Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекція 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

963.59 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

N m

N1 m

N m

m !

N n !

N n

(N N )

[( N N ) (n m)]

[(N N

) (n m)]!

N N

Врешті решт отримуємо

n m

P(V

, m)

n m

m!(n m)! N

m!(n m)!

Тут

, q 1

p .

Тепер можна обчислити

m n

mP(V

, m)

pm qn m p

( p q)n pn( p q)n 1

ans

m!(n m)!

m 0

V	n

1	V

Такий розподіл ймовірностей має назву біноміального

n V

- середня концентрація частинок в об’ємі V.

Таким чином,

m ans pn .

3.2. Флуктуації.

Міра флуктуації – відхилення фізичної величини від її середнього значення.

Стандартне відхилення

		x			2	( x )					2
					2						2
( m )			2					2	,
( m )					( pn)				,
				m n					1
m							m		1	, m)
m							m	P(V		, m)
	2						2
				m 0

pn( p q)n 1 p 2 n(n

p 2 n2 pn(1 p) p


p					p
p				p	p	p
				p		p
1)( p q)							n
1)( p q)
2	n	2	pnq
	n		pnq

( p q)

pn( p q)

n 1

pn p

Звідси

	p	2	n	2	pnq p	2	n	2

pnq

Відносне стандартне відхилення.

				1
		m		n

q p

Тобто відносне стандартне відхилення зменшується із збільшенням загальної кількості частинок.

	1	q	1	1 p
m	n	p	n	p

		1	V
		n	V
		n	V
			1

Роль флуктуацій збільшується із зменшенням локального об’єму V1.

3.3. Межі чутливості вимірювальних приладів.

I C, I	fl	C	fl	,	fl,	?
	fl		fl		fl,

Тут І – вимірюваний струм, С – чутливість гальванометра, повороту рамки, що відповідає вимірюваному струму.

- кут

Тепловий хаотичний рух електронів у чутливому елементі гальванометра – провідній рамці – зумовлює реакцію рамки. А саме, рамка здійснює хаотичні коливання навколо положення, що зумовлено вимірюваним струмом.

Мінімальна енергія, що припадає на одну ступінь вільності коливального руху kT. Тому

E		kT	1	D	2	,	2
					2		2
	fl		2		fl		fl
			2

2kT ,

Знаючи період власних крутильних коливань рамки гальванометра

	2	J
	2	D
		D

D. Тоді

та момент інерції її J,

		fl

I	fl

можна визначити пружність підвісу

	2	2kT	.
		J

C	2	2kT	.
		J

Це флуктуації вимірюваного струму, обумовлені хаотичним тепловим рухом електронів в ній. Вони обмежують чутливість гальванометра.

3.4. Розподіл Пуассона як частинний випадок біноміального розподілу.

Умова цього наближення порівнянність цього біноміального розподілу. Тоді

та

тобто дискретність

n m

P(V

, m)

n m

m!(n m)! N

m!(n m)!

(n m)!

(np)

P(V

, m)

n m

Ще одне перетворення

ln q ln(1 p) ln 1 p p 0

ln q n m (n m)( p) pn q n m exp( m )

d ln 1 p		p ln1		1	p ln1 p p
dp			1 p
	p 0				p 0

pm ( pn),

Звідси

		(np)	m		m	m
P(V	, m)	(np)	q	n m	m	exp( m )
				n m

1		m!			m!
		m!			m!

Це розподіл Пуассона.

3.4. Розподіл Гаусса як частинний випадок біноміального розподілу.

n m

P(V

, m)

n m

m!(n m)! N

m!(n m)!

Умова цього наближення - неперервність функції P(V1 , m) : n n .

Розподіл Гаусса визначає її поблизу її максимуму. Функцію P(V1 , m) , її логарифм можна диференціювати, логарифмувати. Умови екстремуму цієї функції та екстремуму логарифма від неї однакові. Дійсно

P(m)

ln P(m)

P(m)

0 .

P(m)

Будемо шукати умову екстремуму ln P(m) .

n m

m ln p (n m) ln(1 p),

ln P ln

ln P

m ln m m n m ln n m n m ln p ln(1 p)

ln(n m) ln

n m

p(n m)

ln1,

ln m 1

1 p

m(1 p)

pn pm m pm, m

extr

np m .

Водночас умова екстремуму функції

ln P(V	, m)
1

є умовою екстремуму

функції P(V1 , m) . Розкладемо функцію ln P(V1 , m) в ряд Тейлора поблизу максимуму цієї функції.

ln P(m)

ln P(V , m) ln P( m )

(m m )

ln P( m )

ln m ln(n m) ln P( m )

n m m

(m m )

2 m

m(n m)

ln P( m )

(m m )

m (n m

)

Тепер можна записати

n(m m )

P(m) P( m ) exp

2 m (n m )

Визначимо P( m ) з умови нормування:

P(m)dm 1

n(m m )

P( m ) exp

2 m (n m )

dm 1

Зробимо заміну (m m ) x . Визначимо межі інтегрування:

m 0, x m ,

m n, x n m

Позначимо

2 m (n m )

Тоді з урахуванням нових меж інтегрування

P( m ) exp

dm 1

2 m (n m )

x 2 dx P( m. )

P( m ) exp

Це відомий інтеграл Пуассона. Тому

P( m )			n				,
P( m )			2 m (n m		)		,
			2 m (n m		)		n(m m )
			n				n(m m )	2
								2
P(V	, m)			exp					.
1		2 m (n m )
		2 m (n m )				2 m (n m )

Остаточно

		1		(m m )	2
					2
P(V	, m)		exp			,
1		2 npq		2npq
		2 npq		2npq

Це й є розподіл Гаусса.

4. Явища переносу.

До цих явищ відносять:

Теплопровідність, в’язкість, дифузію, ефузію та багато інших.

Умова виникнення явищ переносу – наявність градієнту відповідного термодинамічного параметру. Велику роль в цих явищах відіграють молекулярні зіткнення.

4.1. Кінематичні параметри молекулярного руху.

Довжина вільного пробігу – відстань між двома послідовними зіткненнями.

середня довжина вільного пробігу.

z – середня кількість молекулярних зіткнень у одиницю часу.

z v відносне n .

- ефективний переріз зіткнень.

(2r)2

- ефективний радіус молекули.

Обчислимо

	відносне

											2							2			2							cos ,
v	відносне		v		v		2	, v		відносне					v				v				2		2v v	2		cos ,
	відносне			1			2			відносне								1					2		1	2
	2							2							2			0				2			2		,
v		відносне		v					v							2		0				2			v		,
		відносне					1									2
	2									2		, v													2 v
v		відносне		2 v								, v					відносне								2 v
		відносне															відносне
						1			2
v						1					d			sind								v			f (v )dv					f (v		)dv		2 v
v		выдносне									d			sind								v		відн	f (v )dv					f (v	2	)dv	2	2 v
		выдносне				4																		відн	1			1			2		2
						4			0				0							0									0
									0				0							0									0

Дивись А.Н.Матвеєв стор.69.

Таким чином,

v		v			v
z	v		n		v n
		відносне		2

1 2n

4.2. Ймовірностне тлумачення

Припустимо, що шар газу має товщину

x , площа шару

S ,

ефективний переріз молекулярних зіткнень , концентрація газу n . Тоді площа, яку перекривають молекули (загальна площа ефективних перерізів) - S nV n(xS ) .

Звідси ймовірність зіткнень молекул в шарі товщиною x (на шляху

x )

P S n x .

4.3. Молекулярні зіткнення та міжмолекулярна взаємодія (модель Сезерленда).

Введемо поняття прицільна відстань d . На такій граничній відстані відбудеться зіткнення молекул внаслідок їх взаємного притягання (див. малюнок). Початкова швидкість молекули на значній відстані від іншої молекули v0 . Швидкість в околі точки зіткнення v .

Врахуємо закони збереження.

Закон збереження моменту імпульсу

		v	d vd		, v v		d		,
		v	d vd		, v v	0			,
		0		0		0	d
							d	0
								0
Тут	d 0	- діаметр молекули.		Саме на такій міжцентровій віддалі

пролетить молекула повз іншу молекулу, до якої вона притягується.

Ясно, що	d d0 . Тобто міжмолекулярна взаємодія спричинює
збільшення ефективного перерізу молекулярних зіткнень від 0		d0
		2

до

. Звідси

0 d

2 0

Закон збереження енергії

E			1			v		2	A					1		v		2	,
								2										2
	кін			2			0			притяг				2
				2										2
1			d			2			1
1	v	2	d						1	v	2	A					,
		2									2
2		0	d			2			2		0		притяг
2			d		0				2
					0
1	v	2							1	v	2	A					,
		2									2
2		0							2		0		притяг
2						0			2
						0

								A											S
				1					притяг										S
			0	1					1					0	1
			0											0					T
											2								T
									2	v0
									2

Таким чином, внаслідок міжмолекулярного притягання ефективний переріз молекулярних зіткнень збільшується. Стала S має назву стала Сезерленда.

4.4. Досліди Борна та Бормана (1920 р.).

З частково евакуйованого вертикального циліндру відкачують повітря. За допомогою спеціального коліматора та нагрівача формують паралельний потік атомів срібла. Потік потрапляє на три діафрагми, на яких осаджуються атоми срібла. Поверхні, на яких

відбувається осадження, Положення поверхонь - x1

розгорнуто на 900 одна відносно іншої.

, x2 , x3 .

На залишках газу відбуваються зіткнення атомів срібла з молекулами газу. Тому кількість атомів срібла в потоці зменшується

dN N	dx	, N

N
	0	exp

 

Вимірявши густину запилення атомами срібла прозорих діафрагм Ni N(xi ) , можна визначити довжину вільного пробігу атомів срібла

Оскільки

		1
		2n
		2n

  

N						x		x	,
	1						2	1	,
N
N	2
	2
x		2	x
		2				1
				N
ln					1
				N 2
				N 2
	kT			.
				.
			2

Так можна вимірювати ефективний переріз розсіяння атомів срібла на молекулах залишків газу, чи ефективний переріз зіткнень.

4.5. Теплопровідність (закон Фур’є). Після зіткнення молекула набуває властивостей молекул, що знаходяться біля місця зіткнення (локалізовані біля місця зіткнення). Це принцип локальної рівноваги.

Потік теплоти, що переноситься крізь одиничний переріз з координатою Х визначається кількістю та енергією частинок, що прямують з гарячої зони до холодної зони, та зворотнім потоком

C M

T (x )

n v

T (x )

n v

N A

C M

n v

[T (x ) T (x )]

( 2 )

N A

1 C M

n v

3 N A

Перенос теплоти відбувається за наявності градієнту температур.

4.6. Внутрішнє тертя – перенос імпульсу спрямованого руху

(закон Максвелла). Засади ті ж самі – принцип локальної рівноваги. Досліджується перенос імпульсу спрямованого руху молекул крізь одиницю поверхні контактуючих шарів за одиницю часу. Шари газу рухаються в одному напрямі з різними швидкостями спрямованого руху.

тертя

j mu

v m[u(x ) u(x )]

n v m( 2 )

n v m

Перенос імпульсу спрямованого руху молекул відбувається за наявності градієнту швидкостей спрямованого руху молекул

4.7. Самодифузія (закон Фіка).

j j	j	1	v [n(x ) n(x )]	1	v	dn
j j	j	6	v [n(x ) n(x )]	3	v	dx


D	dn
D	dx
	dx

В цьому випадку відбувається перенос речовини за наявності градієнту концентрацій.

4.8. Ультрарозріджений газ (вакуум). У попередніх випадках явища переносу спричинено міжмолекулярними зіткненнями. Наприклад, імпульс спрямованого руху молекул переноситься внаслідок зіткнень від молекули до молекули.

Коефіцієнт теплопровідності

за

концентрації молекул газу. Дійсно,

таких умов не залежить від

1 CVM

1 CVM v

n v

n 2

3 N A 2

3 N A

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.03.2015386.56 Кб15Лекції ФКРГНз.doc
#
20.11.201991.14 Кб3Лекції(орфографія).doc
#
16.04.20191.4 Mб3Лекції_Політекномія.docx
#
05.05.201998.3 Кб1ЛЕКЦІЯ 1 ВСТУПНА ЧАСТИНА БГ.doc
#
04.05.201965.67 Кб2Лекція 1.docx
#
19.03.2015963.59 Кб6Лекція 1.pdf
#
11.08.201975.78 Кб0ЛЕКЦІЯ 1.ҐРУНТ ЯК ОБ'ЄКТ ІНЖЕНЕРНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ...doc
#
18.11.201873.22 Кб2Лекція 10 Демократія.doc
#
26.08.201976.29 Кб2ЛЕКЦІЯ 10 ФІЗИКО-ХІМІЧНІ ВЛАСТИВОСТІ ҐРУНТІВ.doc
#
19.11.201871.17 Кб13Лекція 11 ЗМІ.doc
#
25.11.2018109.06 Кб4Лекція 12 Нація.doc