3. Нормальный закон распределения результатов измерений

Многие ряды распределения, встречающиеся в статистических наблюдениях, можно охарактеризовать формулами разных математических функций. Функции или законы распределения случайных величин бывают: биноминальное, геометрическое, равномерное, нормальное и др. Самым важным в статистике является нормальное распределение.

Нормальное распределение – это совокупность объектов, в которой крайние значения некоторого признака – наименьшее и наибольшее – появляются редко; чем ближе значение признака к среднему значению, тем чаще оно встречается. Например, распределение студентов по их весу приближается к нормальному.

Нормальный закон (закон Гаусса) распределения результатов измерений непрерывных величин наиболее часто встречается и в спортивной практике.

Нормальное распределение описывается формулой, впервые предложенной английским математиком Муавром в 1733 году:

(5.1)

где  и e – математические константы ( = 3,141; e = 2,718); и – соответственно, среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение результатов измерений; x_i – результаты измерений; f(x) – так называемая функция плотности распределения.

Плотность распределения – это количество признака в единице интервала.

Формула (5.1) позволяет получить в виде графика кривую нормального распределения (рисунок 5.1), которая симметрична относительно центра группирования (как правило, это значение среднего арифметического ).

Рисунок 5.1 – Кривая нормального распределения

Эта кривая может быть получена из полигона распределения при бесконечно большом числе наблюдений и интервалов (см. рисунок 2.1 II этапа игры).

Чтобы избежать неудобств, связанных с расчётами для каждого конкретного случая по достаточно сложной формуле (5.1), используют так называемое нормированное (или стандартное) нормальное распределение, для которого составлены подробные таблицы.

Нормированное нормальное распределение имеет параметры = 0 иσ = 1. Это распределение получается, если пронормировать нормально распределённую величину x по формуле:

.

Плотность распределения вероятностей нормированного нормального распределения записывается в виде:

.

На кривой нормированного нормального распределения (рисунок 5.2) указаны в процентах доли площадей, соответствующих отмеченным значениям нормированного отклоненияu, по отношению к общей площади под кривой, равной 1 (100 %). Эти площади определяют вероятности попадания случайной величины в соответствующие интервалы.

Рисунок 5.2 – Кривая нормированного распределения

4. Основные свойства кривой нормального распределения (рисунок 5.1)

1. Кривая симметрична относительно среднего арифметического (моды, медианы).

2. При x = .

3. При .

4. Площадь, заключенная между кривой f(x) и осью x, равна единице.

5. Кривая имеет две точки перегиба при .

5. Влияние иσ на вид кривой нормального распределения

1. Изменение среднего арифметического значения не меняет форму кривой, а приводит лишь к сдвигу кривой вдоль оси X: при = const.

Рисунок 5.3 – Влияние на вид кривой нормального распределения

2. С увеличением  максимальная ордината кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, при уменьшении  кривая становится более островершинной. При любых значениях и площадь, ограниченная кривой и осью X, одинакова и равна единице.

В результате спортивной тренировки средняя арифметическая должна улучшаться (в зависимости от вида спорта или увеличиваться, или уменьшаться), а стандартное отклонение  должно уменьшаться. С увеличением стабильности и устойчивости спортивных результатов, составляющих нормально распределенные выборки, кривая распределения становится более островершинной.

Рисунок 5.4 – Влияние  на вид кривой нормального распределения