Лекція 1
.pdf
Кількість позиційних мікростанів цього газу в першому випадку можна розрахувати, визначивши кількість розміщень NA молекул по N1 комірках.
Тобто
Г1 |
|
|
N1! |
|
, відповідно Г |
|
|
|
N2 |
! |
|
. |
(N1 |
N A )! |
2 |
(N |
2 N A )! |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Раніше було встановлено співвідношення між зміною ентропії та відношенням об’ємів за ізотермічного процесу. Щоб визначити зв'язок між ентропією та статистичною вагою макростану, з’ясуємо співвідношення між Г та V . Для цього визначимо відношення
Г Г
2 |
|
N !(N |
|
N |
|
2 |
1 |
|
|||
|
|
||||
1 |
|
N |
!(N |
2 |
N |
|
1 |
|
|
||
A A
)! )!
Для великих значень N>>1 справедлива формула Стирлінга:
|
N |
N |
|
||
N! |
. |
|
|
e |
|
Дійсно, візьмемо до уваги, що в нашому випадку N>>1, а N=1
N lnN!=
1
Тоді
lnN,
|
N |
lim |
ln N N |
N ,,1 |
1 |
|
|
N ln N N ln e |
|
Таким чином
N |
|
|
|
ln NdN N ln |
|||
1 |
|
|
|
N ln |
N |
|
|
e |
ln |
||
|
|
|
|
|
|
N N |
|
ln N! ln |
|
|
|
|
|||
|
|
e |
|
|
|
|
N |
dN |
|
|
|
N |
N |
N |
N ln N 1ln1 |
(N 1) |
N ln N N |
||
1 |
|
N |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
N N
,N! e
Використаємо це співвідношення. Тоді
Г |
2 |
|
N N2 e N1 |
(N |
1 |
N |
A |
)e( N2 N A ) |
|
N |
2 |
N A |
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( N1 N A ) |
|
|
|||
Г1 |
|
e |
N2 |
N1 |
(N2 N A )e |
|
N1 |
|
|||||||
|
|
N1 |
|
|
|
||||||||||
Тут взято до уваги, що NA<<Ni
Звідси
Г |
|
|
V |
|
|
N |
A |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Г |
|
|
V |
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|||
V |
|
|
Г |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
V |
|
Г |
|
|
||
|
1 |
|
||||
|
1 |
|
||||
1 N A
Згадаємо, що за ізотермічного процесу
( S) |
|
R ln |
V |
|
|
2 |
|||
T |
V |
|||
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
1 |
Отже
Врешті решт
Колоквіум 22
Лекції 6
S |
2 |
|
|
|
та
- 7
|
|
|
V |
|
R |
|
Г |
2 |
|
Г |
2 |
||
( S) |
|
R ln |
|
2 |
|
|
|
ln |
|
k ln |
|
||
T |
V |
N |
|
Г |
|
Г |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
A |
|
1 |
|
1 |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
S1 k ln Г2 |
k ln Г1 |
. Звідси формула Больцмана |
|||||||||||
|
|
|
S k ln Г |
|
|
|
|
|
|||||
23-го квітня 2014, 200 ауд., о 14:15
(25.03.2014 – 01.04.2014)
2.20. Зміна ентропії за елементарних процесів в ідеальному газі.
S C ln |
T2 |
R ln |
V2 |
, S |
|
C ln |
T2 |
, S |
|
R ln |
V2 |
|
|
T |
|
V |
|
||||||
V |
T1 |
|
V1 |
V |
T1 |
|
|
V1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
За адіабатного процесу
Q T S
0
. Тому, якщо
SV <0, то
S |
T |
|
>0.
Тобто за адіабатного стискання ідеальний газ нагрівається й навпаки за адіабатного розширення ідеальний газ охолоджується.
2.21. Циклічні процеси.
Циклічний процес – це процес , наслідком якого є повернення т.-д. системи в початковий стан.
За циклічного процесу
A Q .
Якщо за циклічного процесу теплота надається т.-д. системі, то система виконує роботу над оточенням.
Т.-д. цикл – це неперервна послідовність т.-д. процесів, внаслідок яких робоче тіло повертається в початковий стан.
2.22. Теплові машини
Теплова машина складається з термостата нагрівача, з термостата холодильника та робочого тіла, яке обмінюється теплотою з нагрівачем та холодильником, виконуючи роботу над оточенням.
Теплова машина (ТМ) – це т.-д. система, яка в циклічному процесі виконує роботу за рахунок теплоти, якою система обмінюється з термостатами.
Коефіцієнт корисної дії ТМ
|
A |
||
Q |
|
||
|
|||
|
|
||
.
Тут А – робота, виконана робочим тілом ТМ над оточенням, Q+ - теплота, отримана робочим тілом ТМ від термостату - нагрівача. В цьому випадку кажуть що теплова машина працює за прямим циклом.
У випадку, коли зовнішнє середовище виконує роботу над робочим тілом, можливий циклічний процес, за якого теплота відбирається від холодного термостату (з меншою температурою) й передається гарячому термостату (з більшою температурою).
Така машина працює як холодильник з ефективністю
|
ХОЛ |
|
чи як нагрівач з ефективністю
|
Q |
|
|
|
|
||
A |
|||
|
|||
|
1 |
|
|
||
|
1
,
|
|
|
Q |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||||
НАГР |
A |
|
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
Ці співвідношення справедливі для будь-якої оборотної ТМ.
2.23. Цикл Карно (1824 р.)
Цикл Карно – це оборотний цикл, який складається з двох ізоентропійних (адіабатних), та двох ізотермічних процесів. Його коефіцієнт корисної дії
|
A |
|
Q |
|
Q |
|
|
(S |
|
S )T |
(S |
|
S )T |
1 |
T |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
2 |
1 |
2 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Q |
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
(S |
2 |
S |
)T |
|
|
|
T |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
||
2.24. 2-й принцип термодинаміки.
Уільям Томсон (Лорд Кельвін). Неможливий коловий процес, єдиний результат якого виконання роботи за рахунок охолодження теплового резервуару (1851 р.).
Рудольф Клаузіус. Теплота не може самочинно переходити від тіла менш нагрітого до тіла більш нагрітого (1850 р.).
Можна довести, що ці формулювання еквівалентні.
2-й принцип термодинаміки на відміну від 1-го принципу визначає напрямок т.-д. процесів.
Разом 1-й та 2-й принципи термодинаміки дозволяють встановити кількісні співвідношення між різними макропараметрами рівноважних т.-д. систем.
Саді Карно (один з фундаторів 2-го принципу термодинаміки) заперечував можливість реалізації ТМ без холодильника.
На підставі дослідних фактів можна довести неможливість створення вічного двигуна 2-го роду.
2-й принцип термодинаміки дозволяє побудувати раціональну шкалу температур, яка не залежить від вибору робочого тіла та конструкції термометра.
2.25. 1-ша теорема Карно.
Усі оборотні ТМ, що працюють за циклом Карно, за однакових температур Т1 нагрівача та Т2 холодильника мають однаковий
коефіцієнт корисної дії.
Доведення від зворотного. Якщо припустити, що
|
A |
|
B |
|
|
.
Пустивши ТМВ в зворотному напрямі, за однакових теплот QA |
QB |
за |
|||
|
|
|
|
|
|
рахунок |
QA |
QB |
, що має місце за нашого припущення, виконується |
||
|
|
|
|
|
|
робота над оточенням АА - АВ>0.
Обидві машини, працюючи разом, повністю повернуть до нагрівача отриману від нього теплоту. Машина В тепер бере теплоту від холодильника, а повертає робочому тілу. При цьому ТМА повертає
спільному термостату-холодильнику |
QA |
QB |
. Таким чином, робота |
|
|
|
|
АА - АВ в циклічному процесі виконується за рахунок охолодження лише одного термостату – холодильника. Це порушує 2-й принцип т.-д. у формулюванні Лорда Кельвіна.
2.26.Термодинамічна шкала температур.
Скориставшись 1-ю теоремою Карно, можна побудувати раціональну шкалу температур, яка не залежить від вибору робочого тіла та конструкції термометра.
Для оборотного циклу Карно
1 |
Q |
|
|
|
|
, |
|||
Q |
|
|||
|
|
|||
|
|
|
Таким чином,
Позначимо
(t |
2 |
,t |
) |
|
1 |
|
.
Q |
|
|
|
|
|
a |
f (t |
,t |
) |
||
|
|||||
|
|
||||
Q |
3 |
1 |
|
||
a |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b |
f (t |
,t |
) |
||
|
|
||||
Q |
2 |
3 |
|
||
|
|
|
|
||
b |
|
|
|
||
Q |
|
|
|
|
|
c |
f (t |
,t |
) |
||
|
|||||
|
|
||||
Q |
2 |
1 |
|
||
c |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
Оскільки
Q |
|
|
,Q |
|
|
,Q |
|
Q |
|
|
Q |
|
Q |
|
|
||||
c |
b |
c |
a |
b |
a |
||||
та зробивши нескладне перетворення, а саме
|
|
Q |
Q Q |
Q Q |
|
|
|
|
, |
||||||
f (t |
,t ) |
c |
|
с |
|
b |
|
b |
|
a |
f (t |
,t |
) f (t |
,t )( 1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
1 |
Q |
Q Q |
Q Q |
2 |
3 |
3 |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
c |
с |
|
b |
b |
|
a |
|
|
|
|
|
||
отримуємо
f (t2 ,t1 ) f (t3 ,t1 ) f (t2 ,t3 ) .
В лівій частині виразу відсутня температура t3 . Побудуємо наші функції в такий спосіб
f (t |
|
,t |
|
) |
(t |
m |
) |
|
|
|
|
||||
m |
n |
(t |
|
) |
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
n |
||
|
|
|
|
|
|
|
Тоді
Q |
|
|
(t |
) (t |
|
) |
|
(t |
|
) |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|||||||
c |
3 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Q |
|
|
(t |
) (t |
) |
|
(t |
) |
|
T |
||
|
|
|
|
|||||||||
c |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
.
Оберемо за температуру Т1=273.16 К температуру потрійної точки води за нормальних умов. Тоді для визначення невідомої температури Т2 необхідно виміряти кількість теплоти, яка в циклі Карно передається від нагрівача з відомою температурою Т1 до робочого тіла оборотної машини Карно, а потім визначити кількість теплоти, яку робоче тіло машини Карно передає холодильнику з невідомою температурою Т2. Тепер
T |
T |
Q |
|
||
2 |
1 |
Q |
|
|
K K
Важливо, що калориметричні виміри можна виконувати не в абсолютних, а у відносних одиницях.
З останньої рівності випливає неможливість отримання від’ємних температур. Дійсно, в противному разі права частина останнього виразу стає додатною. З цього випливає, що обидві теплоти в лівій частині мають однакові знаки. Тобто в такому разі робота в Циклі Карно виконується лише за рахунок охолодження термостату. В цьому випадку порушується 2-й принцип термодинаміки у формулюванні Кельвіна.
2.27. 2-га теорема Карно.
К.к.д. необоротної ТМ, яка працює за циклом Карно не перевищує к.к.д. оборотної ТМ, яка працює за тим же циклом з тими ж нагрівачем та холодильником.
(Доводиться перша частина 2-гої теореми Карно в той же спосіб, що
йперша теорема).
К.к.д. оборотного циклу Карно перевищує к.к.д. будь-якого оборотного циклу, в якому Тmax та Тmin дорівнюють відповідно
Тнагр та Тхол циклу Карно.
Доведення виконаємо для деякого частинного випадку (див. рис.)
Q A, Q .
Q
Для довільної теплової машини
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
K |
|
|
1,2,3,4 |
|
K |
|
|
K |
|
K |
|
1,2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Q |
K |
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
K |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(1 |
K |
) |
1,2 |
|
3,4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
K |
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
K |
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Дріб однозначно додатний, тому
Звідси
K |
|
1,2 |
|
||
1,2 |
|
|
|
1,2,3,4 |
|
|
|
|
K |
|
1,2 |
|
1,2,3,4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
K |
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
1,2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
K .
Врешті решт,
Q |
|
|
Q |
|
0 |
|
|
||||
T |
|
T |
|
||
|
|
|
|
||
1 |
|
2 |
|
||
1 |
Q |
|
1 |
T |
. |
|
|
||||||
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
||
|
Q |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
- це нерівність Клаузіуса.
2.28. Нерівність Клаузіуса для довільного циклу.
Її можна поширити на довільний цикл.
Припустимо, що працюють дві ТМ.
ТМ1 – оборотна машина Карно. Т1 – температура її нагрівача. Тривалість її циклу 1 2 тривалості циклу ТМ2.
|
|
|
|
T |
|
Для ТМ1 за один цикл виконується робота A1 |
K |
Q 1 |
|
|
Q . |
|
|||||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
1 |
|
Тут Т – температура робочого тіла ТМ2, що знаходиться в тепловій рівновазі з оточенням й править за холодильник для ТМ1. Відповідно до нерівності Клаузіуса для оборотних ТМ Карно
Q |
|
|
Q |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Q |
Q |
1 |
||
T |
|
T |
|
|
T |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тепер
|
|
|
T |
|
|
) |
T |
|
|
T |
|
T |
A 1 |
|
( Q |
|
1 |
1 |
|
( Q) |
1 |
||||
1 |
|
|
T |
|
|
|
T |
|
|
T |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||||
T |
|
|
1 |
|
|
T |
|
1 Q
.
Тут |
Q Q |
|
- теплота, яка потрапляє в робоче тіло ТМ2 й за рахунок |
|
|
|
якої ТМ2 могла б виконувати роботу.
За один цикл ТМ2 виконується n>>1 циклів ТМ1. Тому робота обох машин за цикл ТМ2 може бути обрахована в такий спосіб:
A A2 |
n A1 |
n Q n |
T |
Q n Q n |
T |
Q T1 |
|
Q |
0 . |
1 |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
T |
|
T |
|
|
T |
|
В будь якому разі сукупність таких двох машин не може виконувати роботу, бо в її конструкції лише одне джерело теплоти. Тому над такою системою може виконувати роботу оточення A 0 , чи A 0
, якщо ТМ2 оборотна.
Таким чином,
|
Q |
0 |
|
T |
|||
|
|
це нерівність Клаузіуса для довільного циклу.
Колоквіум 22 та 23-го квітня 2014, 200 ауд., о 14:15
22.04.2014 – 4-та та 6-та групи
23.04.2014 – 5-та група
Лекція 9 – 10 (15 - 22.04.2014).
3. Флуктуації.
3.1.Обчислення середніх значень фізичних величин. Ергодична гіпотеза.
|
|
1 |
T |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
m(t)dt, m |
|
|
mP(V |
, m) |
||
|
ans |
||||||||
t |
|
T |
|
|
1 |
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л.Больцман – ергодична гіпотеза (1871 р.).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(V |
, m) ? |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г (V |
|
, m) |
|
|
|
|
N! |
|
|
|
|
|
|
|
P(V |
, m) |
|
1 |
|
, Г |
|
|
|
, (V |
, m) |
|
|
, |
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
3 |
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
(N n)! |
1 |
1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
N |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(N |
|
m)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(n m)!m! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
(N N )! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
[(N N |
) (n |
m)]! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Візьмемо до уваги, що
n |
n |
|
|
||
n! |
|
|
e |
|
|
|
|
x |
n |
|
|
e |
x |
||
lim 1 |
|
|
||
n |
|
n |
|
|
Тоді