![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Комбинаторные формулы
- •Теорема умножения вероятностей
- •Числовые последовательности
- •Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
- •Сходящиеся последовательности. Свойства сходящихся последовательностей
- •1.3. Число «е»
- •1.2.2. Объем шара и пирамиды
- •Геометрические приложения определённого интеграла Вычисления площадей плоских фигур
- •Случайные величины.
- •3.1. Закон распределения дискретной случайной величины
- •3.2. Закон распределения непрерывной случайной величины. Плотность распределения вероятности.
- •§1. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины
- •Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения
- •1.7.1 Формула Бернулли
- •1.7.2 Наивероятнейшее число успехов.
- •Нормальный закон распределения.
- •Совместное распределение двух случайных величин.
- •3 Ряд распределения, многоугольник распределения
1.3. Число «е»
Числом
«е»
называется предел последовательности
с общим членом
.
Применив
формулу бинома Ньютона, найдем
Учитывая
неравенство
, для любого
, получим
и
,
где
– сумма
бесконечно убывающей геометрической
прогрессии
,
Получили,
что
, т.е. предел
последовательности – это некоторое
число, лежащее на интервале (2;3).
Это число определил Леонард Эйлер (1707 – 1783) – великий математик, член Петербургской Академии наук, большую часть жизни проведший в России, по происхождению швейцарец.
При помощи современных ЭВМ, это число вычислено с точностью до 590 знаков после запятой. Отдавая дань Эйлеру, это число называют числом «е»: е =2,718281…
Число е играет огромную роль в математике.
Рассмотрим примеры.
.
.
Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.
Это
определение означает, что a есть предел
числовой последовательности, если её
общий член неограниченно приближается
к a при возрастании n. Геометрически
это значит, что для любого
> 0 можно найти такое число N, что
начиная с n > N все члены последовательности
расположены внутри интервала ( a -
,
a +
). Последовательность, имеющая
предел, называется сходящейся; в
противном случае – расходящейся.
Применения пределов
1.2.1. Площадь круга
Для
вычисления площади круга единичного
радиуса опишем вокруг него правильный
n-угольник.
Его площадь, равная n
площадям одинако-вых равнобедренных
треугольников с вершинами в т. О, даст
приближение площади круга с избытком.
Площадь одного треугольника равна
произве-дению единичной высоты на
половину основания, равную тангенсу
угла
; площадьSn
всего n-угольника
будет в n
раз больше:
.
Например,
площадь правильного треугольника:
;
площадь
описанного квадрата:
площадь
описанного шестиугольника:
Монотонно
убывающая последовательность Sn
сходится к числу
- площади
круга единичного радиуса.
Последовательность
площадей правильных многоугольников,
вписанных в окружность, дает приближения
площади круга с недостатком. Площадь
одного из n
равнобедренных треугольников,
составляющих вписанный n-угольник,
можно вычислить, как половину произведения
единичных сторон на синус угла
между ними;
обозначив черезsn
площадь всего n-угольника,
получим монотонно возрастающую
последовательность приближений,
стремящихся к площади круга снизу:
1.2.2. Объем шара и пирамиды
Для нахождения объема шара и пирамиды построим последователь-ности вписанных в них цилиндров и призм, объемы которых известны ( из очевидных соображений они равны произведению площади основания на высоту).
Разрежем
полушарие радиуса R
равноотстоящими параллельными
плоскостями на n
частей и впишем в него n-1
цилиндр. Радиусы основа-ния цилиндров
находятся с помощью теоремы Пифагора,
объем ступенча-того тела Vn
, приближающийся c
ростом n
к объему полушария преобразуется к
виду
Аналогично
строится приближение пирамиды с площадью
основания S
и высотой h
вписанными призмами с высотами h/n.
Определив площади их оснований из
условия подобия, получим объем
ступенчатого тела
какn-й
член последовательности, сходящейся
к объему пирамиды.
Позже
будет показано, что предел переменной
дроби, входящей в оба приближения, равен
1/3:
Используя
этот результат, получим точные формулы
для вычисления объемов полушария:
и
пирамиды:
Производная функция. Геометрический смысл производной. Таблица производных.
Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс — интегрирование.
Производной
функциейв точке x0 называется число, к которому
стремится разностное отношение
при
Δx, стремящемся к нулю.
Производные элементарных функций
Геометрический
смысл производной
Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке
Уравнение
касательной к графику функции y = f(x) в
точке x0:
Таблица производных основных элементарных функций
1) ; 10)
;
2) ; 11)
;
3) ; 12)
;
4) ; 13)
;
5) ; 14)
;
6) ; 15)
;
7) ; 16)
;
8) ; 17)
;
9) ; 18)
;
19).
Свойства производных. Примеры.
Свойства производных функций
1. Производная суммы функций
равна сумме их производных, если они существуют, т. е.
(u+v)’=u’+v’
2. Производная произведения двух функций
вычисляется по формуле (uv)’ = u’v + uv’
в предположении, что производные u’ и v’ существуют.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (kf(x))’ = kf’(x).
4.
Производная частного вычисляется по
формуле
5. Производная сложной функции
равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной:y=f( u(x) ) y’=f’(u).u’(x)
6. Диференциал функции
Произведение производной на произвольное приращение аргумента
является главной частью приращения функции.
Это произведение называется диференциалом и обозначается df(x)=dy=f’(x)dx.
Часто приращение функции заменяют ее диференциалом при приближенных вычислениях.
Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Примеры.
Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:F(x) + C.
Записывают:
Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.
Свойства:1.
2.
3.
4.
гдеu,
v,
w
– некоторые функции от х.
Пример:
Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.
Таблица основных интегралов.
Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.
Интеграл |
Значение |
Интеграл |
Значение | |||||
1 |
|
-lncosx+C |
9 |
|
ex + C | |||
2 |
|
lnsinx+ C |
10 |
|
sinx + C | |||
3 |
|
|
11 |
|
-cosx + C | |||
4 |
|
|
12 |
|
tgx + C | |||
5 |
|
|
13 |
|
-ctgx + C | |||
6 |
|
ln |
14 |
|
arcsin | |||
7 |
|
|
15 |
|
| |||
8 |
|
|
16 |
|
|
. Непосредственное интегрирование.
Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.
Рассмотрим
применение этого метода на примере:
Требуется найти значение интеграла
. На основе
известной формулы дифференцирования
можно сделать
вывод, что искомый интеграл равен
, где С –
некоторое постоянное число. Однако, с
другой стороны
. Таким образом,
окончательно можно сделать вывод:
Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных. Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало.
Определенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл определенного интеграла и его вычисления.
Определённый интеграл, его свойства
Пусть
на отрезке
задана функцияy=f(x).
Разобьем отрезок
наn
элементарных отрезков точками
. На каждом
отрезке
разбиения
выберем некоторую точку
и положим
, где
. Сумму вида
будем
называть интегральной
суммой
для функции y=f(x)
на
. Очевидно,
что интегральная сумма зависит как от
способа разбиения отрезка
точками
, так и от
выбора точек
на каждом из
отрезков разбиения
,
.
Если
существует предел
, не зависящий
от способа разбиения отрезка
и выбора точек
, то этот
предел будем называтьопределённым
интегралом
функции f(x)
на отрезке
и обозначать
символом
т.е.
Функция
f(x)
в этом случае называется интегрируемой
на отрезке
. При этомf(x)
называется подынтегральной
функцией, f(x)dx
– подынтегральным
выражением, а
числа a
и b
– пределами
интегрирования (a
– нижний предел, b
– верхний предел), а сумма
–интегральной
суммой.
Теорема.
Если функция
f(x) непрерывна на отрезке
, то она
интегрируема на этом отрезке.
Свойства определённого интеграла
1.
2.
Постоянный множитель можно выносить
за знак определённого интеграла:
3.
Определённый интеграл от суммы двух
функций равен сумме определённых
интегралов от этих функций:
4.
При перестановке пределов интегрирования
определённый интеграл меняет знак на
противоположный:
5.
Интеграл по отрезку равен сумме
интегралов по его частям:
гдеa<c<b.
6. Теорема об оценке интеграла
Если
для
,
тогда значения интеграла от этой функции
не менее произведения m
на длину отрезка и не более произведения
M
на длину отрезка.
7. Теорема о среднем значении
Если
f(x)
непрерывна на отрезке
, то существует
такое значение
,
чтоf(x0)=fср
– среднее значение f
на отрезке.