finantial

не володiючи ними. Така дiя називається коротким продажем (short selling), або кажуть, що iнвестор зайняв коротку позицiю вiдносно i-го активу, (якщо ж вiн купує i-й актив, iнодi кажуть,

що вiн зайняв щодо нього довгу (long) позицiю).

Урезультатi дiї iнвестора у нього утворився портфель ξ =

=(ξ0, ξ1, . . . , ξd ) Rd+1. Початковий капiтал цього портфеля

Xd

V0 = ξiπi .

i=0

Для скорочення позначимо скалярний добуток векторiв x i y через x · y. Видiлимо також окремо компоненти активiв та

портфеля, що вiдносяться до облiгацiї та акцiй:

Тодi V0 = ξ · π = ξ0 + ξ · π.

Портфель iнвестора ще називають стратегiєю.

Одноперiоднi моделi фiнансового ринку

Далi в цьому параграфi припускаємо, що T = 1, тобто модель має лише один перiод мiж t = 0 i t = 1. Тодi в момент t = 1 капiтал iнвестора, що створив портфель ξ = (ξ0, ξ), дорiвнює

Xd

V1 = ξiS1,i(ω) = ξ · S1(ω) = ξ0(1 + r) + ξ · S1(ω).

i=0

Iндекс “1” бiля цiн акцiй будемо опускати. Тодi

V1 = ξ · S(ω) = ξ0(1 + r) + ξ · S(ω),

де вектор S(ω) = ((1 + r), S1(ω), . . . , Sd (ω)), де Si (ω) – цiна i-го активу в момент t = 1, 1 ≤ i ≤ d.

Наступне поняття є одним з основних, що застосовується у стохастичнiй теорiї фiнансiв.

173

Означення 3.2.6. Модель фiнансового ринку допускає арбiтраж, якщо для деякого портфеля V0 ≤ 0, а V1 ≥ 0 з iмовiрнiстю 1, i V1 > 0 з додатною iмовiрнiстю. (Такий портфель називають

арбiтражним.)

Наявнiсть арбiтражу означає, що можна здобути додатний прибуток (V1 > V0 з додатною ймовiрнiстю) без ризику втрат (V1 ≥ V0 P-м.н.(майже напевно)). Наявнiсть арбiтражу ще нази-

вають free lunch (переклад очевидний), хоча останнє може бути i бiльш тонким поняттям в теорiї арбiтражу ринкiв з неперервним часом.

На певний невеликий час i в порiвняно невеликому обсязi арбiтраж на фiнансовому ринку можливий, але при його з’явленнi попит на вiдповiднi цiннi папери пiдвищиться, цiни на них теж зростуть, i арбiтраж зникне. Вiдсутнiсть арбiтражу – ключове припущення при розглядi фiнансових ринкiв. Ринок, на якому арбiтраж вiдсутнiй, називають безарбiтражним.

Зауваження 3.2.7. Якщо Ω = {ω1, . . . , ωn, . . .} – дискретний простiр, i при цьому pi := P({ωi }) > 0 для всiх i ≥ 1, то iснування

арбiтражу можна сформулювати без залучення поняття ймовiрнiсноi мiри: модель ринку допускає арбiтраж, якщо V0 ≤ 0, V1 ≥ 0 на всiх ωi , i iснує хоча б одне ωi0 таке, що

V1(ωi0 ) = ξ · S(ωi0 ) > 0.

Зауваження 3.2.8. Нагадаємо, що двi ймовiрнiснi мiри P1 i P2 називаються еквiвалентними (P1 P2), якщо рiвнiсть P1(A) = 0, A F має мiсце тодi i тiльки тодi, коли P2(A) = 0, тобто P1 i P2

мають однаковi нульовi множини, а значить, i однаковi множини, iмовiрнiсть яких дорiвнює 1. За теоремою Радона-Никодима для двох еквiвалентних iмовiрнiсних мiр P1 i P2 iснують похiднi Радона-Никодима dP1/dP2 i dP2/dP1, вони додатнi P1-м.н.,

Оскiльки в означеннi арбiтражу фiгурують лише множини iмовiрностi P = 1 та P = 0, то наявнiсть або вiдсутнiсть арбiтражу не змiниться якщо замiнити об’єктивну мiру P на будь-яку

еквiвалентну ймовiрнiсну мiру e.

P

174

Доведемо допомiжну лему, яка математично характеризує наявнiсть арбiтражу.

Лема 3.2.9. Наступнi умови еквiвалентнi:

а) модель ринку допускає арбiтраж;

б) iснує портфель ξ Rd, такий, що ξ·S ≥ (1+r)π·ξ P-майже напевно i ξ · S > (1 + r)π · ξ з додатною ймовiрнiстю.

Доведення. а) б): Нехай iснує портфель ξ = (ξ0, ξ), для якого

ξ0 + ξ · π ≤ 0, а

ξ0(1 + r) + ξ · S ≥ 0 P-м.н.

i

ξ0(1 + r) + ξ · S > 0 з додатною iмовiрнiстю.

Тодi

ξ · S ≥ −ξ0(1 + r) ≥ ξ · π(1 + r) P-м.н.

i

ξ · S > −ξ0(1 + r) ≥ ξ · π(1 + r) з додатною iмовiрнiстю.

б) а): Нехай виконано умову б). Покажемо, що портфель з ξ0 = −ξ · π є арбiтражним. Справдi, для нього V0 = ξ0 + ξ · π = 0,

та

V1 = ξ0(1 + r) + ξ · S = ξ · S − ξ · π(1 + r) ≥ 0

з iмовiрнiстю 1, i V1 > 0 з додатною iмовiрнiстю.

Зауваження 3.2.10. Введемо вектор дисконтованих чистих при-

буткiв Y = Y (ω) Rd , де Y = (Y1, . . . , Yd ), Yi = Si /(1 + r) − πi . Тодi

лему 3.2.9 можна переформулювати наступним чином: iснування арбiтражу еквiвалентне тому, що iснує портфель ξ, для якого ξ · Y ≥ 0 з iмовiрнiстю 1 i ξ · Y > 0 з додатною iмовiрнiстю.

175

3.2.3Мiри, нейтральнi до ризику. Фундаментальна теорема оцiнювання фiнансових активiв в одноперiоднiй моделi

Мiри, нейтральнi до ризику

Означення 3.2.11. Ймовiрнiсну мiру P P називають ней-

тральною до ризику, або ризик-нейтральною, якщо для всiх

1 ≤ i ≤ d

Si

πi = EP 1 + r .

Назва мiри пояснюється тим, що вiдносно цiєї мiри середнє значення дисконтованої цiни акцiї дорiвнює її початковому значенню, тобто немає в середньому можливостi одержати нi прибуткiв, нi збиткiв, немає ризику нi того, нi iншого. При цьому EP Si /(1 + r) коректно означене, оскiльки Si ≥ 0, тобто взагалi

e

можливий випадок, коли Ee Si = +∞ для деякої мiри P, але не

P

може бути невизначеностi ∞/∞. Те саме стосується i дисконтованих чистих прибуткiв Yi ≥ −πi. В термiнах вектора Y умову нейтральностi до ризику можна записати так: мiра P нейтральна до ризику тодi i тiльки тодi, коли EP Y = 0, де вектор

EP Y = (EP Y1, . . . , EP Yd ).

Зауваження 3.2.12. Нехай πi = 0, а ринок безарбiтражний. Тодi

Si

πi = EP 1 + r = 0,

звiдки Si = 0 з iмовiрнiстю 1. Оскiльки такi виродженi активи нас не цiкавлять, то далi вважаємо, що πi > 0, 0 ≤ i ≤ d.

Основна теорема оцiнювання фiнансових активiв

Позначимо множину P {e e нейтральна до ризику}.

= P P, P

Теорема 3.2.13. Ринок є безарбiтражним тодi i тiльки тодi, коли P =6 . При цьому мiру P P можна вибрати так, щоб похiдна Радона-Никодима dP /dP була обмеженою.

176

Доведення. Достатнiсть. Нехай P =6 , P P. Нехай також

ξ · S ≥ 0 з P-iмовiрнiстю 1, ξ · S > 0 з додатною P-iмовiрнiстю.

Тодi

Розглянемо двi множини:

A := {Q P : iснує стала C = C(Q) така, що dQ/dP ≤ C} ,

B := {EQY : Q A}.

Очевидно, що A є опуклою в множинi всiх iмовiрнiсних мiр, тому що для будь-яких Q1, Q2 A та α [0, 1]

d(αQ1 + (1 − α)Q2) ≤ αC(Q1) + (1 − α)C(Q2) =: dP

=: C(αQ1 + (1 − α)Q2).

(Нагадаємо, що множина M називається опуклою, якщо для будь-яких двох елементiв x M, y M i будь-якого α [0, 1] опукла комбiнацiя αx + (1 − α)y M.) Тому i множина B Rd є

опуклою, оскiльки

EαQ1 +(1−α)Q2Y = αEQ1Y + (1 − α)EQ2Y .

Нам треба довести, що O B. Припустимо супротивне, нехай O B. Тодi за теоремою про вiдокремлення опуклих множин в Rd (рiзновид теореми Гана-Банаха), iснує вектор ξ Rd такий, що для всiх x B скалярний добуток x · ξ ≥ 0 i для деякого x0 B виконується нерiвнiсть x0 · ξ > 0.

Якщо пiдставити замiсть x та x0 їхнi значення, одержимо: для будь-якої мiри Q A виконується нерiвнiсть EQY · ξ ≥ 0 i iснує

177

мiра Q0 A така, що EQ0Y · ξ > 0. З другої нерiвностi випливає, що Q0(ξ · Y > 0) > 0, отже,

P(ξ · Y > 0) > 0.

Покажемо, що з першої нерiвностi випливає рiвнiсть P(ξ · Y ≥ 0) = 1. Справдi, розглянемо подiю A = {ξ · Y < 0} i покладемо

де A = Ω \ A. Тодi 0 < ϕn ≤ 1, 0 < Eϕn ≤ 1, i якщо покласти

dQn := ϕn , dP Eϕn

то Qn A, значить,

i при n → ∞ одержимо

Eξ · Y 1{ξ·Y <0} ≥ 0.

Це означає, що P(ξ · Y ≥ 0) = 1, i ми одержуємо суперечнiсть

з припущенням про вiдсутнiсть арбiтражу. Значить, у випадку

178

Очевидно, що замiна мiри P на еквiвалентну P не впливає на

наявнiсть арбiтражу на ринку. Тому попереднє доведення необ-

i Q0 – шукана мiра. Теорему доведено.

Геометрична iнтерпретацiя вiдсутностi арбiтражу

Обмежимося найпростiшою геометричною iнтерпретацiєю вiдсутностi арбiтражу на ринку, яка потiм буде використана в багатоперiодному випадку. Позначимо

K(ω) = {ξ · Y (ω), ξ Rd+1}

випадкову множину можливих значень загального чистого дисконтованого прибутку iнвестора.

Теорема 3.2.14. Наступнi умови еквiвалентнi:

1)K ∩ R+ = 0 P-м.н.;

2)ринок є безарбiтражним;

3)iснує ймовiрнiсна мiра P P, нейтральна до ризику, з обмеженою похiдною Радона-Никодима dP /dP.

Доведення. Iмплiкацiї 1) 2) та 3) 1) очевиднi. Iмплiкацiю 2) 3) доведено в теоремi 3.2.13.

Тепер трохи ускладнимо ситуацiю. Нехай на ймовiрнiсному просторi (Ω, F, P) задано деяку пiд-σ-алгебру F0 σ-алгебри F, i нехай в момент часу t = 0 цiни d + 1 актива – це F0-вимiрнi

випадковi величини, що утворюють вектор

S0 = (S00, . . . , Sd0).

Оскiльки iнформацiя, яку одержав iнвестор в момент t = 0, залежить вiд вектора S0, то i його портфель буде залежати вiд

179

випадку, точнiше, буде F0-вимiрним вектором ξ = (ξ0, . . . , ξd+1). Вектор Y зараз матиме вигляд

Y = Si1/S01 − Si0, 1 ≤ i ≤ d .

Позначимо L0(Ω, G, P, Rd) сукупнiсть P-м.н. скiнченних G-ви- мiрних випадкових векторiв у Rd , де G F – деяка пiд-σ-алгебра,

K(ω) := {ξ · Y : ξ L0(Ω, F0, P, Rd )},

L0+(Ω, F0, P, Rd) = L0(Ω, F0, P, Rd) ∩ R+.

У цьому випадку геометрична iнтерпретацiя вiдсутностi арбiтражу формулюється так:

Основну умову безарбiтражностi ринку з випадковими початковими даними сформулюємо без доведення.

Теорема 3.2.15. Наступнi умови еквiвалентнi:

1)K(ω) ∩ L0+(Ω, F0, P, Rd ) = {0};

2)(K(ω) \ L0+(Ω, F0, P, Rd ) ∩ L0+(Ω, F0, P, Rd ) = {0};

3)iснує ймовiрнiсна мiра P P, нейтральна до ризику, з обмеженою похiдною Радона-Никодима dP /dP.

Приклад 3.2.16. (Ринок зi злiченною кiлькiстю активiв.) Покажемо, що на ринку, де iнвестор оперує нескiнченною кiлькiстю активiв, основна теорема оцiнювання фiнансових активiв, взагалi кажучи, не має мiсця. Нехай Ω = {1, 2, . . .}, маємо активи Si (ω), i ≥ 0, з початковими цiнами πi ≥ 0, i ≥ 0. Задля технiчного спрощення припустимо, що πi = 1, i ≥ 0, r = 0. Тодi S0 = 1.

Позначимо

aij := Sj (ωi), i, j ≥ 1.

Припустимо, що для всiх ωi aij ≤ ci < ∞, тобто kai·kl∞ < ∞. Портфель iнвестора ξ = (ξ0, ξ1, . . .) будемо вважати таким, що

180

X∞

|ξj ||aij | ≤ kξkl1 kai·kl∞ < ∞.

j=0

Припустимо, що портфель складено таким чином, що

X∞

ξ · π = ξj ≤ 0.

j=0

Покладемо ajj = 0, aj+1j = 2, aij = 1, i 6= j, j + 1, g ≥ 1. Тодi на ω1

Таким чином, . . . ξj ≤ ξj−1 ≤ . . . ≤ ξ1 ≤ 0. Остання нерiвнiсть завдяки абсолютнiй збiжностi цього ряду означає, що всi ξi = 0, i ≥ 1, ξ0 ≤ 0. Таким чином, арбiтражних можливостей нема.

Покажемо, що й мiри P , нейтральної до ризику, нема. Справдi, якби така мiра iснувала, i дорiвнювала б pi > 0 на ωi, то мали

б мiсце рiвностi

звiдки pj = pj+1 для всiх j, що неможливо на злiченному ймовiр-

нiсному просторi.

Тим не менше, якщо мiра, нейтральна до ризику iснує, то арбiтражу нема. Справдi, тодi за умови π · ξ ≤ 0 одержуємо

тобто достатнiсть в основнiй теоремi оцiнювання активiв має мiсце i в злiченному випадку.

181

3.2.4Платiжнi зобов’язання та похiднi цiннi папери. Справедливi цiни. Досяжнi платiжнi зобов’язання. Закон однiєї цiни

Платiжнi зобов’язання та похiднi цiннi папери

Означення 3.2.17. Платiжним зобов’язанням називають довiльну невiд’ємну випадкову величину C ≥ 0 на ймовiрнiсному просторi (Ω, F, P).

Якщо платiжне зобов’язання можна подати у виглядi C = f (S0, S1(ω), . . . , Sd (ω)), де f : Rd+1 → R+ – невипадкова вимiр-

на функцiя, то таке платiжне зобов’язання називається вторинним (похiдним) цiнним папером або деривативом. Нагадаємо, що активи S0, S1(ω), . . . , Sd (ω) називають базовими, або первин-

ними.

Зауваження 3.2.18. Англiйський термiн “contingent claim” означає вiдкладене зобов’язання, тобто такий контракт або цiнний папiр, який буде реалiзовано в майбутньому, але договiр на нього, як правило, укладається в початковий момент часу (або, можливо, в деякий промiжний момент часу, якщо розглядається багатоперiодна модель фiнансового ринку).

Опцiони купiвлi та продажу

Означення 3.2.19. Опцiоном купiвлi називається вторинний, або похiдний, цiнний папiр, який дає право, але не зобов’язує покупця опцiону, в момент T = 1 купити ту акцiю S, на яку було заключено опцiон, за фiксованою цiною K, яка називається

страйковою цiною, страйком, або цiною виконання.

Якщо цiна акцiї в момент T = 1 задовольняє нерiвнiсть S > K,

то власник опцiону подає його до виконання, купує акцiю за цiною K, миттєво продає за цiною S i одержує прибуток S − K. Якщо S < K, то власник опцiону не подає його до виконання. Таким чином, виплата за опцiоном купiвлi дорiвнює C = (S − K)+. Оскiльки власник опцiону нiчим в момент T = 1 не ризикує, вiн повинен в момент t = 0 сплатити за придбання опцiону купiвлi

деяку сумму, яка називається цiною опцiону. Встановленню так

182