1.7.1 Формула Бернулли

Часто встречаются задачи, в которых одно и то же испытание повторяется многократно. В результате каждого испытания может появиться или не появиться некоторое событие . Нас будет интересовать число наступлений событияв серии изиспытаний.

Определение 1. Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода – появление события (“успех”) или не появление его (“неудача”), при этом “успех” в каждом испытании происходит с вероятностью, а неудача с вероятностью.

Теорема (формула Бернулли). Вероятность того, что в испытаниях по схеме Бернулли “успех” наступит ровнораз:(1.19)

Доказательство. Все испытаний можно рассматривать как одно сложное испытание, имеющеевозможных исходов. (Например, привозможные исходы такого сложного испытания –).

1. Число благоприятных исходов равно числу способов, которыми можно расположить успехов наразличных местах, то есть равно.

2. Вероятность каждого отдельного исхода можно подсчитать по формуле произведения вероятностей независимых событий. Например, вероятность появления комбинации: равна. Очевидно, что вероятности остальных комбинаций равны также.

Поскольку все исходы являются несовместными событиями, то вероятность, что событие виспытаниях появится ровнораз:.

Определение 2. Числа называютсябиномиальными вероятностями.

Пример 1. Для контроля качества из партии деталей отбирается 5 деталей. Партия бракуется, если в выборке хотя бы две бракованные детали. Найти вероятность того, что партия будет забракована, если каждая деталь может оказаться бракованной с вероятностью 0,01.

Решение. Найдем вероятность того, что в выборке из 5 деталей будет не более одной бракованной детали:

.

Тогда вероятность того, что партия будет забракована: .

Если каждое испытание имеет исходов, вероятности которых,, то вероятность того, что виспытаниях первый исход появитсяраз, второй исход появитсяраз и т.д. определится по формуле:

. (1.20)

Доказательство формулы аналогично случаю двух исходов.

1.7.2 Наивероятнейшее число успехов.

Определение 3. Число успехов , которому соответствует наибольшая вероятность в испытаниях по схеме Бернулли, называетсянаивероятнейшим числом успехов.

Для нахождения исследуем поведение биномиальных вероятностейс ростом. Найдем отношение:

будет больше , если их отношение будет больше единицы, то есть когда. Таким образом, с ростомпоследовательность вероятностейбудет возрастать до тех пор, пока. Kак толькостанет больше, чемпоследовательностьначнет убывать. Если существуеттакое, что, то в этом случае существуют два значения случайной величины обладающие наибольшей вероятностьюи, так как при этом. Если нет такого значения, то значением, обладающим наибольшей вероятностью, будет последнее значение, для которого, то есть в этом случае наивероятнейшее число успехов. Наивероятнейшее число успехов может совпасть с первым значением, либо с последним, соответственно последовательностьбудет либо убывающей, либо возрастающей.

7. Формула Пуассона вычисления вероятности. Математическое ожидание и дисперсия для этого случая. Примеры.

Формула Пуассона. Вероятность того, что в испытаниях по схеме Бернулли “успех” наступит ровнораз прииприближенно равна:

, где (1.23)

Формулу Пуассона можно применять также вместо формулы Бернулли, если число испытаний велико и точно неизвестно, но известно среднее число появлений события в этой серии испытаний.

Пример 3. Наборщик делает, в среднем, по одной опечатке на страницу. Считая, что вероятность опечатки каждого символа постоянна и не зависит от других опечаток, найти вероятность того, что на наудачу выбранной странице не более двух опечаток.

Решение. Очевидно, что вероятность того или иного числа опечаток на странице определяется по формуле Бернулли. Однако, мы не знаем ни точного числа символов на странице, ни вероятность одной опечатки, чтобы воспользоваться этой формулой. Но поскольку нам известно среднее число опечаток, причем и , то можно воспользоваться формулойПуассона с параметром . Вероятность того, что страница содержит не более двух опечаток

.

7. Локальная терема Лапласа. Порядок вычисления вероятности. Примеры.

Локальная формула Муавра-Лапласа. Вероятность того, что в испытаниях по схеме Бернулли “успех” наступит ровнораз приприближенно равна:

, где ,(1.21)

-

7. Интегральная терема Лапласа. Ход вычисления вероятности. Примеры.

Интегральная формула Муавра-Лапласа. Вероятность того, что в испытаниях по схеме Бернулли “успех” наступит не менеераз и не болеераз, приприближенно равна:

, (1.22)

где - функция Лапласа,,.

Функция Лапласа является табулированной функцией. При использовании таблиц следует учитывать, что ,.

Пример 2. Монета подбрасывается 1000 раз. Найти вероятность того, что орел появится не менее 480 раз и не более 520 раз.

Решение. По условию ,,,,. Воспользуемся интегральной формулой Муавра-Лапласа. Вычислими:

, .

По таблице функции Лапласа находим и, учитывая нечетность функции Лапласа, находим искомую вероятность:.

Если вероятность успеха в одном испытании мала (), лучше вместо формулы (1.21) использовать приближенную формулу Пуассона, дающую в этом случае меньшую погрешность

7. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства.