- •Учебное пособие
- •Содержание
- •Введение
- •Тема 1. Предмет и метод статистики
- •Тема 2. Статистические наблюдения
- •2.1. Понятие о статистической информации
- •2.2. Основные организационные формы статистического наблюдения.
- •2.3. Ошибки статистического наблюдения
- •Тема 3. Сводка и группровка статистических данных
- •Тема 4. Выборочное наблюдение
- •Тема 5. Способы наглядного представления статистических данных
- •5. 2. Статистические графики
- •Тема 6. Абсолютные и относителбные величины в статистике
- •6.1. Статистические показатели, их виды
- •6. 3. Относительные величины
- •Тема 7. Средние величины
- •Тема 8. Мода, медиана, квартили
- •8.1. Мода
- •8.2. Медиана
- •8.3. Квартили
- •Тема 9. Ряды динамики и ряды распределения
- •9. 1. Ряды динамики
- •9.2. Приемы обработки и анализа рядов динамики
- •9.3. Выявление сезонных колебаний
- •Тема 10. Средние характеристики рядов динамики
- •Тема 11. Показатели вариации
- •9.1. Абсолютные показатели вариации
- •9.2. Относительные показатели вариации
- •2. Относительное линейное отклонение:
- •3. Коэффициент вариации:
- •Тема 12. Индексы
- •12.1. Понятие об индексах
- •12. 2. Агрегатные индексы физического объёма, цен и себестоимости
- •4. Базисные и цепные индексы, их взаимосвязь
- •12.5. Индексы средних величин
- •Тема 13. Статистическое изучение связей между явлениями
- •13.1. Типы связей между явлениями, их характеристика
- •13.2. Методы выявления наличия корреляционной связи между двумя признаками
- •13.3. Измерение степени тесноты корреляционной связи между двумя признаками
- •13.4. Уравнения регрессии, их виды
- •13.5. Корреляционно-регрессивные модели (крм),
Тема 7. Средние величины
Большое распространение в статистике имеют средние величины.
Средняя – это один из распространенных примеров обобщений.
Средние величины - это обобщающие показатели, в которых находят выражение действия общих условий, закономерности изучаемых явлений.
Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных.
Выделим следующие понятия и обозначения:
- осредняемый признак (признак по которому находится средняя);
или х1, х2, …,хn – индивидуальное значение осредняемого признака у каждой единицы или вариант;
- частота - повторяемость индивидуальных значений признака (его вес);
- частность – относительная частота, т.е. отношение частоты повторения индивидуального значения признака к сумме частот.
n – число вариантов.
а) Средняя арифметическая
В зависимости от исходных данных средняя арифметическая определяется следующим образом:
- средняя арифметическая простая;
- средняя арифметическая взвешенная;
В ряде случаев роль частот при исчислении средней играют частности (относительная величина структуры), средняя будет определяться так:
.
Часто вычисление средних величин приходится производить по данным, сгруппированным в виде интервальных рядов. В этом случае для вычисления средней величины необходимо в каждом варианте определить срединное значение , после чего произвести вычисления обычным путем.
В закрытом интервале серединное значение определяется как полусумма значений нижней и верхней границы. В открытом интервале предполагается, что расстояние между границами данного интервала такое же, как в соседнем интервале.
Например: определить среднюю заработную плату работников турфирмы, если имеются следующие данные:
-
Заработная плата работников, тыс. руб.
Число человек
до 5
5
5-7
7
7-9
8
9-11
11
свыше 11
9
Для вычисления средней заработной платы составим расчетную таблицу:
-
Заработная плата работников, тыс. руб.
Число человек
Расчетные показатели
до 5
5
4
20
5-7
7
6
42
7-9
8
8
64
9-11
11
10
110
свыше 11
9
12
108
Итого
40
-
344
Определим среднюю заработную плату по формуле средней арифметической взвешенной:
Получаем:
тыс. руб. – средняя заработная плата работников турфирмы.
Основные свойства средней арифметической:
1. Средняя от постоянной величины равна ей самой:
2. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариантов на частоты:
3. Изменение каждого варианта на одну и ту же величину изменяет среднюю на ту же величину:
4. Изменение каждого варианта в одно и то же число раз изменяет среднюю во столько же раз:
5. Изменение каждого из весов в одно и то же количество раз не изменяет величины средней:
6. Алгебраическая сумма отклонений всех вариантов от средней равна нулю:
7. Средняя суммы равна сумме средних:
8. Сумма квадратов отклонений вариантов от средней арифметической меньше, чем от любой другой величины:
б) Средняя гармоническая
Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической. Она применяется, когда статистическая информация не содержит частот по определенным вариантам совокупности, представлена как их произведение.
- средняя гармоническая взвешенная (можно определить частоту или вес);
- средняя гармоническая взвешенная (можно определить частность);
- средняя гармоническая простая.
Например: Определить среднюю цену изделия, если:
-
Вид изделия
Цена одного изделия, тыс. руб.
Стоимость всех изделий, тыс. руб.
А
4
80
Б
8
240
В
10
600
Воспользуемся средней гармонической:
Средняя цена изделия:
тыс. руб.
Определить среднюю во многих случаях удобнее через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу:
Пример:
Рассчитать среднюю заработную плату работников в целом по трем предприятиям сферы обслуживания.
Предприятие |
Численность персонала, чел. |
Месячный фонд заработной платы, тыс. руб. |
Средняя заработная плата, тыс. руб. |
А |
1 |
2 |
3 |
1 2 3 |
540 275 458 |
5648,4 3327,5 5175,4 |
10,46 12,10 11,30 |
Итого |
1273 |
14151,3 |
|
Средняя заработная плата может быть получена через следующее соотношение:
Предположим, что мы располагаем только данными гр. 1и 2 ., тогда:
тыс. руб.
Если мы располагаем данными о средней заработной плате и численности работников (гр. 1 и 3), то средняя может быть рассчитана следующим образом:
тыс. руб.
Допустим теперь, что в нашем распоряжении только данные о фонде заработной платы и средней численности персонала (гр. 2 и 3), средняя заработная плата:
тыс. руб.
в) Средняя геометрическая
При применении средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики. Средняя характеризует, таким образом, средний коэффициент роста.
Средняя геометрическая величина используется также для определения равноудаленной величины от максимального и минимального значений признака. Например, страховая фирма заключает договоры на оказание клиентам различных услуг медицинского страхования. В зависимости от категории медицинского учреждения, ассортимента услуг, конкретного рискового случая страховая сумма выплат может изменяться от 100 до 10000 долл. В год. Средняя сумма выплат по страховке долл.
г) Средняя квадратическая
Формула средней квадратической используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения.
Контрольные вопросы к теме:
Перечислите все средние арифметические.
Перечислите все средние гармонические.
Как вычисляются средние величины для интервального ряда.
Перечислите свойства средних арифметических.
Объясните, как применяется исходное соотношение средней.
Назовите формулу средней геометрической, в каких случаях она применяется.
Назовите формулу средней квадратической, в каких случаях она применяется.