finantial

Сукупнiсть рiвностей (3.2.20) i (3.2.21) означає, що

Ut = E Uτ(t) | Ft = E Hτ(t) | Ft .

Теорему доведено.

Таким чином, один з оптимальних моментiв зупинки з точки зору покупця – це той момент, коли огинаюча Снелла вперше “зустрiчається” з тим платiжним зобов’язанням, яке вона огинає. Охарактеризуємо тепер всi оптимальнi моменти зупинки.

Теорема 3.2.97. Момент зупинки σ T буде оптимальним, тобто EHσ = maxτT EHτ тодi i тiльки тодi, коли виконую-

ться двi умови:

1)Hσ = Uσ P-м.н.;

2)зупинений процес {Utσ, Ft , t T} є P-мартингалом.

Доведення. Необхiднiсть. Нехай σ – оптимальний момент зу-

пинки. Тодi, з використанням теореми 3.2.96, одержимо рiвностi

U0 = sup EHτ = EHσ.

τT

Але, в силу супермартингальної властивостi U i наслiдку 3.2.94, U0 ≥ EUσ ≥ EHσ, а тодi всi цi нерiвностi є рiвностями. Значить,

по-перше,

EUσ = EHσ,

а, оскiльки Uσ ≥ Hσ P-м.н., то Uσ = Hσ P-м.н. По-друге,

U0 = EUσ = EUTσ = U0σ.

Значить, Utσ – це супермартингал зi сталим математичним спо-

дiванням. Позначимо його Ut i покажемо, що Ut – мартингал.

зупинки

243

Тодi ν 6= 0 i

k=1

що неможливо, якщо P{ < } > 0. Отже, e – справдi мартин-

ν T U

гал.

Достатнiсть. Нехай Uσ = Hσ P-м.н. i U σ – мартингал. Тодi U0 = EUσ = EHσ , але, знову в силу теореми 3.2.96,

U0 = max EHτ,

τ T

отже, EHσ = max EHτ, тобто σ – оптимальний момент зупинки.

τ T

Наслiдок 3.2.98. Момент зупинки

τmin = τ(0) = inf{t T : Ut = Ht }

є “мiнiмальним” оптимальним моментом зупинки, тобто для будь-якого iншого оптимального моменту зупинки τ1 виконується нерiвнiсть τ1 ≥ τmin P-м.н. Це є очевидним наслiдком того, що Uτ1

Тепер охарактеризуємо “максимальний” оптимальний момент зупинки. Для цього введемо такий момент зупинки:

τmax := inf{t T : At+1 < 0},

де Ut = Mt + At – розклад Дуба процесу U .

Теорема 3.2.99. Момент зупинки τmax є оптимальним, i це

максимальний оптимальний момент зупинки у такому розумiннi: якщо τ1 – iнший оптимальний момент зупинки, то

τmax ≥ τ1.

244

Доведення. Спочатку доведемо, що τmax є оптимальним момен-

том зупинки. Для цього, згiдно з теоремою 3.2.97, треба довести,

на множинi {τmax = T }. На множинi {τmax = t}, де 0 ≤ t < T , маємо: +1

Uτmax = Ut = Ht E(Ut+1 | Ft ),

але

E(Ut+1 | Ft )1{τmax = t} = E((Mt + At+1)1{τmax = t} | Ft ) <

< E(Mt+1 | Ft )1{τmax = t} = Mt {τmax = t} = Ht 1{τmax = t},

оскiльки на множинi {τmax = t} At = 0, а At+1 < 0. Отже, Uτmax = = Hτmax , i τmax – оптимальний момент зупинки. Нехай тепер τ1 –

iнший оптимальний момент зупинки. Тодi зупинений процес U τ1

є мартингалом, отже, у його розкладi Дуба

Utτ1 = Mtτ1 − Aτt 1

процес Aτt 1 нульовий. Це i означає, що τ1 ≤ τmax.

Наслiдок 3.2.100. Оскiльки зупинений процес U τ буде мартингалом тодi i тiльки тодi, коли τ ≤ τmax, то момент зупинки τ буде оптимальним тодi i тiльки тодi, коли τ ≤ τmax i Hτ = Uτ P-м.н. При цьому Aτ = 0.

Оптимальнi моменти зупинки у потраєкторному розумiннi

Нехай τ0 – оптимальний момент зупинки з точки зору покупця i у розумiннi середнього, тобто U0 = EHτ0 = maxτT EHτ.

245

Покажемо, що у випадку, коли об’єктивна мiра є єдиною мартингальною, на повному ринку оптимiзацiя вiдбувається i у потраєкторному розумiннi. Пояснимо це детальнiше. Розглянемо вказану мiру P i огинаючу Снелла U P . Її можна розкласти за Дубом: U P = M + A, а потiм M подати у виглядi дискретного

стохастичного iнтеграла:

Xt

Mt = U0P + ξk · (Xk − Xk−1).

k=1

При цьому M буде капiталом самофiнансованої стратегiї, ризикова компонента якої ξ, а початковий капiтал U0P , i при цьому M мажорує H . Тобто ми одержали суперхедж з точки зору продавця: якщо покупець прийде в момент τ, то продавець одержить прибуток Mτ − Hτ ≥ 0. Нехай тепер покупець прийшов в момент τ0. В цей момент

але, згiдно з наслiдком 3.2.100 Aτ0 = 0, значить, Hτ0 = Mτ0 , тобто

вимога покупця “зустрiчається” з капiталом продавця. Це можливо лише у випадку, коли ринок повний, i огинаюча Снелла будується вiдносно P . Величину U0P можна вважати єдиною справедливою цiною зобов’язання H .

Лема 3.2.101. Мають мiсце спiввiдношення

Xτ

Hτ ≤ Mτ = U0P + ξk · (Xk − Xk−1) P − м.н.

k=1

для всiх τ T , причому рiвнiсть має мiсце тодi i лише тодi, коли τ – оптимальний момент зупинки.

Доведення. Треба довести тiльки твердження “лише тодi”. Справдi, нехай маємо рiвнiсть Hτ = Mτ, тодi

UτP ≥ Hτ = Mτ;

але, з iншого боку, Mτ = Uτ − Aτ ≥ Uτ. Отже,

UτP = Hτ = Mτ,

246

звiдки Aτ = 0, тобто

UtP τ = Mt τ

є мартингалом. Згiдно з теоремою 3.2.97, τ – оптимальний мо-

мент зупинки.

Порiвняння дисконтованих Американських i Європейських платiжних зобов’язань

Порiвняємо дисконтоване Американське платiжне зобов’язання {Ht , Ft , t T} з вiдповiдним дисконтованим Європейським платiжним зобов’язанням HT . Позначимо Vt := EP (HT | Ft ) капiтал, необхiдний, згiдно з теоремою 3.2.61, для хеджування HT . Оскiльки, за припущенням, ринок повний, Vt є єдиною справедливою цiною зобов’язання HT в момент t. З точки зору продавця,

згiдно з теоремою 3.2.90, для Американського платiжного зобо- в’язання такою цiною є UtP . Оскiльки Американське платiжне

зобов’язання менше обмежує покупця, його цiна має бути вищою, тобто повинна виконуватись нерiвнiсть UtP ≥ Vt .

Лема 3.2.102. Для всiх t T P -м.н. має мiсце нерiвнiсть UtP ≥ ≥ Vt . При цьому, якщо додатково Vt ≥ Ht для всiх t T P -м.н., то UtP = Vt.

Доведення. За означенням огинаючої Снелла

UtP ≥ EP (UtP+1 | Ft ),

тобто U P – супермартингал (див. також теорему 3.2.88). Але

тодi

UtP ≥ EP (UTP | Ft ) = EP (HT | Ft) = Vt .

Якщо Vt ≥ Ht , то ми маємо мартингал Vt (який, як i усякий мар-

тингал, є частковим випадком супермартингала), який мажорує Ht . Тодi за теоремою 3.2.88, має мiсце нерiвнiсть Vt ≥ UtP , i

разом з уже доведеною протилежною нерiвнiстю отримуємо рiвнiсть.

Лема 3.2.103. Якщо процес {Ht , Ft , t T} є P -субмартингалом, то Vt ≥ Ht для всiх t T P -м.н., тобто UtP = Vt .

247

Доведення. Нехай {Ht , Ft , t T} є P -субмартингалом. Тодi Vt = = EP (HT | Ft ) ≥ Ht за означенням субмартингала.

Лема 3.2.104. Нехай функцiя f : Rd → [0, +∞) i є опуклою вниз, Xt = (Xt1, . . . , Xtd ) – цiновий дисконтований процес, Ht = f (Xt ). Тодi {Ht , Ft, t T} є P -субмартингалом.

Доведення. З нерiвностi Iєнсена для умовних математичних сподiвань випливають наступнi нерiвностi

Приклад 3.2.105. Розглянемо дисконтований Американський опцiон купiвлi

Дисконтувальний множник St,0 можна, наприклад, вважати рiвним (1 + r)t, де r > 0 – вiдсоткова ставка, тобто вiн росте з часом. Тодi, оскiльки функцiя f (x) := (x − a)+ є опуклою вниз для всiх a R, то за нерiвнiстю Йєнсена

тобто виконано умови леми 3.2.104, тому i лем 3.2.103, 3.2.102, i

248

а ця рiвнiсть, в свою чергу, означає, в силу теореми 3.2.96, що τ0 = T є оптимальним моментом зупинки. Значить, Американський опцiон купiвлi покупець повинен пред’явити в момент T .

Приклад 3.2.106. Для Американського опцiону продажу, за умо-

пред’явлення опцiону в момент t < T продавець одержить суму

(вона називається премiєю за раннє пред’явлення). Розглянемо на прикладi бiномiальної моделi спiввiдношення мiж цiною та внутрiшньою вартiстю (K − x)+ Американського опцiону продажу. Нехай S0 = x > 0 – початкова цiна ризикового активу,

Yt

St = x (1 + Rk) =: xΛt

k=1

цiна цього активу в момент t,

Λ0 = 1, P (Rk = a) = p , P (Rk = b) = 1 − p , −1 < a < r < b,

цiну Американського опцiону продажу як функцiю вiд x. Його внутрiшнiм значенням, тобто значенням в момент t = T , є (K − − x)+. Функцiя π(x) є опуклою вниз i незростаючою за x, те саме

249

є вiрним i для (K − x)+. Розглянемо наступнi випадки, припускаючи, що a < 0 < r < b.

1. Нехай x ≥ K/(1 + a)T . Тодi

KΛt

xΛt ≥ (1 + a)T ≥ K,

оскiльки Λt ≥ (1+a)T . Значить, π(x) = 0. В цьому випадку опцiон

не виконується в “грошах”.

2. Нехай x ≤ K/(1 + b)T . Тодi xΛt ≤ KΛt /(1 + b)T ≤ K, i

Отже, цiна π(x) дорiвнює внутрiшньому значенню (K−x)+, опцiон треба подати в момент t = 0, а такий опцiон взагалi непотрiбний.

3. Нехай K ≤ x < K/(1 + a)T . Тодi

де число y ((1 + a)T , 1]. Можна вибрати такi 0 < n < t, що

Справдi, можна покласти, наприклад, n = t/2p i вибрати настiльки великi t i p, щоб, з одного боку, 2p/t 0, а з iншого, y2p/t > > (1 + b)(1 + a)2p−1. З цього випливатиме, що P{Λt < y} > 0, тобто

250

251

3.2.10Квадратична теорiя хеджування на неповному ринку

Припустимо, що фiнансовий ринок функцiонує на множинi перiодiв T = {0, 1, . . . , T }, iснує платiжне зобов’язання H , яке продавець повинен бути в змозi “зустрiти” в момент T , але вiн будує

фiнансову стратегiю (не обов’язково самофiнансовану) без ризику не бути в змозi хеджувати H , i не тому, що ринок повний, ри-

нок як раз вважається неповним, а тому, що в кожний момент часу, зокрема в момент T , вiн може додати до того капiталу, що має, будь-яку потрiбну суму. Зокрема, якщо в момент T вiн має капiтал VT < H , вiн “позичить” H − VT i “зустрiне” покупця платiжного зобов’язання H . Але цi позики треба вiддавати, то-

му його задачею є зведення помилки хеджування до мiнiмуму. Будемо розв’язувати цю задачу мiнiмiзацiї помилки хеджування в термiнах квадратично iнтегровних платiжних зобов’язань i капiталiв, тодi вона зведеться до послiдовної регресiї.

Поняття локального квадратичного ризику. Основна теорема щодо стратегiй, що мiнiмiзують локальний ризик

Розглянемо поняття, пов’язанi з узагальненими (не обов’язково самофiнансованими) стратегiями.

Означення 3.2.107. Узагальнена стратегiя – це пара з двох випадкових процесiв ξ = (ξ0, ξ), з яких одновимiрна компонента

ξ0 = (ξ0t , Ft , t T) є узгодженою, а d-вимiрна компонента ξ = (ξt = (ξ1t , . . . , ξdt ), Ft , t = 1, . . . , T ) є передбачуваною.

Нехай, як завжди Xt = (Xt1, . . . , Xtd ) – дисконтований цiновий процес. Дисконтований капiтал V узагальненої стратегiї (ξ0, ξ)

визначається наступним чином:

V0 = ξ00, Vt = ξ0t + ξt · Xt , t = 1, . . . , T .

Означення 3.2.108. Процес прибуткiв i втрат узагальненої стратегiї ξ, накопичених до моменту t – це сума

Xt

G0 = 0, Gt = ξk · (Xk − Xk−1), t = 1, . . . , T .

k=1

252