0. 2.4. Однопродуктовая статическая модель при непрерывном поступлении заказа при допущении дефицита

Продукция поступает на склад непрерывно с производственной линии с интенсивностью  единиц в единицу времени. Продукция отпускается со склада непрерывно с интенсивностью  единиц в единицу времени на сборочный конвейер. По достижению некоторого уровня запаса поставка на склад прекращается. Возобновление поставки товара на склад осуществляется в момент, когда дефицит достигает некоторого значения. График уровня запаса смотри на рис.5.

Здесь q  максимальный объем продукции на складе, d  максимальный объем дефицита. Обозначим: ₁  длина интервала [0; B]; ₂  длина интервала [B; C]; ₃  длина интервала [C; D]; ₄  длина интервала [D; F], y  объем поставляемой партии.

y

0 B

D

F

С

q A

d

Рис 5

Требуется найти объем партии y и величину максимального дефицита d, доставляющих минимум суммарным затратам в единицу времени.

Вычислим затраты на хранение запаса на интервале [0; C].Как и в предыдущих случаях, средний уровень запаса на этом интервале составляетq/2. Поэтому затраты на хранение будут равны

h(₁+ ₂ )q/2 . (21)

Аналогично потери от дефицита на интервале [C; F]составят

p(₃+ ₄)d/2 . (22)

Величина максимального запаса q накапливается за время₁с интенсивностью   , следовательно

q = (  )₁ (23)

С другой стороны этот запас расходуется с интенсивностью за время₂

q =₂ (24)

Из соотношений (22) и (23) получаем

₂= (  )₁ (25)

Из аналогичных рассуждений для величины максимального дефицита dполучаем

d =₃=(  )₄ . (26)

За весь цикл расходуется весь объем партии, поэтому

₁ + ₂+₃+₄=y/ (27)

Запишем суммарные расходы за цикл

H = K + h + p (28)

Здесь первое слагаемое выражает затраты на оформление заказа, второе слагаемое затраты за хранение продукции на складе, а третьепотери от дефицита (смотри (21), (22) соответственно). Выразим_ii=1,…,4 из соотношений (23)  (26) черезq, d, ,  подставим в равенство (28)

H = K + h+ p.

Разделим это выражение на длину цикла, полученную из соотношений для _ii=1,…,4

₁ + ₂+₃+₄= ,(29)

и получим выражение для средних суммарных затрат в единицу времени

S(q, d)=.

Введем новую переменную z=q + dвместо переменнойd. Тогда выражение дляS(q, d)примет следующий вид

S(q, z) = .

Приравняем нулю производные от этой функции по q и z:

,

.

Разрешая эти уравнения относительно qиz, а затем, заменяяzнаq+d, получим следующие равенства дляq и d

q=d=q.

Из последних равенств и соотношений (27), (29) получим оптимальные размеры заказываемой партии и максимального дефицита:

y^*=, . (30)

Пример 4.КомпанияK.D.M. производит одноразовую стерильную одежду для различных нужд. Производственный процесс состоит из двух этапов. На первом этапе, в цехе А, производится собственно одежда, а на втором этапе, в цехе Б, производится стерилизация одежды и ее упаковка по 1 шт. Максимальная мощность цеха А – 2000 изделий в час. В цехе Б за этот же временной интервал можно обработать только 1600 изделий. Проверка и запуск оборудования в цехе А на один производственный цикл обходится компании в 4000 рублей. Производственный процесс не предусматривает складирования изделий, в силу чего излишки, произведенные в цехе А, временно размещаются в складской зоне. Использование площади не по назначению обходится компании в 20 копеек в час на одно, хранящееся изделие. С другой стороны, в цехе Б работает ряд инженеров, контролирующих процесс и если цех Б простаивает, в силу отсутствия изделий, нуждающихся в стерилизации, то компания вынуждена фактически платить зарплату неработающим сотрудникам. Отталкиваясь от мощности цеха Б это оценивается в 30 копеек в час на одно изделие. Компания хочет минимизировать свои затраты связанные с этими двумя цехами. Определите оптимальный размер партии, которую необходимо производить в цехе А? Определите максимальный размер дефицита и максимальный запас товар на складе, а также длину интервала времени в течении которого будет работать цех А.

Решение.В соответствие с условиями задачи имеем:

K=4000; =1600; α=2000; h=0.2; p=0,3;

По формулам (30) находим оптимальный объем партии, производимой непрерывно в цехе А и максимальный размер дефицита

Теперь определим максимальный запас товара на складе

;

Теперь определим ₁ по формуле (23)

Таким образом, с целью минимизации средних суммарных затрат в час необходимо цеху А производить 23904 коробки непрерывно. При это максимальный запас товар на складе составит 2772 штуки, а максимальный дефицит – 1848 штук. Протяженность непрерывной работы цеха А – 6 часов 58 минут.