Математический анализ

Версия документа - 1

стр. 11 из 61

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

Версия документа - 1

стр. 12 из 61

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

Номер

Наименование раз-

Семестр

Объем в часах по видам учебной работы

Формы контроля успевае-

раздела

дела дисциплины

Всего

Л

ПЗ

СРС

мости

Вещественные

Проверка домашних зада-

1.

1

28

8

8

12

ний, опрос, контрольная

числа

работа

Предел числовой

Проверка домашних зада-

2.

последовательно-

1

50

12

10

28

ний, опрос, контрольная

сти

работа

Версия документа - 1

стр. 13 из 61

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

Предел

и непре-

Проверка домашних зада-

3.

рывность

функции

1

68

20

16

32

ний, опрос, контрольная

одной переменной

работа

Дифференцирова-

Проверка домашних зада-

4.

ние функций одной

1

64

18

14

32

ний, опрос, контрольная

переменной

работа

Интегрирование

Проверка домашних зада-

5.

функций

одной

1

58

6

18

34

ний, опрос, контрольная

переменной

работа

Исследование

Проверка домашних зада-

функции

и

по-

6.

1

26

8

6

12

ний, опрос, контрольная

строение ее графи-

работа

ка

Определенный

Проверка домашних зада-

7.

2

54

18

12

24

ний, опрос, контрольная

интеграл Римана

работа

Приложения

и

Проверка домашних зада-

приближенные

8.

2

28

4

6

18

ний, опрос, самостоятель-

вычисления

инте-

ная работа

грала Римана

Предел последова-

тельности в

En

и

Проверка домашних зада-

9.

предел

функции

2

30

12

8

10

ний, опрос, контрольная

нескольких

пере-

работа

менных

Дифференцирова-

Проверка домашних зада-

ние

функций

не-

10.

2

36

10

12

14

ний, опрос, контрольная

скольких

перемен-

работа

ных

Неявные

функции,

Проверка домашних зада-

зависимость

и

не-

11.

2

24

10

6

8

ний, опрос, самостоятель-

зависимость

функ-

ная работа

ций

Локальный

экс-

тремум (условный

Проверка домашних зада-

12.

и

безусловный)

2

26

6

8

12

ний, опрос, контрольная

функции

несколь-

работа

ких переменных

13.

Числовые ряды

2

48

10

14

24

Проверка домашних зада-

ний, контрольная работа

Бесконечные

про-

Проверка домашних зада-

изведения,

двой-

14.

2

14

2

6

6

ний, опрос, самостоятель-

ные

и повторные

ная работа

ряды

Кратные

интегра-

Проверка домашних зада-

15.

3

54

18

14

22

ний, опрос, контрольная

лы Римана

работа

Версия документа - 1

стр. 14 из 61

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

Проверка домашних зада-

16.

Поверхностные

3

52

12

18

22

ний, опрос, самостоятель-

интегралы Римана

ная работа, контрольная

работа

Равномерная

схо-

димость

функцио-

Проверка домашних зада-

17.

нальных

последо-

3

46

14

12

20

ний, опрос, контрольная

вательностей

и

работа

рядов

Тригонометриче-

Проверка домашних зада-

18.

3

48

14

14

20

ний, опрос, контрольная

ские ряды

работа

Интегралы,

зави-

Проверка домашних зада-

19.

сящие от парамет-

3

38

14

14

10

ний, опрос, контрольная

ра

работа

Итого

792

216

216

360

Тема лекции

Содержание

Количество

часов

Вводная лекция

Предмет математического анализа. Естествознание как источник основных

1

понятий математического анализа.

Элементы теории

Множество, операции над множествами, числовые множества, натуральные,

2

множеств

целые, рациональные числа. Необходимость расширения множества рацио-

нальных чисел.

Вещественные

Вещественное число как бесконечная десятичная дробь. Понятие о числовой

3

оси. Сравнение вещественных чисел. Существование точных граней у ограни-

числа

ченных числовых множеств. Арифметика вещественных чисел.

Счетные

множе-

Понятие счётных и несчётных бесконечных множеств, их неэквивалентность.

ства.

Полнота

Несчётность множества вещественных чисел. Понятие о полноте числового

2

множества дейст-

множества относительно заданных правил и свойств. Полнота множества ве-

вительных чисел

щественных чисел.

Числовые

после-

довательности.

Понятие о числовой последовательности. Ограниченные, неограниченные,

Понятие

предела

бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Предел после-

2

числовой

после-

довательности.

довательности

Свойства предела

Свойства сходящихся числовых последовательностей. Критерий Коши сходи-

последовательно-

мости последовательности. Сходимость монотонных последовательностей.

5

сти.

Критерии

Число “e” как предел монотонной последовательности.

сходимости

Версия документа - 1

стр. 15 из 61

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

Частичные

пре-

Предельные точки (частичные пределы) последовательности и предельные

точки числового множества. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существова-

делы

последова-

нии частичного предела у ограниченной последовательности. Теорема о су-

5

тельности

ществовании верхнего и нижнего пределов у числовой последовательности.

Отображения множеств, в том числе взаимно-однозначные. Понятие о функ-

ции как однозначном отображении числовых множеств. Способы задания

Функция. Предел

функций. Предел (предельное значение) функции в точке – определения по

3

функции

Коши и по Гейне и их эквивалентность. Односторонние пределы. Расширен-

ная числовая ось. Пределы функций в бесконечно удалённых точках и беско-

нечные пределы.

Свойства функций, имеющих (конечные) пределы. Критерий Коши сущест-

Свойства предела

вования предела функции. Ограниченные, неограниченные, бесконечно ма-

8

функции

лые, бесконечно большие функции. Асимптотическое сравнение функций.

Символы о-малое, О-большое.

Непрерывные

Понятие о непрерывности функции в точке. Точки разрыва функции и их

функции

и

их

классификация. Суперпозиция функций (сложная функция). Непрерывность

2

локальные

свой-

суперпозиции непрерывных функций. Локальные свойства непрерывных

ства

функций.

Глобальные свой-

Непрерывность функции на множестве. Свойства функций, непрерывных на

замкнутом отрезке. 2 теоремы Вейерштрасса. Понятие о равномерной непре-

ства

непрерыв-

рывности функции на множестве. Теорема Кантора о равномерной непрерыв-

3

ных функций

ности функции на замкнутом отрезке.

Монотонные

Монотонные функции. Понятие об обратной функции. Существование одно-

функции.

Эле-

сторонних пределов у монотонных функций. Условия существования и не-

4

ментарные функ-

прерывности обратной функции. Первый и второй замечательные пределы.

ции

Основные свойства простейших элементарных функций и их непрерывность.

Понятие

произ-

Производная функции в точке, её геометрический и физический смысл. По-

водной и диффе-

нятие дифференцируемости функции в точке и существование производной.

4

ренциала

функ-

Первый дифференциал функции. Связь дифференцируемости и непрерывно-

ции

сти функции в точке.

Производные и дифференциалы суммы, произведения, частного двух функ-

ций. Производная сложной функции и инвариантность формы записи первого

Правила

диффе-

дифференциала. Производная обратной функции и функции, заданной пара-

5

ренцирования

метрически. Производные простейших элементарных функций. Формула

Лейбница. Примеры производных высших порядков простейших элементар-

ных функций.

Исследование

Возрастание и убывание функции в точке. Локальный экстремум функции.

функции

на

мо-

Необходимое условие существования локального экстремума дифференци-

4

нотонность

и

руемой функции. Критерий нестрогой и достаточное условие строгой моно-

экстремумы

тонности дифференцируемой функции.

Основные

теоре-

Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Следствия из теоремы Лагранжа. Правила

Лопиталя раскрытия неопределённостей. Формула Тейлора. Выражение оста-

мы дифференци-

точного члена в формуле Тейлора в общей форме Шлёмильха-Роша, а также в

5

ального

исчисле-

формах Лагранжа, Коши и Пеано. Формула Маклорена. Примеры разложения

ния

по формуле Тейлора-Маклорена элементарных функций.

Версия документа - 1

стр. 16 из 61

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

Понятие

о

неоп-

Понятие первообразной функции. Связь операций дифференцирования и ин-

ределенном

ин-

тегрирования. Основные методы вычисления неопределённого интеграла: ме-

2

тегрировании

тод подстановки (замена переменной), интегрирование по частям.

Интегрирование рациональной функции путём разложения её в сумму про-

Методы

неопре-

стейших дробей. Интегрирование некоторых иррациональных выражений –

деленного интег-

подстановки Эйлера, тригонометрические и другие подстановки. Интегриро-

4

рирования

вание тригонометрических функций – универсальная тригонометрическая

подстановка, другие подстановки.

Достаточные ус-

Достаточные условия существования локального экстремума функции. Крае-

ловия

экстрему-

вые экстремумы. Общая схема отыскания наибольшего (наименьшего) значе-

2

мов функции

ния функции на замкнутом отрезке.

Направление выпуклости графика функции. Достаточные условия выпуклости

Точки перегиба и

вверх (вниз) графика функции. Понятие точки перегиба графика функции.

Достаточные условия существования перегиба графика функции. Вертикаль-

6

асимптоты.

ные и наклонные асимптоты графика функции, их отыскание. Общая схема

исследования функции и построения её графика.

Понятие

опреде-

Разбиение отрезка. Размеченное разбиение. Интегральная сумма функции по

ленного

интегра-

данному размеченному разбиению. Определённый интеграл как предел инте-

ла Римана и кри-

гральных сумм. Суммы Дарбу и их свойства. Интегралы Дарбу. Критерии ин-

6

терии

интегри-

тегрируемости функции на отрезке в терминах сумм Дарбу и в терминах инте-

руемости

гралов Дарбу.

Классы

интегри-

Основные классы интегрируемых функций – непрерывные, монотонные, ку-

сочно-непрерывные функции. Свойства определённых интегралов. Формула

руемых

функций

и свойства

инте-

Ньютона-Лейбница. Существование первообразной у непрерывной функции.

6

грала Римана

Первая и вторая теоремы о среднем значении определённого интеграла. Заме-

на переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.

Понятие о несобственных интегралах первого и второго рода. Критерий Коши

сходимости несобственного интеграла. Замена переменной и интегрирование

Несобственный

по частям несобственного интеграла. Понятие об абсолютной и условной схо-

6

интеграл Римана

димости несобственного интеграла первого рода. Признаки сходимости не-

собственных интегралов первого рода: признаки сравнения, признак Абеля-

Дирихле. Связь несобственных интегралов первого и второго рода.

Геометрические

Способы задания кривых на плоскости и в пространстве. Простые и парамет-

ризуемые кривые. Длина дуги спрямляемой кривой. Квадрируемая плоская

приложения

оп-

фигура и её площадь. Кубируемое пространственное тело и его объём. Вы-

2

ределенного

ин-

числение площадей плоских фигур, объёмов тел вращения, площадей поверх-

теграла

ностей вращения.

Методы

отыска-

ния корней урав-

Методы отыскания корней уравнений: метод последовательных приближений,

нений

и

вычис-

метод хорд, метод касательных (Ньютона). Приближённое вычисление опре-

ления

прибли-

делённых интегралов Римана: метод прямоугольников, метод трапеций, метод

2

женных значений

Симпсона. Оценки погрешностей.

определенных

интегралов

Понятие

евкли-

Евклидово пространство En, скалярное произведение в нём. Норма элемента и

дова пространст-

ва и предела по-

её свойства. Метрика в пространстве En. Сходящиеся последовательности в En

2

следовательности

и их свойства. Критерий Коши сходимости последовательности в En.

его элементов

Версия документа - 1

стр. 17 из 61

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

Множества в евк-

Шар, сфера в En, окрестности точки, ограниченные и неограниченные, откры-

лидовых

про-

тые и замкнутые множества. Кривая в En. Понятие области в En. Предельные

3

странствах и час-

точки множества в En. Частичные пределы (предельные точки) последова-

тичные пределы

тельностей. Теорема Больцано-Вейерштрасса для последовательностей в En.

Предел

функции

Функция нескольких переменных, её область определения, область значений.

Понятия предела (предельного значения) функции нескольких переменных по

нескольких пере-

3

Коши и по Гейне и их эквивалентность. Критерий Коши существования пре-

менных

дела функции нескольких переменных.

Непрерывность функции нескольких переменных в точке. Локальные свойст-

Непрерывность

ва непрерывных функций. Понятие сложной функции нескольких перемен-

функции

не-

ных, условия её непрерывности. Непрерывность функции нескольких пере-

4

скольких

пере-

менных в замкнутой области. 2 теоремы Вейерштрасса. Понятие равномерной

менных

непрерывности функции на множестве. Теорема Кантора для функции не-

скольких переменных.

Понятие

о

диф-

Частные производные. Понятие дифференцируемости функции и связь с су-

ференцировании

ществованием частных производных. Первый дифференциал функции не-

функций

не-

2

скольких переменных. Геометрический смысл дифференцируемости функции

скольких

пере-

двух переменных.

менных

Дифференциал

Дифференцируемость сложных функций и инвариантность формы записи

функции

не-

первого дифференциала. Производная по направлению. Градиент функции,

4

скольких

пере-

его геометрический смысл. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

менных

уровня функции. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Основные

теоре-

мы

дифференци-

Условия равенства смешанных частных производных. Формула Тейлора. Вы-

ального

исчисле-

ражение остаточного члена формулы Тейлора в форме Лагранжа, в инте-

4

ния функций не-

гральной форме, в форме Пеано.

скольких

пере-

менных

Неявные

функ-

Понятие неявной функции, определяемой функциональным уравнением. Ло-

ции,

определяе-

кальная теорема о существовании и единственности непрерывной и диффе-

4

мые одним урав-

ренцируемой неявной функции. Вычисление частных производных второго

нением

порядка от неявной функции.

Неявные

функ-

Система неявных функций, определяемая системой функциональных уравне-

ции,

определяе-

ний. Локальная теорема о существовании и единственности системы диффе-

4

мые

системой

ренцируемых неявных функций, определяемых системой функциональных

уравнений

уравнений. Вычисление частных производных системы неявных функций.

Зависимые и не-

Зависимость и независимость системы функций. Достаточные условия неза-

висимости системы функций. Функциональные матрицы (матрицы частных

зависимые

сис-

производных системы функций) и их применение для определения зависимо-

2

темы функций

сти и независимости входящих в систему функций.

Локальные

экс-

Понятие локального экстремума функции нескольких переменных. Необхо-

тремумы

функ-

димые условия локального экстремума. Достаточные условия существования

2

ции

нескольких

локального экстремума. Случай функции двух переменных.

переменных

Версия документа - 1

стр. 18 из 61

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

Понятие условного экстремума функции нескольких переменных при наличии

системы условий связи. Необходимые условия существования условного ло-

Условный

экс-

кального экстремума. Метод Лагранжа отыскания условного локального экс-

тремума. Интерпретация необходимых условий существования условного ло-

4

тремум

кального экстремума по методу Лагранжа. Достаточные условия условного

локального экстремума. Общая схема отыскания наибольшего (наименьшего)

значения функции нескольких переменных в замкнутой области.

Понятие

и

про-

Понятие числового ряда. Частичная сумма, остаток, сходимость. Критерий

стейшие свойства

Коши сходимости числового ряда. Необходимый признак сходимости число-

1

числовых рядов

вого ряда.

Признаки

сходи-

Признаки сравнения (общие и специальные) сходимости знакоположительных

рядов. Признак сравнения отношений. Гармонический ряд. Обобщённый гар-

мости

для знако

монический ряд (ряд Дирихле). Признаки сходимости Даламбера и Коши, их

4

положительных

сравнение между собой. Интегральный признак Коши-Маклорена.

Признак

рядов

Раабе. Отсутствие универсального признака сходимости.

Понятие абсолютной и условной сходимости числового ряда. Теорема Коши и

Произвольные

теорема Римана о перестановке членов абсолютно и условно сходящихся чи-

словых рядов. Первый и второй признаки сходимости Абеля. Признак Дирих-

5

числовые ряды

ле-Абеля. Признак Лейбница. Условная сходимость ряда Лейбница. Арифме-

тические операции над сходящимися рядами.

Понятие бесконечного произведения. Сходимость и расходимость бесконеч-

Бесконечные про-

ного произведения. Необходимый признак сходимости бесконечного произве-

1

изведения

дения. Связь с рядами, критерий сходимости бесконечного произведения. Не-

которые примеры бесконечных произведений.

Понятие о двойных и повторных рядах. Необходимый признак сходимости

Двойные

и

по-

двойного ряда. Абсолютная и условная сходимость. Условия одновременной

1

вторные ряды

абсолютной сходимости двойного и связанных с ним повторных и обычных

(одинарных) рядов. Некоторые примеры двойных и повторных рядов.

Мера Жордана

Определение и свойства меры Жордана.

4

Кратный

инте-

Определение кратного интеграла Римана. Его свойства. Сведение кратного

6

грал Римана

интеграла к повторному.

Критерий Лебега

Критерий Лебега интегрируемости по Риману. Интеграл по множеству меры

4

нуль.

Замена

перемен-

Определение и свойства диффеоморфизмов. Замена переменных в кратном

2

ных в

кратном

интеграле.

интеграле

Несобственный

Определение несобственного кратного интеграла. Несобственные

кратные

интегралы от неотрицательных функций. Несобственные кратные интегралы

2

кратный интеграл

от знакопеременных функций.

Криволинейные

Гладкая кривая, ориентированная кривая. Криволинейный интеграл первого и

интегралы перво-

второго рода. Теорема Грина. Связь между криволинейными интегралами

2

го и второго рода

первого и второго рода, их применение.

Поверхностные

Поверхности в конечномерном пространстве. Определение и свойства матри-

цы Грама. Поверхностный интеграл первого рода. Дифференциальные формы.

интегралы перво-

4

Ориентированные поверхности. Определение и свойства поверхностного ин-

го и второго рода

теграла второго рода.

Версия документа - 1

стр. 19 из 61

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

Связь между по-

Переход от поверхностного интеграла первого рода к поверхностному инте-

гралу второго рода. Переход от поверхностного интеграла второго рода к по-

6

верхностными

верхностному интегралу первого рода. Обобщенная формула Стокса. Следст-

интегралами

вия из нее. Элементы векторного анализа.

Функциональные

Поточечная и равномерная сходимость функциональных последовательно-

стей. Поточечная и равномерная сходимость функциональных рядов. Равно-

последовательно-

10

мерная сходимость и непрерывность. Равномерная сходимость и интегриро-

сти и ряды

вание. Равномерная сходимость и дифференцируемость.

Степенные ряды

Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара.

4

Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора. Аналитические функции. Прибли-

жение непрерывных функций многочленами.

Тригонометриче-

Определение тригонометрического ряда. Ряды Фурье. Принцип локализации.

Поточечная сходимость тригонометрических рядов. Равномерная сходимость

14

ские ряды Фурье

средних арифметических.

Собственные ин-

Непрерывность и интегрируемость собственного интеграла с параметром.

тегралы, завися-

Дифференцирование собственного интеграла с параметром.

4

щие от параметра

Несобственные

Равномерная сходимость несобственных интегралов с параметром. Непре-

интегралы,

зави-

рывность несобственных интегралов с параметром. Интегрируемость и диф-

10

сящие от

пара-

ференцируемость несобственных интегралов с параметром. Эйлеровы инте-

метра.

гралы.

Итого:

216

Литера-

тура

(ссылка

Номер

Номер

Наименование и краткое содержание

Количество

на ис-

Цель и характер занятия

точник

ПЗ

раздела

занятия

часов

из списка

основной

литера-

туры)

Вводное занятие. Элементы математи-

Научиться строить таблицы

1

1

истинности.

Совместное

2

[8]

ческой логики.

решение задач.

Освоить

решение задач на

2

1

Множества и отображения. Операции

множества, их свойства,

2

[8]

с множествами, виды отображений.

распознавать виды

отобра-

жений. Совместное решение

задач.

Освоить

один

из

самых

3

1

Метод математической индукции.

мощных методов математи-

2

[8]

ческого доказательства. Со-

вместное решение задач.

Версия документа - 1

стр. 20 из 61

Первый экземпляр __________

КОПИЯ № _____

4

1

Контрольная работа №1.

2

Научиться

решать

задачи

Предел числовой последовательности.

вычисления

предела

число-

вой

последовательности,

5

2

Понятие предела числовой последова-

используя

определение Ко-

2

[4], [14]

тельности, критерий Коши.

ши и Гейне. Совместное

решение задач.

Предел числовой последовательности.

Научиться решать задачи на

6

2

сходимость

последователь-

2

[4], [14]

Сходимость

последовательностей и

ностей. Совместное решение

свойства предела последовательности.

задач.

Предел числовой последовательности.

Научиться находить частич-

ные, верхние и нижние пре-

7

2

Частичные пределы, верхние и нижние

делы

последовательности.

2

[4], [14]

пределы последовательностей, число е.

Совместное решение задач.

Научиться

решать

задачи

Предел числовой последовательности.

нахождения предела число-

8

2

Вычисление

пределов последователь-

вой

последовательности

2

[4], [14]

ности.

различными приемами. Со-

вместное решение задач.

9

2

Контрольная работа №2.

2

Повторить школьные сведе-

Элементарные функции и их графики.

ния о графиках функций и

10

3

Построение эскизов графиков элемен-

исследовать

более сложные

2

[4], [14]

тарных функций.

функции. Совместное реше-

ние задач.

Предел функции одной переменной.

Научиться

решать

задачи

связанные

с

вычислением

11

3

Свойства предела функции, вычисление

простых пределов функции.

2

[4], [14]

простых пределов функции.

Совместное решение задач.

Предел функции одной переменной.

Исследовать

бесконечно

большие и бесконечно ма-

12

3

Бесконечно большие и бесконечно ма-

лые

функции.

Совместное

2

[4], [14]

лые функции.

решение задач.

Предел функции одной переменной.

Научиться решать задачи на

вычисление

предела

функ-

13

3

Вычисление предела функции в случае

ции

в

случае

неопределен-

2

[4], [14]

неопределенности.

ности.

Совместное решение

задач.

Научиться решать задачи на

Предел функции одной переменной.

вычисление

предела

функ-

14

3

Вычисление предела функции в случае

ции

в

случае

неопределен-

2

[4], [14]

неопределенности.

ности.

Совместное решение

задач.

Предел функции одной переменной. За-

Изучить

свойства

замеча-

тельных пределов и эквива-

15

3

мечательные пределы и эквивалентные

лентных функций. Совмест-

2

[4], [14]

функции.

ное решение задач.