Теорема умножения вероятностей

Определение. Вероятность события А, найденная в предпо­ложении, что событие В наступило, называется условной вероятностью события А относительно события В.

Обозначать ее будем символом Р_В(А). В таком случае Р_В(А) означает вероятность события А, вычисленную в предположении, что событие В не наступило.

Пример. С первого станка на сборку поступило 200 деталей, из которых 180 годных, со второго — 300, из которых 260 годных. Найти вероятность собы­тия А, состоящего в том, что взятая наудачу деталь будет годной, и условные ве­роятности его относительно событий В и , если событие В состоит в том, что эта деталь изготовлена на первом станке.

Решение. Вероятность события А равна отношению числа всех годных к общему числу изготовленных на обоих станках деталей: Р (А) =(180+260)/(200+300)=0.88. Условная вероятность события А относительно события В (вероятность того, что взятая наудачу деталь годная, если известно, что она изготовлена на первом станке) Р_В(А) = 180/200 = 0,9. Условная вероятность события А от­носительно события В, т. е. вероятность того, что взятая деталь годная, если из­вестно, что она изготовлена не на первом (на втором) станке, =260/300=0.87.

Теорема (умножения вероятностей). Вероят­ность произведения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого относительно взятого первым, т. е.Р (АВ) = Р (А) • Р_А (В) или Р (AB)= Р (В) • Р_В (А).

Задача. Среди 25 электрических лампочек четыре нестандартные. Найти вероятность того, что две взятые одновременно лампочки окажутся не­стандартными.

Решение. Искомое событие состоит в том, что нестандартными будут и первая (событие А) и вторая (событие В) лампочки. Но Р(А) = 4/25, а Р_А (В) = 3/24, так как при наступлении собы­тия А общее число лампочек и число нестандартных среди них по сравнению с первоначальным уменьшится на одну. Таким образом, Р (АВ) = 4/25*3/24=0,02.

Задача. На станции отправления имеется 8 заказов на отправку товара: пять – внутри страны, а три – на экспорт. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны.

Решение. Событие А – первый взятый наугад заказ, В – соответственно второй, P(АВ) = 5/8*4/7=20/56.

Определение. Событие А будем называется зависимым от события В, если вероят­ность события А меняется при наступлении события В. Совершенно естественно называть событие А независимым от события В, если ве­роятность события А не изменяется при наступлении события В. Сле­довательно, если событие А независимо от события В, то .

Однако независимость и зависимость со­бытий обладают свойством взаимности, а именно справедлива теорема:

Теорема. Если событие А независимо от события В, то и В не­зависимо от А. Если же событие А зависимо от события В, то и собы­тие В зависимо от А.

Определение. События А и В называются независимыми, ес­ли вероятность одного из них не изменяется при наступлении другого. В противном случае события А и В называются зависимыми.

Независимость более чем двух событий может быть различной.

Определение. События А, В, С, ...., К называются попар­но независимыми, если независимы между собой любые два из них.

Определение. События А, В, С, ..., К называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется при наступлении других событий (одного или нескольких в любой комбинации и в любом числе).

Независимость событий в совокупности является более сильным требованием, чем их попарная независимость.

Теорема умножения вероятностей для двух независимых событий имеет более простой вид.

Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

Задача. Считая вероятность безотказной работы станка в течение смены равной 0,9, найти вероятность безотказной работы двух станков в течение смены.

Решение. Считая события А и В, состоящие в безотказной работе в те­чение смены соответственно первого и второго станков, независимыми и применяя к ним теорему умножения вероятностей получим: Р (АВ) = 0,9 • 0,9 =*0,81.

Теорему умножения вероятностей легко обобщить на любое конеч­ное число событий.

Теорема. Вероятность произведения конечного числа событий равна произведению их условных вероятностей относительно произве­дения предшествующих каждому из них событий, т. е.Р (АВС...КL) = Р(А) • Р_А (В) • P_AB (С) ...P_ABC…K (L).

Если события А, В, С, ..., K, L независимые в совокупности, то фор­мула упрощается, а именно:Р (АВС...КL) = Р(А) • Р (В) • P (С) ... P (L).

т. е. вероятность произведения конечного числа независимых в со­вокупности событий равна произведению их вероятностей.

Задача. На десяти карточках напечатаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Найти вероятность того, что три наудачу взятые и поставленные в ряд карточки составят число 125.

Решение. Искомое событие О произойдет, если первой будет взята карточка с цифрой 1 (событие А), вторая — с цифрой 2 (событие В), третья — с цифрой 5 (событие С). Вероятность его по теореме умножения вероятностей для трех. зависимых событий: P= 1/10*1/9*1/8=1/720=0,0014.

Задача. Рабочий обслуживает четыре однотипных станка. Вероят­ность того, что станок (любой) в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6. Предполагая, что неполадки на станках независимые, найти вероятность того, что в течение часа потребуют внимания рабочего: а) все четыре станка; б) ни один станок; в) по крайней мере один станок.

Решение. а) Обозначим через А₁, А₂, А₃, А₄ события, состоящие в том, что в течение часа потребуют внимания рабочего соответственно первый, второй, третий, четвертый станки. По теореме умножения вероятностей для независимых событий вероятность того, что в течение часа все станки потребуют внимания ра­бочего, т. е. произойдут события все эти события, равна: P= 0,6⁴ = 0,1296.

б) Вероятность того, что в течение часа станок (любой) не потребует внимания рабочего по правилу нахождения вероятности противоположного события: Поэтому вероятность события В, заключающегося в том, что в течение часа ни один станок не потребует внимания рабочего, т. е. произойдут события:P(В)= 0,4⁴ = 0,0256.

в) Событие, состоящее в том, что в течение часа по крайней мере один из четырех станков потребует внимания рабочего, и событие В, рассмотренное в пункте «б», противоположные. Поэтому вероятность искомого события :1- 0,0256 = 0,9744.

Задача. Студент выучил 20 вопросов из 25. Какова вероятность, что он ответит на три предложенных ему вопроса, ответит хотя бы на 1 вопрос?

Решение: A-студент ответит на первый вопрос, В - студент ответит на второй вопрос, С - студент ответит на третий вопрос, тогда: P(студент ответит на все три вопроса) = . Т.е.P=20/25*19/24*18/23=57/115=0.5. D – студент ответит хотя бы на один вопрос. Противоположное событие – что не ответит ни на один вопрос. P(D) = 1-5/25*4/24*3/23=0.996.

7. Условие независимости событий. Теорема об умножении вероятностей независимых событий. Примеры.

Вероятность появления события А при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью события А и вычисляется по формуле:

События А , В Е называются независимыми, если Р ( А В ) = Р ( А ) · Р ( В ) . В противном случае события А и В называются зависимыми.

Теорема. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: P(AB)=P(A)P(A|B). Вероятность совместного появления трех зависимых событий: P(ABC)=P(A)P(A|B)P(AB|C).

7. Совместность и несовместность событий. Теорема о сложении вероятностей двух событий.

Два события, которые в данных условиях могут происхо­дить одновременно, называют совместными, а те, которые не могут происходить одновременно,— несовместными.

Несовместимые события – если они не могут произойти одноременно

Теорема сложения вероятностей

Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие 1: Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Определение. Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Определение. Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема сложения для совместных событий

Суммой 2-х совместных событий называют событие, состоящее в появлении либо события A, либо события B, либо обоих сразу.

Теорема. Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления. p(A+B)=p(A)+p(B)−p(AB)

Дока зательство: A+B=AB+AB+AB (сумма несовместных пар)

Тогда p(A+B)=p(AB)+p(AB)+p(AB)

Событие A=AB+AB,

Событие B=AB+AB

p(A+B)=p(A)−p(AB)+p(B)−p(AB)+p(AB)=p(A)+p(B)−p(AB)

Замечание: в этой теореме может существовать 2 различные ситуации.

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B), где A и B - независимые;

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B∖A), где A и B - зависимые;

7. Совместимость (несовместимость) событий. Теорема о сложении вероятностей двух несовместных событий.

Два события, которые в данных условиях могут происхо­дить одновременно, называют совместными, а те, которые не могут происходить одновременно,— несовместными.

Несовместимые события – если они не могут произойти одноременно

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А — попадание при первом выстреле, В — попадание при втором выстреле, то А + В — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события А и B — несовместные, то А + В — событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С.

Пусть события A и В — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие A, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Доказательство

С л е д с т в и е. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (A1 + A2 + ... + An) = Р (A1) + Р (A2) + ... + Р (An).

Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Р е ш е н и е. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие А)

Р (А) = 10 / 30 = 1 / 3.

Вероятность появления синего шара (событие В)

Р (В) = 5 / 30 = 1 / 6.

События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность P (A + B) = P (A) + P (B) = l / 3 + l / 6 = l / 2.

Пример 2. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую — 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Р е ш е н и е. События А — "стрелок попал в первую область" и В — "стрелок попал во вторую область" — несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность Р (А + В) = Р (А) + Р (В) = 0,45 + 0,35 = 0,80.

7. Противоположные события и их вероятность. Полная группа событий и их вероятность. Примеры.

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать.

Пример 1. Попадание и промах при выстреле по цели — противоположные события. Если А — попадание, то противоположное событие — промах.

Пример 2. Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» — противоположные.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Доказательство базируется на том, что противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице (см. Теорему о полной группе событий).

З а м е ч а н и е 1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким образом, в силу предыдущей теоремы p + q = l

З а м е ч а н и е 2. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность противоположного события, а затем найти искомую вероятность по формуле

Полная группа событий.

Теорема. Сумма вероятностей событий А1 , А2 , ..., Аn , образующих полную группу, равна единице: Р (A1) + Р (А2) + ... + Р (Аn) = 1.

Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то Р (A1 + A2 + ... + An) = 1. (*)

Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения: Р (А1 + А2 + ... + Аn) = Р (A1) + Р (A2) + ... + Р (Аn). (**)

Сравнивая (*) и (**), получим Р (А1) + Р (А2) + ... + Р (Аn) = 1.

Пример. Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города В — 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

Р е ш е н и е. События "пакет получен из города А", "пакет получен из города В", "пакет получен из города С" образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице: 0,7 + 0,2 + p =1.

Отсюда искомая вероятность р = 1 — 0,9 = 0,1.

7. Формула полной вероятности. Примеры вычисления.

Формула полной вероятности

Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) B1, В2,...,Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А) = Р (В1) РВ1(А) + Р (В2) РВ2(А) + ... + Р (Вn) РВn(А). (*)

где Р(В1)+Р(В2)+...+Р(Вn)=1.

Равенство (*) называют формулой полной вероятности.

Пример. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположе- ния о первоначальном составе шаров (по цвету).

Решение. Обозначим через А событие—извлечен белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров: B1 - белых шаров нет, В2—один белый шар, В3 — два белых шара.

Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (так как они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3, т. е. Р (В1)=Р (В2) = P(3)= 1/3.

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров, PB1(А) = 1/3.

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар, PB2(А) = 2/3.

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне было два белых шара PB3(А) = 3/3=1.

Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности: Р (В1) РВ1(А) + Р (В2) РВ2(А) + Р (В3) РВ3(А) = 1/3*1/3+1/3*2/3+1/3*1=2/3.

Пример. В магазин поступили электрические лампочки одного типа, изготовленные на четырех ламповых заводах: с 1-го завода 250 шт., со 2-го — 525 шт., с 3-го — 275 шт. и с 4-го — 950 шт. Вероятность того, что лампочка прогорит более 1500 часов, для 1-го завода равна 0,15, для 2-го — 0,30, для 3-го — 0,20, для 4-го — 0,10. При раскладке по полкам магазина лампочки были перемешаны. Какова вероятность того, что купленная лампочка прогорит более 1500 часов?

Решение: Пусть A — событие, состоящее в том, что лампочка прогорит более 1500 часов, а Н1, Н2, Н3 и Н4 — гипотезы, что она изготовлена соответственно 1, 2, 3 или 4-м заводом. Так как всего лампочек 2000 шт., то вероятности гипотез соответственно равны

Далее, из условия задачи следует, что

Используя формулу полной вероятности (11), имеем

7. Формулы Бейеса вычисления вероятности. Примеры.

Пусть H₁,H₂,...,H_n - полная группа событий и А   – некоторое событие. Тогда по формуле для условной вероятности(*)

Здесь P(H_k /A) – условная вероятность события (гипотезы) H_k или вероятность того, что H_k реализуется при условии, что событие А произошло.

По теореме умножения вероятностей числитель формулы (*) можно представить в виде P = P= P(A /H_k) P(H_k)

Для представления знаменателя формулы (*) можно использовать формулу полной вероятности P(A)

Теперь из (*) можно получить формулу, называемую формулой Байеса:

По формуле Байеса исчисляется вероятность реализации гипотезы H_k при условии, что событие А произошло. Формулу Байеса еще называют формулой вероятности гипотез. Вероятность P(H_k) называют априорной вероятностью гипотезы H_k, а вероятность P(H_k /A) – апостериорной вероятностью.

Пример. Рассмотрим приведенную выше задачу об электролампах, только изменим вопрос задачи. Пусть покупатель купил электролампу в этом магазине, и она оказалась бракованной. Найти вероятность того, что эта лампа изготовлена на втором заводе. Величина P(H₂) = 0,5 в данном случае это априорная вероятность события, состоящего в том, что купленная лампа изготовлена на втором заводе. Получив информацию о том, что купленная лампа бракованная, мы можем поправить нашу оценку возможности изготовления этой лампы на втором заводе, вычислив апостериорную вероятность этого события.

Выпишем формулу Байеса для этого случая _. Из этой формулы получаем: P(H₂ /A) = 15/34. Как видно, полученная информация привела к тому, что вероятность интересующего нас события оказывается ниже априорной вероятности.

Задачи с решениями. 1.В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй – 8 белых и 2 черных. При перевозке из первой урны во вторую урну перекатились два шара. После того, как шары во второй урне перемешались, из неё выкатился шар. Найти вероятность того, что выкатившийся из второй урны шар белый.

Пусть событие Н₁ состоит в том, что из первой урны во вторую перекатились два белых шара, событие Н₂ состоит в том, что перекатились два чёрных шара, а событие Н₃ состоит в том, что перекатились шары разного цвета. Можно вычислить вероятности Р(Н₁) = = 7/15,Р(Н₂) = = 1/15, Р(Н₃) = = 7/15 (при решении задачи полезно проверить выполнение необходимого условия).

Если реализовалась гипотеза Н₁, то во второй урне оказалось 10 белых и 2 черных шара. Обозначим через А событие, заключающееся в том, что из второй урны выкатился белый шар. Тогда Р(А/Н₁) = = 5/33. Если реализовалась гипотеза Н₂, то во второй урне оказалось 8 белых и 4 чёрных шара, и Р(А/Н₂) =  = 4/33. Легко показать, что Р(А/Н₃) = = 3/22. Теперь можно воспользоваться формулой полной вероятности: Р(А) = (5/33)(7/15) + (4/33) (1/15) + (3/22) (7/15) = 47/330

2. В условие задачи №1 внесем изменение. Пусть после того, как из первой урны во вторую перекатились два шара и шары во второй урне перемешались, из неё выкатился белый шар. Найти вероятность того, что из первой урны во вторую перекатились разноцветные шары.

Вычисления предыдущей задачи подставим в формулу Байеса Р(Н₃/А) = Р(А/Н₃)Р(Н₃)/ Р(А) = (3/22)(7/15)/( 47/33) = 7/47

3. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 играных. Для игры выбираются 2 мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекаются ещё два мяча. Найти вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами.

Обозначим через А событие, заключающееся в том, что вторая игра будет проводиться новыми мячами. Пусть гипотеза Н₁ состоит в том, что для первой игры были выбраны два новых мяча, гипотеза Н₂ состоит в том, что для первой игры были выбраны новый и играный мячи, гипотеза Н₃ состоит в том, что для первой игры были выбраны два играных мяча. Определим вероятности гипотез:

Р(Н₁) = ;Р(Н₂) = ;Р(Н₃) = .

Теперь вычислим условные вероятности события А.

Р(А/Н₁) = ;Р(А/Н₂) = ; Р(А/Н₃) = .

Осталось подставить результаты вычислений в формулу полной вероятности

Р(А) = 

4. Сообщение со спутника на землю передаётся в виде бинарного кода, то есть как упорядоченного набора нулей и единиц. Предположим, что послание на 70% состоит из нулей. Помехи приводят к тому, что только 80% нулей и единиц правильно распознаются приёмником. Если принят сигнал “1”, то какова вероятность того, что отправлен сигнал “0”?

Пусть событие В₀ состоит в том, что отправлен сигнал “0”, а событие В₁ – в том, что отправлен сигнал “1”. Пусть событие А₀ состоит в том, что принят сигнал “0”, с событие А₁ – в том, что принят сигнал “1”. Нас интересует Р(В₀/А₁). По условию Р(В₀) = 0,7 Р(В₁) = 0,3

Р(А₀/ В₀) = 0,8 Р(А₁/ В₀) = 0,2

Р(А₁/В₀) = 0,8 Р(А₀/ В ₁) = 0,2

По формуле Байеса получаем

Р(В₀/А₁) = 0,20,7/(0,20,7+0,803) = 0,37.

5. Бригада, работающая в дневную смену, производит изделий в два раза больше, чем бригада, работающая в ночную смену. Отсюда следует, что если выбрать случайным образом изделие, произведённое в цеху, то с вероятностью 2/3  0,66 оно произведено бригадой, работающей днём. Это априорная вероятность. Известно, что бригада, работающая днём, производит 3% некондиционных изделий, а бригада, работающая ночью, – 7% некондиционных изделий. Пусть случайным образом отобранное изделие оказалось некондиционным. Тогда по формуле Байеса можно вычислить апостериорную вероятность того, что это изделие произведено дневной бригадой P(Н₁/А) = (3/100)(2/3)/((3/100)(2/3) + (7/100)(1/3))  0,632

Как видно, апостериорная вероятность интересующего нас события здесь несколько ниже априорной вероятности.

7. Числовая последовательность и ее придел. Применение понятия придела к вычислению площади круга.