Математический анализ

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики и информатики

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общему профилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

1.4. Список литературы

а) Основная литература:

1.*Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа [Текст]/ Г.Н. Берман. – СПб.: Изд-во Профессия, 2002. – 384 c.

2.Виноградова, И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу [Текст]/ И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий. –

М.: МГУ, 2005. – 416 c.

3.*Власова, Е.А. Ряды [Текст]/ Е.А. Власова. – М.: Изд-во МГТУ им.

Н.Э. Баумана, 2002. – 616 c.

4.Демидович, Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу [Текст]/ Б.П. Демидович. – СПб: МИФРИЛ, 2003. – 624 c.

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики и информатики

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общему профилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

5.Зорич, В.А. Математический анализ, Т.1,2 [Текст]/ В.А. Зорич. –

М.: МЦНМО, 2002. – 567 c.

6.Ляшко, И.И. Математический анализ в примерах и задачах. Т.1,2 [Текст]/ И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Г.П. Головач. – Киев: Выща шк., 2007. – 680 c.

7.Медведева, Н.Б. Построение графиков функций [Текст]/ Н.Б. Медведева, А.С. Кругляк. – Челябинск: ЧелГУ, 2005. – 40 c.

8.*Свиридюк, Г.А., Федоров В.Е. Математический анализ. Часть I [Текст]/ Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров. – Челябинск: ЧелГУ, 2001.

–165 c.

9.*Свиридюк, Г.А., Кузнецов Г.А. Математический анализ. Часть II [Текст]/ Г.А. Свиридюк, Г.А. Кузнецов. – Челябинск: ЧелГУ, 2001.

–63 c.

10.Свиридюк, Г.А. Математический анализ элементарных функций на прямой [Текст]/ Г.А. Свиридюк. – Челябинск: ЧелГУ, 2002. – 74 c.

11.Тер-Крикоров, А.М. Курс математического анализа [Текст]/ А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 671 c.

12.Ушаков, В.И. Функции многих переменных. Предел, непрерывность, дифференцируемость [Текст]/ В.И. Ушаков, А.В. Кунгурцева, Г.А. Кузнецов. – Челябинск: ЧелГУ, 2002. – 88 c.

13.Федоров, В.Е. Интегрирование функций одной переменной [Текст]/ В.Е. Федоров. – Челябинск: ЧелГУ, 2001. – 40 c.

14.*Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа. Т.1,2 [Текст]/ Г.М. Фихтенгольц. – СПб.: Изд-во Лань, 2002. – 440 c.

б) Дополнительная литература:

1.Ильин, В.А. Основы математического анализа. Т.1,2 [Текст]/ В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – М.: Наука, 1980. – 648 c.

2.Келлер, А.В. Функции нескольких переменных [Текст]/ А.В. Келлер. – Челябинск: ЧелГУ, 1995. – 54 c.

3. *Кудрявцев, Л.Д. Математический анализ. Т.1,2 [Текст]/

Л.Д. Кудрявцев. – М.: Дрофа, 2003. – 414 c.

4.*Никольский, С.М. Курс математического анализа. Т.1,2 [Текст]/ С.М. Никольский. – М.: Наука, 1983. – 592 c.

5.Поволоцкий, А.И. Одномерный математический анализ элементарных функций [Текст]/ А.И. Поволоцкий, Г.А. Свиридюк. – Челябинск: ЧелГУ, 1992. – 87 c.

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики и информатики

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общему профилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

6.Рудин, У. Основы математического анализа [Текст]/ У. Рудин. –

М.: Мир, 1976. – 320 c.

7.Свиридюк, Г.А. Кратные интегралы Римана [Текст]/ Г.А. Свиридюк, Т.В. Апетова. – Челябинск: ЧелГУ, 1991. – 54 c.

8.Свиридюк, Г.А. Алгоритмы поиска экстремумов и условных экстремумов [Текст]/ Г.А. Свиридюк, М.В. Суханова. – Челябинск:

ЧелГУ, 1990. – 54 c.

9.Свиридюк, Г.А. Практикум по нахождению интегралов (замена переменных, интегрирование по частям) [Текст]/ Г.А. Свиридюк, М.В. Суханова. – Челябинск: ЧелГУ, 1990. – 24 c.

10.Свиридюк, Г.А. Практикум по нахождению интегралов (рациональные функции) [Текст]/ Г.А. Свиридюк, М.В. Суханова. – Челябинск: ЧелГУ, 1990. – 24 c.

11.Свиридюк, Г.А. Практикум по нахождению производных [Текст]/ Г.А. Свиридюк, М.В. Суханова. – Челябинск: ЧелГУ, 1990. – 24 c.

12.*Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1-3 [Текст]/ Г.М. Фихтенгольц. – М.: Наука, 1969. –

616 c.

Источники, помеченные *, имеются в библиотеке Троицкого филиала «ЧелГУ»

1.5.Электронная коллекция

1.Кутузов А.С. Числовые ряды/ А.С. Кутузов, С.М. Серебрянский. – Троицк: ТФ “ЧелГУ”, 2010. (Имеется в электронном виде в электронной библиотеке ТФ “ЧелГУ”, по адресу http://elf.ucoz.net).

2.http://serebrianskysm.ucoz.ru/ – персональный сайт преподавателя кафедры математики и информатики Серебрянского С.М., на котором имеются материалы по математическому анализу.

3.Презентации.

4.Конспект лекций.

2.Методические рекомендации преподавателю

Входе освоения дисциплины «Математический анализ» при проведении аудиторных занятий используются методические рекомендации: Иванов, В.А. Общие методические рекомендации для преподавателей по проведению

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики и информатики

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общему профилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

основных видов учебных занятий / В.А. Иванов, Т.А. Комисарова. – Троицк, 2008. – 17 с.

Изучение дисциплины основано на использовании традиционных, интерактивных и исследовательских образовательных технологий. К традиционным образовательным технологиям относятся лекции, практические занятия, самостоятельные работы, контрольные работы. Интерактивные технологии включают себя групповое решение задач, мозговой штурм. Исследовательские технологии включают в себя подготовку индивидуальных заданий. Удельный вес занятий, проводимых в интерактивной форме, составляет примерно 40% от аудиторных занятий.

На занятиях используется электронное сопровождение лекционного и практического материала.

3.Методические рекомендации студенту

3.1.Общие методические указания по изучению дисциплины

Обучение дисциплине «Математический анализ» состоит из 2-х моментов – это обучение алгоритму (или стандартному решению) и обучению поиску, т.е. умению находить правильный метод для решения поставленных задач.

При изучении дисциплины студент должен овладеть основными математическими методами и познакомиться с основным положениями. Для выполнения этой цели студент должен:

–осуществлять конспектирование лекций, чтобы иметь в наличии краткие записи по вопросам программы изучаемого курса.

–в процессе обучения осуществлять тщательную проработку лекций и материал учебника, предусматривающую запоминание основных положений, формулировок, определений, теорем.

–в процессе обучения творчески, напряженно работать на практических занятиях, где алгоритмы решения стандартных задач должны отрабатываться на практике.

–умение поиска, математическая интуиция вырабатывается при решении возможно большого числа задач. Это влечет необходимость решать задачи самостоятельно, в неаудиторных условиях

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики и информатики

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общему профилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

это задание. Все номера задач выделяются для удобства проверки домашнего задания.

4.Для того чтобы решить задачу нужно:

– хорошо прочитать условие задачи;

– подобрать стандартное решение данной задачи;

– записать данные;

– сделать чертеж (если этого требует условие задачи);

– написать решение с подробным объяснением;

– ответ после решения выделить.

5.Проверка в течение семестра домашних (индивидуальных) заданий проводится преподавателем с последующим выставлением баллов.

6.Если студент не может справиться с домашним заданием, то ему необходимо приходить на дополнительные занятия.

4.Требования (критериальные показатели) к уровням освоения программы

Критерии оценки знаний студентов на экзамене по дисциплине «Математический анализ»:

«Отлично» – выставляется студенту в том случае, если он:

–глубоко и правильно усвоил программный материал, последовательно, грамотно и логически стройно его излагает;

–владеет основными математическими методами и алгоритмами решения задач;

–умеет строить математические модели, увязывать теорию с практикой, показывает умение применять знания.

«Хорошо» – выставляется студенту, если:

–он твердо знает программный материал, грамотно и по существу его излагает;

–владеет основными математическими методами;

–не допускает существенных ошибок, но и испытывает затруднения в выводах и доказательствах;

–умеет применять основные положения и формулы для решения задач. «Удовлетворительно» – выставляется студенту в том случае, если он:

–имеет знания только основного материала, но не умеет делать выводов и доказательств;

–допускает ошибки, недостаточно правильные формулировки;

–с трудом увязывает основные положения с практикой.

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики и информатики

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общему профилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

4.Мажоранта, миноранта, максимальный и минимальный элементы, ограниченные сверху и снизу множества, ограниченные множества, точная верхняя и точная нижняя грани. Теоремы о существовании точной нижней и верхней граней.

5.Свойства точных верхней и нижней граней.

6.Индуктивное множество. Множества натуральных, целых, рациональных и иррациональных чисел. Принцип Архимеда и следствия из него.

7.Система вложенных множеств. Теорема Кантора о вложенных отрезках.

8.Покрытие множества. Теорема Гейне-Бореля-Лебега о конечном покрытии.

9.Окрестность точки. Связные и несвязные множества. Критерий связности на числовой прямой.

10.Предельная точка множества, примеры. Теорема БольцаноВейерштрасса о предельной точке.

11.Последовательность действительных чисел. Предел последовательности (два определения). Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Постоянные и финально-постоянные последовательности. Теорема о пределе финально-постоянной последовательности.

12.Теорема о единственности предела последовательности. Необходимое условие сходимости последовательности.

13.Сумма, произведение и частное последовательностей. Теорема о пределе от арифметических операций.

14.Теорема о предельном переходе в неравенствах.

15.Фундаментальные последовательности. Критерий Коши.

16.Монотонные последовательности. Ограниченные последовательности. Критерий Вейерштрасса.

17.Число e. Теорема о существовании числа e.

18.Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса о подпоследовательности. Верхний и нижний пределы последовательности. Критерий сходимости последовательности в терминах верхнего и нижнего пределов.

19.Частичные пределы последовательности. Теорема о верхних и нижних пределах. Теорема о сходящихся подпоследовательностях.

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики и информатики

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общему профилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»

20.Определения предела функции по Коши и по Гейне, их эквивалентность.

21.Теорема об устойчивости строгого неравенства. Теорема о предельном переходе в нестрогом неравенстве. Теорема о единственности предела. Теорема о двух милиционерах.

22.Бесконечно малая функция. Теорема о сумме бесконечно малых. Ограниченные, ограниченные сверху и снизу функции. Финаль- но-ограниченные функции. Теорема о произведении бесконечно малой на финально-ограниченную. Постоянные функции, фи- нально-постоянные функции.

23.Теорема о простейших пределах. Теорема об эквивалентных определениях предела в терминах бесконечно малых. Необходимое условие существования предела.

24.Сумма, произведение и частное функций. Теоремы о пределе суммы, произведения, частного функций. Теорема о пределе сложной функции.

25.База множеств. База проколотых окрестностей. Предел по базе. Окрестность , окрестность , окрестность . Пределы по базам x , x , x . Теорема об односторонних пределах бесконечности. Фундаментальные функции. Теоремы о фундаментальности сходящейся функции и о финальной ограниченности фундаментальной функции.

26.Критерий Коши существования предела функции.

27.Монотонные функции. Правая и левая полуокрестности. Пределы слева и справа. Теорема о существовании предела монотонной функции.

28.Непрерывная в точке функция (два определения и их эквивалентность). Непрерывная на множестве функция. Локальные свойства непрерывных функций.

29.Достаточное условие непрерывности монотонной функции. Теорема о непрерывности элементарных функций.

30.Первый и второй замечательные пределы.

31.Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении и следствие из нее.

32.Теоремы Вейерштрасса об ограниченности и наибольшем и наименьшем значениях.

ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»