Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Челябинский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.03.2015

Размер:

1.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики и информатики

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общему профилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Версия документа - 1	стр. 51 из 61	Первый экземпляр __________	КОПИЯ № _____

12.	Найти 4-ю производную функции		f (x) ex2 .
		d		sin x
13.	Найти дифференциал функции					.
					x
		d(x)
14.	Найти производную функции,				заданной параметрически

x cost

y sint

15.Найти приращение и дифференциал функции y x2 .

16.Найти производную вектор-функции:

f: x 2tx,3t x3,thu3 (x),chu4 (x),cos( x) .

17.Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить на 0,1 см. (Сторона квадрата равна 5 см).

18.

Найти пределы функций: а) lim

2 x x

;

б) lim

4х 3х

x 1

ln(2 x)

x x2

19.

Разложить по целым степеням х функции f (x) sin2 x.

20. Разложить

в ряд по степеням x 1.

21.

Найти неопределенные интегралы:

а)

xdx

;

б)

xdx

; в) (2 4x)sin2xdx; г) cos3 xdx.

cos x

x 1

22.Найти точки экстремума функции y x3 3x.

23.Найти интервалы монотонности и исследовать на экстремум функ-

цию y x3 9x2 24x;

24.Исследовать на экстремум функцию: y x3 .

25.		Найти наибольшее и		наименьшее значения функции
y x3 2x		x 2	на отрезке 0,3 .
y x3 2x		x 2	на отрезке 0,3 .
26.		Найти	точки перегиба функции y x2 4x 3 2 .
27.	Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции y							1	.
27.	Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции y						x2		.
							x2	1
28.	Провести полное исследование и построить график функции:
			а) y x2 1 x 1 ;	б) y	x3	.
			а) y x2 1 x 1 ;	б) y		.
				2 x 1 2

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Версия документа - 1	стр. 52 из 61	Первый экземпляр __________	КОПИЯ № _____

5.4.2.Второй семестр

29.Найти определенные интегралы:

а) (2x2

15)cos3xdx;

б)

dx.

30.

Найти определенный интеграл:

а) xln2

xdx;

б) (x2

5x 6)cos2xdx.

xdx

31.

Вычислить несобственный интеграл

1 x

32.

Исследовать на сходимость: а)

;

б)

;

в)

sin x

dx.

0 x

33.

Исследовать на сходимость: а)

;

б)

sin x

dx.

0 x

34.

Исследовать на абсолютную сходимость:

sin ydy

cos e

dx.

а)

; б)

35.

Найти интеграл

смысле

главного

значения

по

Коши

v.p.

3x 2

36.Найти длину дуги кривой , заданной в пространстве R2

x, y R2 : y2 2px,0 x x0 , p 0 .

37.Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиком

функции	x2	y2	1,	x	a.

	a2	b2

38. Найти площадь фигуры , ограниченной кривой, заданной в по-

лярных координатах:	p	,	,		.
	1 cos			2
		4

39.Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом вращения, площадь которого равна S, а высота равна H.

40.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью

x2	y2	z2	1, z c.
a2	b2	c2

41.Определить координаты центра тяжести плоскости фигуры

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Версия документа - 1	стр. 53 из 61	Первый экземпляр __________	КОПИЯ № _____

	2		x2	y2
x,y R		:			1, 0 x

			a2	b2

a, 0 y b .

42.Определить силу давления воды на вертикальную перегородку в канале, имеющую форму полукруга радиуса a, диаметр которого находится на поверхности воды.

43.Применяя формулу прямоугольников (n = 12), приближенно вы-

числить xsin xdx и результат сравнить с точным ответом.

44.	С помощью формулы трапеций вычислить интеграл

			1
	2			sin2 xdx (n 6)
		1
		1	4
	0		4
и оценить погрешность формулы.
	1
45.	Вычислить ex2 dx с точностью до 0,001.
	0

46.Найти точки разрыва у функции z xy 1 .

x2 y

47.

Найти пределы функций: а) lim

;

б) lim

x y

x 0

y 0

48.

Исследовать на непрерывность функцию

1 x

при

f (x,y)

при

49.Найти частные производные функции z x3 y3 3axy.

50.Найти полный дифференциал z x3 y3 3xy.

51.Одна сторона прямоугольника a =10 см, а другая b = 24 см. Как изменится диагональ l прямоугольника, если сторону а удлинить на 4 мм, а сторону b укоротить на 1 мм? Найти приближенную величину изменения и сравнить с точной.

52.Найти производную функции z x2 xy 2y2 в точке Р(1,2) в на-

правлении, составляющем с осью ОХ угол 60 градусов.

53. Найти dy, d2 y , если 1 xy ln(exy ) 0. dx dx2

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Версия документа - 1	стр. 54 из 61	Первый экземпляр __________	КОПИЯ № _____

54. Функцию f (x,y,z) x2 y2 z2 2xy yz 4x 3y z 4 разлжить

вряд Тейлора в окрестности точки (1,1,1).

55.Разложить по формуле Маклорена до членов 3-го порядка включи-

тельно функцию f (x,y) ex sin y.

d2 y

56.

Найти

, если

3 x

1 0.

57.

Найти

, если x2

2y2

3z2 yz y 0.

58.

Уравнения u v x y, xu yv 1 определяют u и v как функции от

x и y. Найти

59.

Найти

, если xcos y ycosz zcosx 1.

60.

Написать

уравнение

касательной

нормали к поверхности

в ее точке M(2,-1,1).

61.Показать, что кривая y2 ax2 x3 имеет: узел, если a 0; изолированную точку, если a 0; точку возврата, если a 0.

62.Исследовать на экстремум функцию z x3 3xy2 15x 12y.

63.Исследовать экстремум функции z 6 4x 3y при условии, что переменные x и y удовлетворяют уравнению x2 y2 1.

64.Определить наибольшее и наименьшее значения функции

z x2 y2 xy x y

в области x 0, y 0, x y 3.

				1		3
65.	Найти сумму ряда sin			1	cos	3	.
65.	Найти сумму ряда sin			k	cos	k	.
			k 1	2		2
66.	Доказать расходимость ряда, пользуясь необходимым признаком
		1
сходимости: ksin		1	.
сходимости: ksin			.
	k 2	k						2	1		2	1	1		1	1

67.	Исследовать на сходимость ряд																....
67.	Исследовать на сходимость ряд							3	n					12		24	....
68.	Исследовать сходимость ряда:					n 0		3	2	3 3 6				12		24
68.	Исследовать сходимость ряда:

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Версия документа - 1	стр. 55 из 61	Первый экземпляр __________	КОПИЯ № _____

sin2 3k

k5 (

sin

)

2n2 2n 1 n

а)

;

б)

; в)

;

г)

;

k k

k 1

n 1

n 1 5n

2n 1

(2n 1)!!

д)

;

е)1

;

ё)

(2n)!!

n 1 n

n 1

2n 1

n 1

)

69. Исследовать на абсолютную и условную сходимость:

1 n 1 n3

2n 100 n

n 1 n 1

а) 1

;

б) 1

;

в)

;

г)

3n 1

n 100

n 1

70. Найти суммы рядов:

а)

;

б)

1 3

3 5

5 7

1 2 3

2 3 4

3 4 5

n3 1 2

71. Доказать равенства: а) 1

; б)

n 2

1 3

72. Доказать, что произведение

xn2 .

n 1

73. Доказать, что произведение

cosxn сходится, если сходится ряд

n 1



tg		n	n		сходится, если
n 1	4			4

абсолютно сходится ряд

n .

n 1

74.

Исследовать на абсолютную и условную сходимость бесконечные

( 1)n 1

произведения: а) 1

;

б)

n 1

75.

Установить сумму двойного ряда:

б) 1

m ln2.

а) 1

m 1

p 1 ;

m,n 2

p n

p 1

m 2,n 1

76.

Исследовать на абсолютную сходимость ряд

i!k!

i,k 0

i 0 i!

k 0

77.

Исследовать на абсолютную сходимость ряд

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Версия документа - 1	стр. 56 из 61	Первый экземпляр __________	КОПИЯ № _____

xi yk 1 x x2 xm xy x2 y xm y x2 y2 xm y2 xm ym

i k

5.4.3.Третий семестр

78.Проверить на измеримость по Жордану множество всех рациональных чисел на отрезке [0,1].

79.Пусть даны два вектора a a1, a2 и b b1,b2 . Найти Пab (дву-

мерный прямоугольник Пab x R2 :ak bk k 1, 2 ) и меру Жордана Пab .

80.	Определить пределы интегрирования интеграла: f (x,y)dxdy, если
			s
область интегрирования S ограничена гиперболой		y2	x2 1, x 2 и x 2.
81.	Расставить пределы интегрирования	в	двойном интеграле:
f (x,y)dxdy, если S :x2 y2 x.
s

82. Перейти к полярным координатам r, и расставить пределы интегрирования по новым переменным в следующем интеграле

2	x
dx f (		x2 y2	)dy.
0	0
	83. Вычислить тройной интеграл				I x3 y2xdxdydz, где область V
						V
определяется неравенствами 0				x 1,	0	y	x , 0 z xy .

84. Переходя к сферическим координатам, вычислить

I x2 y2 z2 dxdydz,

где V – шар радиуса R.

85.Найти площадь части поверхности az xy, заключенной внутри цилиндра x2 y2 a2 .

86.Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми ay x2 , x y 2a a 0 .

87.Найти объем тела, ограниченного поверхностями

z x2 y3 , z 2x2 2y2 , y x, y x2 .

88.	Найти	массу тела, занимающего единичный	объем 0 x 1,
0 y 1,	0 z 1,	если плотность тела в точке М(x,y,z),	дается формулой

x y z.

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Версия документа - 1	стр. 57 из 61	Первый экземпляр __________	КОПИЯ № _____

89. Исследовать на сходимость несобственный интеграл с бесконечной область интегрирования 0 m x, y M :

а)	x, y					dxdy;
	x	3	y	2	p
x3 y3 1
90. Переходя	к		полярным

dxdy

б)

) (1

)

координатам, вычислить интеграл

e x3 y3 dxdy.

91. Исследовать на сходимость несобственный двойной интеграл от

разрывной функции		dxdy			, где область	определяется условиями:
	x	2	y	2

yx2 , x2 y2 1.

92.Исследовать на сходимость тройной интеграл

x,y,z

dxdydz,

где 0 m

x2 y2 z2 1

1 1 1

dxdydz

б)

93. Вычислить интеграл: а)

;

0 0 0

x,y,z M .

e x2 y2 z2 dxdydz.

94.	Вычислить криволинейный интеграл:	(x y)ds,	где С – контур
треугольника с вершинами О(0,0), А(1,0), В(0,1).		C
треугольника с вершинами О(0,0), А(1,0), В(0,1).		xdy ydx,	где О – начало
95.	Вычислить криволинейный интеграл:	xdy ydx,	где О – начало
		OA

координат и точка А имеет координаты (1,2), если а) ОА – отрезок прямой линии; б) ОА – ломанная линия, состоящая из отрезка ОВ оси Ох и отрезка ВА, параллельного оси Oy.

96. Убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой L с началом в точке А и концом в точке В:

	(3x2 2xy y2 )dx (2xy x2			3y2 )dy,	A( 1;2),	B(1; 2).
	L
97. Найти моменты инерции кривой L при заданной текущей плотности
, если L – окружность x2 y2 2Rx,				1.
98.	Найти	площадь	области,		ограниченной		кривыми:
y 1 x2 ,	x y 1 0.

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Версия документа - 1	стр. 58 из 61	Первый экземпляр __________	КОПИЯ № _____

99. Вычислить интеграл y2dS , где S – кривая x a cost tsint ,

y a sint	tscost , t [0,2 ].
100.	Вычислить поверхностный интеграл x 3y 4z d , где		-
		x 0,
часть плоскости x 2y 3z 1, расположенная в первом октанте (т.е.		x 0,
y 0, z 0).

101. Пользуясь формулой Стокса, вычислите криволинейный интеграл ydx zdy xdz, где L − виток винтовой линии x cos t,y sint, z t,

0 t 2 , пробегаемый в направлении от точки (1, 0, 0) до точки (1, 0, 2 ). 102. Определить центр тяжести дуги циклойды x a t sint ,

y a 1 cost , 0 t .

103. Пользуясь формулой Остроградского-Гаусса, вычислите поверхностные интегралы по внешней стороне поверхности Ф (если поверхность не замкнутая, дополните ее до замкнутой): xdydz ydzdx zdxdy, где Ф − сфе-

ра x2 + y2 + z2 = a2.
104. Вычислить поверхностные интегралы 2-го рода:
а)	(xdydz ydzdx zdxdy)dS, где		S – внешняя	сторона сферы
	S
x2 y2 z2 a2 ;
б)	f (x)dydz g(y)dzdx h(z)dxdy, где f(x), g(y), h(z) – непрерывные
	S
функции	и S –	внешняя сторона	поверхности	параллелепипеда
0 x a,	0 y b,	0 z c.

105. Исследовать на равномерную и поточечную сходимость:

			sinnx							3
а) f		(x)	sinnx		x [0, ];	б) f		(x)	n2		1 cos
а) f	n	(x)			x [0, ];	б) f	n	(x)	n2		1 cos
	n		n	2			n
			n


4 x
				x [0, ].
				x [0, ].
n
n

106. Исследуйте на равномерную сходимость:


а) arctg 2kx ,		x , ;	б)	2	1	2 ,	x , .

k 1 k			k 1	k x
k 1 k	k		k 1	k x

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Версия документа - 1	стр. 59 из 61	Первый экземпляр __________	КОПИЯ № _____

107.	Найти радиус сходимости ряда x	x2		x3	xn	.
					n!
	2!		3!
108.	Найдите радиус сходимости и область сходимости ряда

x 3 n

а) f (x) 1

x 1 ;

б)

k 1

n 1

109.

Найти область сходимости ряда: а)

;

б)

n 1

n!x

110.

Разложить по синусам кратных дуг f (x)

в интервале 0, .

111.

Разложить в ряд Фурье

f (x) chax в интервале , .

112.

Разложить по

косинусам кратных дуг

f (x) eax

интервале

0, .

в интервале 1,1 .

113.

Разложить в ряд Фурье

f (x)

y f (x)

114.

Исследовать

на непрерывность функцию

F : y

где

2 2

f C 0,1 и f (x) 0.

115.

Найти: a) lim

dx,

б)lim

116.

0 1

1 x

Найти F ( ), если:

dy.

a) F( ) f (x ,x )dx,

б) F( ) dx sin x2 y2 2

xcosx

117.

Найти область сходимости интеграла: а)

dx; б)

sin x

dx.

p q

118.

Исследовать на равномерную сходимость интеграл

в сле-

дующих промежутках: a)1 0

б)1 .

119.

Показать непрерывность функций:

ln(xy)

e(x y)2 dx

a) F : y

1 y 2;

б) F : y

dx,

y 1.

y 1

x y

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Версия документа - 1	стр. 60 из 61	Первый экземпляр __________	КОПИЯ № _____

120. Вычислить интегралы с помощью дифференцирования по параметру:

a) I

dx,

б) I m

sinmxdx, 0,

121. С помощью эйлеровых интегралов вычислить следующие интегра-

a
лы: a) x2	a2 x2	dx,	a 0;
0

г) tg3 xdx.

	4	x			1	1
б)				dx, a 0,	в) x3 1 x3		dx;
						3
	1 x		2
0					0

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учётом рекомендаций ПрООП ВПО по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика».

Авторы (составители): к.ф.-м.н., доцент кафедры теории управления и оптимизации ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» __________________Е.Г. Белов, преподаватель кафедры математики и информатики Троицкого филиала ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» _________________А.С. Кутузов, преподаватель кафедры математики и информатики Троицкого филиала ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

________________С.М. Серебрянский.

Учебно-методический комплекс дисциплины одобрен и рекомендован кафедрой математики и информатики Троицкого филиала ФГБОУ ВПО «ЧелГУ».

Протокол заседания от ___________________ г. №_____

Заведующий кафедрой к.п.н., доцент _________________Нужнова С.В.

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.03.201549.74 Кб2Матвеева С.С. гр 28ЭС-301.docx
#
23.03.2015219.84 Кб23матем статистика.docx
#
30.09.20194.01 Mб3математика.doc
#
08.03.20168.1 Mб110Математические методы и модели в экономике.doc
#
23.03.20158.24 Mб115Математические методы и модели в экономике.doc
#
23.03.20151.84 Mб36Математический анализ.pdf
#
23.03.2015105.95 Кб10Материал для реферата — копия.docx
#
23.03.201544.71 Кб4материал установочного семинара.docx
#
22.09.20191.01 Mб1Матметоды Рольщиков ЧелГУ ответы на вопросы к э...doc
#
27.11.2019278.53 Кб2МВИ 33-53-2011(золото в концентратах).doc
#
08.03.2016530.54 Кб44Мельникова. Экспериментальная психология.pdf