Сходящиеся последовательности. Свойства сходящихся последовательностей

Определение 1.2.1. Последовательность {x_n} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность является бесконечно малой. При этом числоа называется пределом последовательности {x_n} и обозначается , илипри.

Определение 1.2.2. Последовательность {x_n} называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого сколь угодно малого положительного , найдется номерN, такой, что при все элементы последовательностиx_n удовлетворяют неравенству

Очевидно, что оба определения дополняют друг друга. Действительно, из «Определения 1.2.1» утверждение - бесконечно малая, следует, чтодля любого>0 и, что и сказано в «Определении 1.2.2»

Неравенство эквивалентно неравенству

Будем говорить, что x_n попадает в - окрестности точкиа.

Так как , то общий член, или. Будем говорить, что любой элемент сходящейся последовательности может быть записан в виде, где- элемент бесконечно малой последовательности.

Рассмотрим примеры сходящихся последовательностей.

1. Последовательность сходится.

Составим последовательность

Докажем, что последовательность бесконечно малая. Если, то, и поэтому по данному>0 достаточно выразить номерN из условия или.

2. Последовательность сходится к числуа=2.

Действительно, , тогда последовательностьбесконечно малая.

Свойства сходящихся последовательностей

1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел (без доказательства).

2. Сумма сходящихся последовательностей иесть последовательность сходящаяся, а её предел равен сумме пределов.

Доказательство.

Пусть , тогда,– бесконечно малая последовательность,, тогда,– бесконечно малая последовательность.

Сумма . Общий член последовательности может быть записан, т.к.есть сумма двух бесконечно малых последовательностей и является бесконечно малой последовательностью, то, где, то.

3. Разность сходящихся последовательностейиесть последовательность сходящаяся, а её предел равен разности пределов. Доказательство аналогично доказательству свойства 2.

4. Произведение сходящихся последовательностей есть последовательность сходящаяся, а её предел равен произведению пределов.

Доказательство.

Пусть ,,тогда,, гдеи– бесконечно малые последовательности.

Произведение , а.

является суммой бесконечно малых последовательностей и сама является бесконечно малой, например, . Тогдаи следовательно.

5. Частное двух сходящихся последовательностей ипри условии, что пределотличен от нуля, есть последовательность сходящаяся, а её предел равен частному пределов ( без доказательства).

На основании перечисленных свойств можно находить пределы числовых последовательностей.

Рассмотрим некоторые примеры.

3. Найти предел . При делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, дробь не меняется. Разделим числитель и знаменатель наn² и получим т.к.,т.к.

Отношение двух сходящихся есть последовательность сходящаяся и поэтому .

4.