Математический анализ
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общему профилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 41 из 61 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
33.Равномерно непрерывные функции. Отличие равномерной непрерывности от непрерывности. Теорема кантора о равномерной непрерывности.
34.Эквивалентные функции. Теорема об основных эквивалентностях при x 0.
35.Бесконечно малые по сравнению. Символы o и O. Бесконечно малые более высокого порядка. Бесконечно большие, бесконечно большие более высокого порядка. Функции одного порядка. Свойства o и O.
36.Теоремы о сравнении роста степенной и показательной функций и о сравнении роста степенной и логарифмической функций.
37.Точки разрыва. Точка устранимого разрыва. Точки разрыва первого и второго рода. Примеры.
38.Критерий инъективности. Теорема о существовании обратной функции. Теорема о точках разрыва монотонной функции.
39.Свойства точек разрыва монотонной функции. Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема об обратной функции.
40.Верхний и нижний пределы функции. Теорема о существовании верхнего и нижнего пределов, критерий существования предела функции в терминах верхнего и нижнего пределов. Критерий Коши существования предела функции.
41.Дифференцируемая функция. Дифференциал и производная. Необходимое условие дифференцируемости.
42.Теоремы о дифференцировании суммы, произведения, частного, сложной функции, обратной функции, функции, заданной параметрически.
43.Теорема о производных элементарных функций.
44.Точки экстремума. Внутренний экстремум. Теорема Ферма. Теорема Роля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Критерий постоянства.
45.Старшие производные. Теорема Тейлора. Ряд Тейлора.
46.Критерий монотонности. Достаточные условия экстремума в терминах первой производной. Достаточные условия экстремума в терминах высших производных.
47.Касательная к графику функции. Выпуклые функции. Достаточное условие выпуклости. Точки перегиба. Необходимое условие перегиба.
48.Свойства выпуклых функций.
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общему профилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 42 из 61 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
49.Правило Лопиталя. Асимптоты. Теорема о коэффициентах асимптоты.
50.Первообразная. Основное свойство первообразной. Неопределенный интеграл. Теорема о первообразных основных элементарных функций. Основные правила интегрирования.
5.3.2.Второй семестр
51.Разбиение отрезка, отмеченные точки, диаметр разбиения, интегральная сумма, интеграл Римана, интегрируемая функция.
52.Теоремы об интеграле суммы, о вынесении постоянного множителя, об интегрировании неравенств.
53.Необходимое условие интегрируемости.
54.Верхняя и нижняя суммы Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу. Свойства сумм Дарбу.
55.Теорема Дарбу.
56.Критерий Дарбу.
57.Колебание функции. Критерий интегрируемости в терминах колебаний.
58.Теоремы об интегрируемости модуля и произведения.
59.Теоремы об интегрируемости непрерывной и монотонной функции.
60.Теорема об интеграле от единицы. Теорема об интегрируемости на меньшем отрезке.
61.Теорема об аддитивности интеграла. Теорема о перестановке пределов интегрирования. Теорема о среднем.
62.Интеграл с переменным верхним пределом, его непрерывность и дифференцируемость.
63.Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.
64.Понятие несобственного интеграла Римана с единственной особенностью, его сходимость. Несобственные интегралы с особенностью внутри промежутка интегрирования и на обоих его концах. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла.
65.Линейность и аддитивность несобственного интеграла.
66.Замена переменной и интегрирование по частям в несобственном интеграле.
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общему профилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 43 из 61 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
67.Абсолютная сходимость несобственного интеграла. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося интеграла. Критерий Вейерштрасса.
68.Интегральный признак сходимости ряда.
69.Признаки сравнения для несобственных интегралов.
70.Условная сходимость несобственного интеграла. Признак АбеляДирихле.
71.Понятие пространства En, точка (вектор) пространства En, их координаты. Операции в пространстве En. Примеры.
72.-окрестность в пространстве En. Шар в пространстве En. Открытые и замкнутые множества в En. Дополнение к множеству. Примеры.
73.Свойства открытых и замкнутых множеств в En.
74.Понятие окрестности точки в En. Виды точек в пространстве En. Границы и предельные точки множеств в En. Примеры. Критерий замкнутости.
75.Замыкание множества. Теорема о замкнутости замыкания.
76.Компактные множества в En. Диаметр множества. Ограниченное множество в En. Теорема об ограниченности компакта.
77.Теорема о замкнутости компакта.
78.Теорема о замкнутом подмножестве компакта.
79.Параллелепипед в En. Критерий компактности в En.
80.Теорема о предельной точке множества в En.
81.Предел функции в En: определение в терминах окрестностей и в терминах расстояний. Понятие ограниченной функции. Понятие финально ограниченной функции. Теорема о покоординатной сходимости. Понятие бесконечных пределов. Кратные и повторные пределы.
82.Последовательности в En. Фундаментальные последовательности в En. Критерий Коши сходимости последовательности в En.
83.Колебание функции на множестве в En. Фундаментальная функция. Критерий Коши существования предела функции в En. Критерий Коши в терминах колебаний.
84.Понятие непрерывной функции в точке и на множестве. Теорема Вейерштрасса об ограниченности.
85.Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значении.
86.Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общему профилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 44 из 61 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
87.Критерий глобальной непрерывности. Теорема об образе компакта.
88.Связное множество в En. Теорема об образе связного множества. Кривая в пространстве En. Линейно-связные множества в En. Теорема о линейной связности. Примеры.
89.Понятие области в En, примеры. Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении.
90.Понятие линейного пространства. Понятие нормы. Понятие бесконечно малой функции. Понятие бесконечно малой по сравнению функции. Свойства асимптотического поведения функций.
91.Критерий предела в терминах бесконечно малых. Предел и непрерывность арифметических операций. Понятие линейного ограниченного оператора, примеры.
92.Понятие дифференцируемости в En. Понятие производной. Необходимое условие дифференцируемости.
93.Частные производные. Матрица Якоби. Теорема о матрице Якоби. Пример функции, у которой есть матрица Якоби, но которая не является дифференцируемой.
94.Теоремы о производной линейного отображения, суммы и произведения.
95.Теоремы о производной частного и сложной функции. Теорема о частных производных сложной функции.
96.Понятие градиента. Понятие производной по вектору и по направлению. Свойства производной по направлению и градиента.
97.Достаточное условие дифференцируемости.
98.Теорема Лагранжа для функции многих переменных. Частные производные высших порядков. Теорема о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования. Пример возможного неравенства смешанных частных производных.
99.Производные высших порядков. Теорема о матрице второй производной.
100.Теорема Тейлора.
101.Понятие точек локального экстремума функции многих переменных. Необходимое условие локального экстремума. Понятие критической и стационарной точек. Понятие положительно определенной производной, отрицательно определенной производ-
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общему профилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 45 из 61 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
ной, знакопеременной производной. Достаточное условие экстремума функции многих переменных.
102.График функции многих переменных. Касательная плоскость. Вектор нормали. Примеры.
103.Задача о неявной функции. Теорема о существовании неявной функции в случае одного уравнения.
104.Теорема о непрерывности неявной функции в случае одного уравнения.
105.Теорема о дифференцировании неявной функции в случае одного уравнения.
106.Теорема о старших производных неявной функции в случае одного уравнения.
107.Теорема о неявной функции для системы уравнений.
108.Теорема о производной неявной функции для системы уравнений.
109.Теорема об обратной функции.
110.Понятие диффеоморфизма и локального диффеоморфизма. Теорема о разложении диффеоморфизма в композицию простейших.
111.Система криволинейных координат. Локальная система криволинейных координат. Ранг отображения. Теорема о ранге.
112.Задача на условный экстремум. Понятие точки условного экстремума. Функция Лагранжа. Необходимое условие условного экстремума.
113.Достаточное условие условного экстремума.
114.Числовой ряд, его частичная сумма. Сумма ряда. Сходящийся и расходящийся ряд. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Линейность сходящихся рядов. Абсолютно и условно сходящийся ряд. Остаток ряда. Теорема об остатке сходящегося ряда.
115.Критерий Вейерштрасса сходимости ряда с неотрицательными членами. Первый и второй признаки сравнения.
116.Признак разрежения Коши. Теорема об обобщенном гармоническом ряде. Мажорантный признак Вейерштрасса.
117.Признак Коши.
118.Признак Даламбера.
119.Неравенство Абеля. Признак Абеля. Признак Дирихле. Признак Лейбница.
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общему профилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 46 из 61 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
120.Теорема о рядах из положительных и отрицательных слагаемых абсолютно сходящегося ряда. Теорема о перестановке слагаемых абсолютно сходящегося ряда.
121.Теорема о рядах из положительных и отрицательных слагаемых условно сходящегося ряда. Теорема Римана о перестановке слагаемых условно сходящегося ряда.
5.3.3.Третий семестр
122.Параллелепипед в En, его объем, разбиение параллелепипеда, диаметр разбиения, разбиение с отмеченными точками, интегральная сумма, кратный интеграл Римана. Необходимое условие интегрируемости.
123.Верхняя и нижняя суммы Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу. Связь интегральной суммы и сумм Дарбу. Свойства сумм Дарбу.
124.Теорема Дарбу. Критерий Дарбу.
125.Первый критерий интегрируемости в терминах колебаний. Теорема об интегрируемости непрерывной функции.
126.Простейшие свойства интеграла по параллелепипеду. Теорема об интегрируемости модуля. Теорема об интегрируемости произведения.
127.Теорема о среднем для параллелепипеда.
128.Теорема Фубини для параллелепипеда.
129.Понятие открытого параллелепипеда. Понятие множества меры нуль в смысле Лебега. Свойства множеств меры нуль.
130.Теорема о нулевой мере графика. Допустимые множества. Свойства, выполненные почти всюду.
131.Колебание функции в точке. Критерий непрерывности в терминах колебаний. Второй критерий интегрируемости в терминах колебаний.
132.Критерий Лебега интегрируемости по Риману на параллелепипеде.
133.Теорема об интегрируемости сложной функции. Теорема о нулевых интегралах.
134.Нижняя и верхняя мера Жордана. Измеримое по Жордану множество. Мера Жордана. Множества меры нуль в смысле Жорда-
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общему профилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 47 из 61 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
на. Продолжение функции нулем. Интеграл по множеству. Теорема о связи меры Жордана и интеграла Римана.
135.Свойства измеримых множеств и меры Жордана. Свойства интеграла по множеству.
136.Аддитивность интеграла по множеству.
137.Критерий Лебега интегрируемости на множестве. Теорема об интеграле по множеству Жордановой меры 0.
138.Теорема Фубини для множеств.
139.Якобиан. Теорема о замене переменных в кратном интеграле.
140.Исчерпания. Свойства исчерпаний.
141.Несобственный кратный интеграл. Теорема о независимости несобственного интеграла от выбора исчерпания.
142.Интеграл Эйлера-Пуассона. Мажорантный признак сходимости. Теорема о некоторых интегралах сравнения.
143.Гладкая кривая, ориентированная кривая, параметризация, согласованная с ориентацией кривой, вектор скорости, длина кривой, натуральный параметр кривой, касательный вектор кривой криволинейные интегралы I и II рода, связь между ними.
144.Теорема Грина.
145.Теорема о вычислении площади с помощью криволинейного интеграла. Теорема о вычислении площади сектора в полярных координатах.
146.Ориентированная поверхность. Поверхностный интеграл II рода. Теорема Гаусса-Остроградского.
147.Классическая формула Стокса.
148.Поверхностный интеграл I рода. Теоремы о вычислении поверхностного интеграла I рода. Связь между поверхностными интегралами I и II рода.
149.Векторное поле, скалярное поле, градиент, ротор и дивергенция. Теорема о повторных дифференциальных операциях.
150.Потенциал. Теорема о роторе потенциального поля. Работа векторного поля. Теорема о работе потенциального поля.
151.Циркуляция, теорема о циркуляции потенциального поля, достаточное условие потенциальности векторного поля.
152.Поток векторного поля через поверхность. Теорема о потоке векторного поля через поверхность. Теорема о потоке ротора векторного поля. Оператор Гамильтона. Оператор Лапласа. Векторный потенциал. Соленоидальное поле.
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общему профилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 48 из 61 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
153.Поточечная и равномерная сходимость функций. Их отличие. Примеры. Равномерно фундаментальные функции. Критерий Коши равномерной сходимости отображений.
154.Равномерно сходящиеся ряды. Критерий Коши равномерной сходимости рядов. Необходимое условие равномерной сходимости ряда.
155.Абсолютно сходящиеся ряды. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости рядов.
156.Признак Дирихле равномерной сходимости рядов. Признак Абеля равномерной сходимости рядов.
157.Теорема о коммутативности двух предельных переходов.
158.Теорема о предельном переходе под знаком суммы ряда. Теорема
онепрерывности предельной функции. Теорема о непрерывности суммы ряда.
159.Теорема о дифференцируемости предельной функции.
160.Теорема о дифференцируемости суммы ряда.
161.Теорема о предельном переходе под знаком интеграла Римана.
162.Теорема об интегрируемости суммы ряда.
163.Теорема Дини для отображений. Теорема Дини для рядов.
164.Степенной ряд. Его радиус сходимости. Теорема Коши-Адамара.
165.Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Вторая теорема Абеля.
166.Теорема о непрерывности и интегрируемости степенного ряда.
167.Теорема о дифференцируемости степенного ряда.
168.Собственный интеграл Римана, зависящий от параметра. Теорема
онепрерывности интеграла Римана.
169.Теорема о дифференцируемости интеграла Римана.
170.Теорема о перестановке двух интегралов Римана.
171.Несобственный интеграл Римана, зависящий от параметра, его равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственных интегралов.
172.Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости несобственных интегралов.
173.Теорема о предельном переходе под знаком несобственного интеграла. Теорема о непрерывности несобственного интеграла.
174.Теорема Дини для несобственных интегралов.
175.Теорема о дифференцируемости несобственного интеграла.
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общему профилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 49 из 61 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
176.Теорема о перестановке интеграла Римана и несобственного интеграла. Теорема о перестановке двух несобственных интегралов.
177.Теорема об интеграле Эйлера-Пуассона. Теорема об интеграле Дирихле.
178.Эйлеровы интегралы первого и второго рода. Область определения Эйлеровых интегралов.
179.Свойства бета-функции. Теорема о бета-функции с натуральными параметрами.
180.Свойства гамма-функции. Связь между бета- и гаммафункциями.
181.Скалярное произведение векторов. Евклидово пространство. Ортогональные вектора, ортонормированные системы векторов. Линейно-независимые вектора (конечные и бесконечные системы). Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье. Теорема Пифагора.
182.Теорема об ортогональном остатке. Экстремальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.
183.Полные системы векторов. Теорема об условиях, эквивалентных полноте. Базис евклидова пространства. Критерий базиса в евклидовом пространстве.
184.Скалярное произведение функций. Теорема о тригонометрической системе в комплексной форме. Теорема о тригонометрическом ряде Фурье в комплексной форме. Теорема об интеграле периодической функции по отрезку длиной в период.
185.Ядро Дирихле. Теорема о вычислении ядра Дирихле.
186.Лемма Римана для интеграла Римана. Лемма Римана для несобственного интеграла.
187.Свойства ядра Дирихле. Теорема о выражении частичных сумм ряда Фурье через ядро Дирихле.
188.Принцип локализации.
189.Условия Дини. Кусочно-непрерывные и кусочно-гладкие функции. Теорема о сходимости в точке тригонометрического ряда Фурье.
190.Ядро Фейера. Теорема о вычислении ядра Фейера. Свойства ядра Фейера.
191.Тригонометрические многочлены Фейера. Теорема о выражении тригонометрических многочленов Фейера через ядро Фейера. Теорема Фейера.
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общему профилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 50 из 61 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
192.Теорема о ряде Фурье непрерывной функции. Аппроксимационная теорема Вейерштрасса.
193.Теорема о полноте тригонометрической системы. Среднее квадратичное отклонение. Сходимость в среднем квадратичном. Теорема о сходимости тригонометрического ряда Фурье в среднем квадратичном.
5.4.Задачи к зачету
5.4.1.Первый семестр
1.Составить таблицу истинности булевой функции P P Q .
2. Построить отрицания высказываний x |
P(x) Q(x) . |
3.Проиллюстрируйте с помощью диаграмм Венна высказывание “Некоторые четные натуральные числа кратны 5”.
4.Изобразите на координатной плоскости декартово произведение
множеств X и Y, если X x:x R,0 x 7 , |
а Y y:y Z, 3 y 2 . |
||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Доказать, что сумма квадратов первых n натуральных чисел равна |
||||||||||||||||||||||||||||
|
n n 1 2n 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6 |
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
Доказать, что lim |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
n n2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
n 1 |
||||||||||
7. |
Найти предел последовательности lim |
5 3 |
|
7 5 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
n 2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
8 5 |
3 4 |
|
|
|
|
||||||||
8. |
Найти верхние и нижние пределы последовательностей: |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
а) xn ( 1) |
n 1 |
|
|
|
3 |
|
б) xn 1 |
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
; |
|
|
cos |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
9. |
Построить эскизы графиков функций: а) y x sin x; |
|
б) y 2 |
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
10. Найти пределы функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
а) lim(xln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 5 |
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
x |
1 x x |
2 |
); |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x 1 |
|||||||||
|
|
11. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции |
|||||||||||||||||||||||||||
|
y |
1 |
|
и указать характер разрыва. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 ex
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»