Тема 8. Мода, медиана, квартили

8.1. Мода

Мода и медиана применяются для характеристики структуры совокупности, потому и называются структурными средними, в отличие от других средних (арифметической, гармонической), которые называются степенными.

Модой (М₀) называется чаще всего встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Мода широко используется в коммерческой практике при изучении покупательского спроса (при определении размеров одежды, обуви, которые пользуется широким спросом).

Например, по приведенным ниже данным, наибольшим спросом пользуется 37 размер обуви.

Размер обуви	34	35	36	37	38	39	40
Число покупателей	2	10	20	88	19	9	1

В интервальном ряду модой приближенно считают центральный вариант так называемого интервала, т.е. того интервала, который имеет наибольшую частоту (частность). В пределах интервала надо найти то значение, которое является модой.

Конкретное значение моды для интервального ряда определяется по формуле:

где

Х_мо - нижняя граница модального интервала;

I_мо - величина модального интервала;

f_мо - частота, модального интервала;

f_мо-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

f_мо+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Например:

Стаж (лет)	До 2	2-4	4-6	6-8	8-10	Свыше 10
Число работников	4	23	20	35	11	7
Накопленная частота	4	27	47	82	93	100

M_O = 6 + 2 _×года, X=5.94 года.

Эта формула основана на предположении, что расстояние от нижней границы модального интервала до моды и от моды до верхней границы модального интервала прямо пропорциональны разностям между численностью модального интервала и прилегающих к нему.

8.2. Медиана

Медиана (М_Е) — это величина, которая делит численность упорядоченного вариацион­ного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирую­щего признака меньше, чем средний вариант, а другая - большие.

Порядок нахождения медианы следующий:

а) Прежде чем определить медиану вариационного ряда, необходимо его проранжировать (т.е. построить в порядке возрастания или убывания индивидуальных величин),

б) Затем определим порядковый номер медианы по формуле:

№М_Е =,где

п - число вариантов значений признака.

в) Определим конкретное значение медианы.

Для ранжированного ряда с четным числом членов медианой будет средняя арифметическая из двух смежных вариант.

Например: Если в бригаде продавцов из шести человек распределение по стажу работы было таким: 1,3,4,5,7,9 лет, то медианой будет значение, равное:

Для ранжированного ряда с нечетным числом членов медианой является варианта, расположенная в центре ряда.

Например: В ранжированных данных о работе семи продавцов-1,2,2,3,5,7,10 лет - медианой является четвертая варианта – 3 года.

В интервальном вариационном ряду порядок нахождения медианы следующий:

- Располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру;

- Определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты;

- По данным о накопленных частотах находим № медианного интервала.

А саму медиану определяем по формуле:

- нижняя граница медианного интервала

- величина медианного интервала

- полусумма частот ряда

- сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу

- частота медианного интервала.

Для примера рассмотрим данные из вышеуказанного интервального ряда о стаже работы, используемого для пояснения вычисления моды.

Накопленная частота составит 4,27,47,82,93,100. Серединная накопленная частота составляет 50, следовательно, медиана будет находиться в интервале 6-8 лет, по формуле определим ее значение:

Me=года.