0. 2.5. Однопродуктовая n  этапная динамическая модель без дефицита

В данной модели предполагается, что уровень запаса контролируется периодически, а запаздывание с поставкой товара либо равно нулю, либо кратно периоду контроля. Поэтому будем считать, что пополнение запаса происходит мгновенно в начале этапа. Спрос также удовлетворяется мгновенно в начале этапа. Дефицит не допускается. Рассматривается конечный горизонт (n этапов) планирования. Отметим, что параметры этой модели меняются от этапа к этапу, то есть зависят от времени. Время меняется дискретно на величину этапа.

Обозначим:

y_i  количество заказываемой продукции наi – ом этапе;

_i спрос на продукцию наi – ом этапе;

x_i запас продукции на началоi – го этапа;

h_i затраты на хранение единицы продукции, переходящей с этапаiна этапi+1;

K_i затраты на оформление заказа наi – ом этапе;

c_i(y) затраты на закупку продукции наi – ом этапе при условии, что объем закупаемой партии равенy.

Требуется найти значения на всех этапахi=1,…,n, минимизирующие суммарные затраты по всем этапам.

Обозначим C_i(y) все затраты на закупку продукции объемомyна этапеi, тогда

.

Для дальнейшего рассмотрения удобно представлять процесс поступления на склад и расходования со склада продукции в виде схемы

Для решения задачи будет применяться метод динамического программирования. Этот метод позволяет разбить исходную задачу поиска оптимума на всем горизонте планирования на nподзадач поиска экстремума на каждом этапе. Пусть состоянием системы наi – ом этапе будет объем запасаx_i+1 .Так как планируется минимизация затрат только на этапах от 1 доn, то величинаx_n+1 должна быть равна нулю. В этом случае объем запасаx_i не должен превышать величину суммарного спроса на этапахi,…,n,

(31)

Пусть f_i(x_i+1) минимальные суммарные затраты на этапах1,…,i при заданной величине запасаx_i+1на конец этапаi. Тогда рекуррентное уравнение будет иметь вид

;

Таким образом, на первом этапе по заданному запасу x₂величинаy₁ определяется однозначно. На последующих этапах величинаy_iопределяется из условия минимума суммарных затрат на этапеi(первые два слагаемых) и на всех предыдущих этапах1,…,i-1 (третье слагаемое). Аргумент функцииf_i-1(x_i)вычислен из соотношения

.(32)

Следуя методу динамического программирования последовательно находятся значения функций f₁, f₂, ,f_n. Это прямая прогонка. Затем, начиная с номераn и до номера 1, вычисляются оптимальные значенияобратная прогонка.

Пример.Рассмотрим 3 – этапную систему управления запасами. Пусть начальный запас равен 1 единице продукции. Стоимость закупки единицы продукции составляет 10 денежных единиц за каждую из первых трех единиц продукции и 20за каждую единицу продукции сверх 3. Остальные данные представлены в таблице

i	I	Ki	hi
1	3	3	1
2	2	7	3
3	4	6	2

В рассматриваемой задаче затраты на закупку можно записать следующим образом

Вычисление функций ,i = 1,…,nпроизводится по этапам.

Этап 1. Вычисление значений функции сведем в таблицу

x2	h1x2	y1	C1(y1)
0	0	2	23	23
1	1	3	33	34
2	2	4	53	55
3	3	5	73	76
4	4	6	93	97
5	5	7	113	118
6	6	8	133	139

Здесь интервал изменения x₂вычислен по формуле (31)

0  x₂  ₂ + ₃ =2 + 4 = 6,

а величина y₁для каждогоx₂находится из соотношения (32)

y₁ = x₂  x₁ + ₁ .

Этап 2. Интервал изменения x₃будет от 0 до 4. Вычисление значений функцииf₂(x₃) приведено в следующей таблице

x3	h2x3	y2=0	1	2	3	4	5	6	f2(x3)
		C2=0	17	27	37	57	77	97
0	0	55	51	50					50	2
1	3	79	75	64	63				63	3
2	6	103	99	88	77	86			77	3
3	9	127	123	112	101	100	109		100	4
4	12	151	147	136	125	124	123	132	123	5

Для каждого значения x₃(соответствующая строка) и каждого значенияy₂(соответствующий столбец) в ячейке таблицы находится значение выражения

, (33)

где в силу (32) x₂ = x₃  y₂ + ₂ .Величинаy₂изменяется в интервале

0 y₂  x₃  x₂ + ₂ .

При этом максимальное значение y₂будет достигаться при максимальном значенииx₃и минимальном значенииx₂. Следовательно,

0 y₂ 6.

Отметим, что этот интервал совпадает с интервалом изменения x₂. Покажем нахождение этих значений для двух случаевx₃ =0 иx₃ =1. Дляx₃ =0 получаем

=0+0+55,

=17+0+34=51,

=27+0+23=50.

Вычисление дляy₂>2 невозможно, так как значение аргумента функцииf₁ будет отрицательным, что недопустимо по условиям задачи. Поэтому в соответствующих ячейках стоит прочерк. Минимальное значение по строке 50 равно значению функцииf₂(0) и расположено в столбцеf₂(x₃) таблицы. В столбцеэтой таблицы расположено значениеy₂, при котором достигается это минимальное значение (в рассматриваемом случае этоy₂=2). Дляx₃ = 1будем иметь

0+3+76=79;

17+3+55=75;

27+3+34=64;

37+3+23=63.

Вычисление дляy₂>3 невозможно по причине аналогичной предыдущей. Минимальное значение по строке 63 равно значению функцииf₂(1) и расположено в столбцеf₂(x₃) таблицы. В столбцеэтой таблицы расположено значениеy₂, при котором достигается это минимальное значение (в рассматриваемом случае этоy₂=3).

Этап 3. Переменная x₄может принимать единственное значение равное нулю,y₃изменяется в пределах от 0 до 4. Соответствующие значенияиf₃(0)приведены в следующей таблице

x4	h3x4	y3=0	y3=1	y3=2	y3=3	y3=4	f3(x3)
		C3=0	C3=16	C3=26	C3=36	C3=56
0	0	123	116	103	99	106	99	3

В соответствии с полученным результатом минимальные суммарные затраты равны 99. Теперь нужно найти величины . Будем находить их, двигаясь по таблицам в обратном направлении. Величину= 3, получим из последней таблицы. Найдемиз соотношения (32)

=x₄  +₃=0  3 + 4=1.

Теперь из предпоследней таблицы в строке = 1 находим= 3. Соответственно.

=  +₂=1  3 + 2 = 0.

Из первой таблицы в строке = 0 находим= 2.

Ответ.Для минимизации суммарных затрат необходимо на первом этапе заказать 2 единицы продукции, на втором3 единицы, а на третьем также 3 единицы. При этом суммарные затраты составят 99 денежных единиц.

Частный случай постоянных или убывающих предельных затрат

Рассмотрим отдельно на каждом этапе затраты на хранение и затраты на закупку продукции. В общем случае на каждом этапе затраты на хранение каждой новой единицы продукции и затраты на закупку каждой новой единицы продукции зависят от объема закупаемой продукции на этом этапе. Так в предыдущем примере, затраты на закупку одной единицы продукции были равны 10 при y_i≤3, а в противном случае каждая новая единица стоила 20 денежных единиц (т.е. являлись возрастающей функцией). Затраты за хранение одной единицы продукции на этапе в этом примере были постоянными.

В рассматриваемом частном случае будем предполагать, что на каждом этапе в отдельности затраты на закупку и на хранение каждой новой единицы продукции являются либо постоянными, либо убывающими функциями от объема закупаемой партии на этапе. При этом, эти величины могут меняться от этапа к этапу различным образом. Будем также предполагать, что начальный запас x₁= 0. Последнее ограничение не является существенным, так как, уменьшив спрос на первом этапе на величину начального запаса, можно всегда считать это условие выполненным. При сделанных предположениях будут справедливы следующие два свойства[1, c463].

1. На всех этапах выполняется равенство

.

2. Размер оптимального заказа может принимать только одно из следующих значений

0, _i, _i + _i+1 , …, _i + …+ _n .

Отметим, что эти свойства позволяют существенно сократить объем вычислений. Приведем пример. Расчеты проводятся аналогично предыдущему случаю за исключением множеств возможных значенийx_i ,иy_i.

Пример.Рассмотрим 4 – этапную систему управления запасами. Пусть начальный запас равен 2 единицам продукции. Стоимость закупки единицы продукции составляет 4 денежных единицы для всех этапов, а стоимость хранения единицы продукции переходящей с этапаi на этапi + 1 составляет одну денежную единицу для всех этапов. Величины спроса на этапах и стоимость оформления заказов имеют следующие значения:(3; 3), (3; 2), (4; 1), (3; 4).

Чтобы свести задачу к частному случаю нужно из спроса на первом этапе вычесть начальный запас. Соответствующие значения спроса и стоимости оформления заказа по этапам будут иметь вид: (1; 3), (3; 2), (4; 1), (3; 4).

Этап 1. В соответствии со свойством 2 величина x₂ может принимать следующие значения:

0, ₂ =3, ₂ + ₃ = 3 + 4 = 7, ₂ + ₃ + ₄ = 3 + 4 + 3 = 10.

x2	h1x2	y1	C1(y1)	f1(x2)
0	0	1	7	7
3	3	4	19	22
7	7	8	35	42
10	10	11	47	57

Этап 2. Возможные значения величины x₃

0, ₃ = 4, ₃ + ₄ = 4 + 3 = 7, . x₃{0; 4; 7}.

Величина y₂может принимать значения, совпадающие с возможными значениямиx₂ y₂{0; 3; 5; 6}. Значения функций, f₂(x₃) и соответствующие приведены в следующей таблице

x3	h2x3	y2=0	y2=3	y2=7	y2=10	f2(x3)
		C2=0	C2=14	C2=30	C2=42
0	0	22	21			21	3
4	4	46		41		41	7
7	7	64	63	59	56	56	10

Покажем нахождение значений функции (33) для двух случаевx₃ =4 иx₃=7 . Рассмотрим сначала случайx₃ = 4

=C₂(0) + 14 + f₁(40+3) = 0 + 4 + 42 = 46;

=C₂(3) + 14 + f₁(43+3)

Так как данного значения x₂ = 43+3=4 нет в первой таблице, в соответствующей клетке для функциистоит прочерк.

=C₂(7) + 14 + f₁(47+3) = 30 + 14 + 7 = 41.

Для значения y₂= 10 получается отрицательное значениеx₂, что недопустимо по условиям задачи (дефицит не допускается). Поэтому в соответствующей клетке стоит прочерк. Теперь случайx₃ = 7.

=C₂(0) + 17 + f₁(70+3) = 0 + 7 + 57;

=C₂(3) + 17 + f₁(73+3) = 14 + 7 + 42 = 63;

=C₂(7) + 17 + f₁(77+3) = 30 + 7 + 22 = 59;

=C₂(10) + 17 + f₁(710+3) = 42 + 7 + 7 = 56.

Этап 3. Возможны только два значения величины x₄

0, ₄ = 3.

x4	h3x4	y3=0	y3=4	y3=7	f3(x4)
		C3=0	C3=17	C3=29
0	0	41	38		38	4
3	3	59		53	53	7

Этап 4. Величины x₅ принимает единственное значениеx₅=0.

x5	h4x5	y4=0	y4=3	f4(x5)
		C4=0	C4=16
0	0	53	54	53	0

Итак, минимальные суммарные затраты равны 53. Теперь нужно найти величины . Будем находить их, двигаясь по таблицам в обратном направлении. Из последней таблицы=0. Тогда из соотношения (32) приi=4получим=3. Из таблицы третьего этапа в строке с этим значением находим=7. Снова из соотношения (32) приi=3получим=0. В таблице второго этапа в соответствующей строке находим=3. Опять из (32) приi=2получим=0. Далее, из таблицы первого этапа=1. Таким образом, на первом этапе нужно заказывать одну единицу продукции, на второмтри, на третьемсемь, а на четвертом заказывать не надо. При этом суммарные затраты составят 53 денежных единицы.

3. Вероятностные модели