Каустика точек поворота
• |
Из (Ф. - 25) n(xtp )= n(0)cosθz (0); 0 ≤ xtp ≤ ρ |
следует, что если |
|
показатель преломления уменьшается от оси волновода к периферии, |
|
|
то внутри сердцевины существует граница, на которой θz(x) = 0. Причем |
|
|
положение границы определяется значением θz(0). Эту границу будем |
|
|
называть точкой поворота xtp, которая определяется из условия: |
|
• |
n(x)cosθz (x)= n(0)cosθz (0) |
(Ф. - 26) |
•Если это уравнение имеет решение, то луч плавно поворачивает, достигает границы и возвращается к оси. Если уравнение не имеет решения, то луч преломляется на границе и выходит наружу.
•Геометрическое место точек x = xtp (для данного θz(0)) называют
лучевой каустикой, или каустикой точек поворота.
Рис. 7. – Возможные траектории луча в планарном волноводе с градиентным профилем.
Характеристики траектории луча.
•Если профиль показателя симметричный n(-x) = n(x), то траектория имеет вид синусоиды (Рис. 8). Лучи, которые никогда не достигают границы сердцевины называют направляемыми, а те которые проходят границы раздела – рефрагирующими.
•Для граничной траектории xtp = ρ., введя обозначение θc(0) = θz(0) из (Ф. - 26) получаем
• |
cosθc (0)= n(ρ) n(0)= ncl |
nco |
(Ф. - 27) |
|
|
•Итак, в соответствии со значением θz(0) лучи в ОВ с градиентным профилем могут быть классифицированы, как
• |
0 ≤θz (0)≤θc (0) |
|
|
направляемые лучи, |
(Ф. - |
28) |
|
• |
θc (0)≤θz (0)≤π 2 |
|
|
рефрагирующие лучи |
(Ф. - |
29) |
Рис. 8. – Синусоидальная траектория направляемого луча в серцевине планарного ОВ с градиентным профилем.
Лучевой инвариант
•С учетом (Ф. – 23-24) лучевой инвариант в случае градиентного профиля может быть записан, как
• |
|
|
= n(x)cosθz (x)= n(x) |
dz |
(Ф. - 30) |
|
β |
||||||
ds |
||||||
|
|
|
|
|
||
•Следовательно, постоянен вдоль траектории и определяет как направление луча в любой точке траектории, так и положение точки поворота
• |
n(xtp )= β |
(Ф. - 31) |
•Что позволяет записать (Ф. – 28-29) в виде:
• |
Направляемые лучи: |
|
|
|
|
≤ nco |
|
|
|
ncl < β |
; |
(Ф. - |
32) |
||||||
|
|
|
|
≤ ncl |
|
|
|
||
• |
Рефрагирующие лучи: |
0 ≤ β |
|
(Ф. - |
33) |
||||
Лучевые параметры
•Из (Ф. - 30), заменив в (Ф. - 23) ds на dz, можно получить:
|
|
|
|
|
d 2 x |
|
|
|
|
1 dn2 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
• |
β 2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ф. - 34) |
||||||||||||||||||||
dz 2 |
|
|
2 |
|
|
dx |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 x |
|
dx d |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
• |
Полагая |
|
= |
dz |
|
|
, после интегрирования, получим: |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
dz 2 |
dz |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
= n2 (x)− β 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
• |
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(Ф. - 35) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
dx |
|
= 0 и n |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x = xtp |
|
||||||||||||||||||
• |
Так как |
|
|
|
= β |
|
|
|
при |
. Второе интегрирование дает |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫x |
|
|
dx |
|
|
|
|||||||
• |
|
|
|
|
|
|
|
z(x)= β |
2 |
2 |
, где z = 0 при x = 0 |
(Ф. - 36) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
n |
|
|
(x)− β |
|
|
|
|||||||||
• |
Это выражение справедливо для направляемых лучей при |
0 ≤ x ≤ xtp |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
и для рефрагирующих лучей при 0 ≤ x ≤ ρ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
•Длина пути Lp и оптическая длина пути Lo определяются интегралами по
траектории: Lp |
= ∫ds , |
LO |
= ∫n(x)ds |
|
Q |
|
Q |
• |
P |
|
P |