остатках.

Далее в этой главе мы рассмотрим методы решения систем линейных уравнений, наиболее часто используемые в современных алгоритмах факторизации и дискретного логарифмирования. Кроме того, в § 11.2 мы опишем методы решения систем линейных уравнений в целых числах.

§11.2. Решение систем линейных уравнений

вцелых числах

В этом параграфе мы рассмотрим два алгоритма решения систем линейных уравнений над кольцом целых чисел. По сути эти алгоритмы являются обобщениями алгоритма Евклида.

Сначала рассмотрим случай, когда система состоит из одного уравнения

где a1, . . . , an, d Z. Мы хотим описать алгоритм нахождения всех решений (11.5) в целых числах x1, . . . , xn. Для этого составим матрицу

a1 . . . an

A = 1 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

0. . . 1

размера (n + 1) × n, у которой в первой строке стоят коэффициенты a1, . . . , an, а под ними единичная матрица. За один проход алгоритма мы выполняем следующие действия.

1)Выбираем в первой строке матрицы A наименьший по абсолютной величине ненулевой элемент ai.

2)Выбираем номер j = i такой, что aj = 0.

18*

278 Гл. 11. Решение систем линейных уравнений над конечными полями

Теперь рассмотрим произвольную систему линейных уравнений

где aij, bl Z. Опишем алгоритм нахождения всех решений (11.9) в целых числах. Составим матрицу A размера m × n и матрицу B размера (m + n) × (n + 1), в которой под матрицей A стоит единичная матрица размера n × n:

С первыми n столбцами матрицы B можно производить следующие действия:

1)переставлять их;

2)вычитать из одного столбца другой, умноженный на целое число. Также можно переставлять какие-либо из первых m строк матрицы B.

С помощью этих действий мы преобразуем матрицу B к частичнотреугольному виду

при некотором k 1, k min(m, n), и u11 = 0, . . . , ukk = 0. (Элементы b1, . . . , bm — перестановка элементов b1, . . . , bm, которая получилась, когда мы переставляли первые m строк матрицы B.) Для того чтобы привести B к виду (11.10), надо сначала в первой строке B (без

последнего элемента −b1) обнулить все элементы, кроме одного (как в предыдущем алгоритме), и потом столбец, содержащий этот ненулевой элемент, поставить на первое место. Затем так же поступить со второй строкой получившейся матрицы (не затрагивая ее первый столбец) и т. д.

После того как матрица B1 вида (11.10) построена, мы преобразуем

Для этого мы умножаем первые k столбцов матрицы B1 на целые числа и прибавляем их к последнему столбцу. Точнее, сначала мы прибавляем первый столбец B2, умноженный на число b1/u11, которое должно быть целым, к последнему столбцу и получаем ноль в первом элементе (n + 1)-го столбца. Затем с помощью второго столбца и элемента u22 мы получаем ноль во втором элементе (n + 1)-го столбца и так далее.

Если такой переход от матрицы (11.10) к матрице (11.11) указанным способом невозможен, то система (11.9) не имеет решений в целых числах. Если же мы нашли матрицу B2 из (11.11), то общее решение системы (11.9) в целых числах имеет вид

где t1, . . . , tn−k пробегают все множество целых чисел.

Обоснование данного алгоритма решения системы (11.9) аналогично обоснованию алгоритма решения (11.5); мы предлагаем читателю придумать это обоснование самостоятельно.