Глава 10. Целочисленная арифметика многократной точности

вычисления wj и k не нужно использовать деления, достаточно взять соответствующий разряд (или разряды) в записи uj + vj + k.)

3 шаг. Присвоить j := j − 1. Если j > 0, то идти на шаг 2; если j = 0, то присвоить w0 := k и закончить работу.

Конец алгоритма.

Обоснование корректности алгоритма очевидно.

Алгоритм S (вычитание неотрицательных целых чисел).

По двум n-разрядным неотрицательным целым числам u= u1 . . . unv = v1 . . . vn 0 вычисляется их разность w = w1 . . . wn = u − v.

Замечание 10.1. Для того, чтобы в общем случае установить, что u1 . . . un v1 . . . vn, надо пройти по цифрам, вычисляя uj − vj. Это простая проверка; с ее помощью находится знак разности u − v в общем случае.

1 шаг. Присвоить j := n, k := 0 (переменная k — это заем из старшего разряда).

2 шаг. Присвоить wj := uj − vj + k (mod b) — наименьший неотрицательный вычет в данном классе вычетов;

= uj − vj + k k : .

b

3 шаг. j := j − 1. Если j > 0, то идти на шаг 2; при j = 0 закончить работу.

Конец алгоритма.

Обоснование алгоритма достаточно очевидно. При j = n мы находим wn = un − vn, если un vn, и wn = b + un − vn, если un < vn. Соответственно, k = 0 и k = −1 — это заем из n − 1 разряда. Дальнейшие рассуждения аналогичны.

§ 10.2. Умножение

Здесь мы опишем несколько методов умножения целых чисел, приводящих к эффективным на практике алгоритмам.

Алгоритм M (умножение неотрицательных целых чисел столбиком).

Для чисел u = u1 . . . un и v = v1 . . . vm в системе счисления с основанием b мы находим их произведение w = uv = w1 . . . wm+n.

1 шаг. Присвоить wm+1 := 0, . . . , wm+n := 0, j := m. (Значение j перемещается по номерам разрядов v от младших к старшим.)

256 Гл. 10. Целочисленная арифметика многократной точности

2 шаг. Если vj = 0, то присвоить wj := 0 и перейти на шаг 6. (Этот шаг можно пропустить. Однако если b мало, например, b = 2, то vj равно нулю с достаточно большой вероятностью. В этом случае выполнение шага 2 дает значительную экономию.)

3 шаг. Присвоить i := n, k := 0. (Значение i идет по номерам разрядов числа u, k отвечает за перенос.)

4 шаг. Присвоить t := ui · vj + wi+j + k, wi+j := t (mod b) — наименьший неотрицательный вычет в данном классе вычетов, k := [t/b]. (По прежнему, как и в § 10.1, при вычислении wi+j и k в ряде случаев можно обходиться без деления. Легко показать, что выполняются неравенства 0 t < b2, 0 k < b.)

5 шаг. i := i − 1. Если i > 0, то идти на шаг 4. Если i = 0, то присвоить wj := k.

6 шаг. j := j − 1. Если j > 0, то идти на шаг 2. Если j = 0, то закончить работу.

Конец алгоритма.

Проведем обоснование корректности алгоритма по индукции. Пусть j = m. Если на 2 шаге vm = 0, то в последних n + 1 раз-

рядах w будут стоять нули. Если же vm > 0, то на 4-м шаге мы фактически находим uibn−ivmbm−m = uivjbm+n−(i+j) и добавляем в разряд wi+j с учетом переноса k. При этом определяется истинное значение цифры wi+j и очередной перенос k. В итоге при j = m после шагов 2—5 мы нашли wmwm+1 . . . wm+n = u · vn. Это основание индукции.

Теперь предположим, что мы прошли 2—6 шаги l раз и верно определили u · (vm−l+1vm−l+2 . . . vm) = wm−(l−1) wm−(l−2) . . . wm+n. Тогда после 6 шага j = m − l, мы уходим на 2 шаг и вычисляем u · vm−l Снова идем по разрядам un, . . . , u1, находим uibn−ivm−lbl = uivjbn+l−i и соответственно изменяем цифру с номером n + m − (n + l − i) = i + j. На этом мы завершим наше краткое обоснование алгоритма М.

Теперь мы опишем метод умножения, предложенный Комбой, см. [92; 91]. Мы будем называть этот метод «быстрым столбиком». Нам

ний uivj и некоторого количества сложений определенное количество чтений записей памяти. А именно, элементы vj мы читали m раз, элементы ui мы читали mn раз (по n раз при каждом фиксированном j), элементы wi+j мы mn раз читали и mn раз записывали для них новые значения. То есть нам нужно mn умножений и около 3mn чтений

читаем ui и mn раз читаем vj). И еще требуется m + n записей в память значений wm+n−s. В итоге число чтений записей памяти в «быстром столбике» существенно меньше, чем в алгоритме М, и реализация алгоритма FM дает реальный выигрыш во времени на практике (если писать программу на ассемблере и если b — это размер слова в ассемблере).

Теперь опишем метод Карацубы для умножения целых чисел (см. [23]). Предположим, что у нас имеется два 2n-разрядных числа в двоичной системе счисления:

Поэтому для умножения двух 2n-разрядных чисел по формуле (10.4) нужно три умножения n-разрядных чисел и O(1) сложений, вычитаний и сдвигов 4n-разрядных чисел, которые делаются за O(n) битовых операций. Если обозначить через T (n) число битовых операций для умножения двух n-разрядных чисел, то

где c — некоторая абсолютная постоянная. Из (10.5) по индукции следует неравенство

Действительно, при k = 1 T (2) c (это обеспечивается за счет выбора постоянной c). Далее, если (10.6) верно для k, то

T (2k+1) 3T (2k) + c2k 3c(3k − 2k) + c2k = c(3k+1 − 2k+1).

Поскольку умножение двух n-разрядных чисел сводится к умножению 2[log2 n]+1-разрядных чисел (старшие биты при необходимости полагаем равными нулю), то из (10.6) получим неравенство

T (n) T (2[log2 n]+1) c3[log2 n]+1 c13log2 n = c1nlog2 3.

Это есть оценка сверху количества битовых операций, требуемых для умножения двух n-разрядных чисел методом Карацубы.