Ponetaeva_Patrusheva

Пример4.1

Перевести отрезок прямой АВ общего положения в проецирующее.

Первая замена плоскостей проекций.

Перейдем от системы плоскостей П1 П2к системе П1 П4, заменив П2 на П4 так, чтобы АВ||П4 Новая ось Х14 проведена параллельно проекции А1B1, при этом П4‖АВ. Из А1 и В1 перпендикулярно Х14 проведем линии проекционной связи, на них отложим отрезки, равные ZA и ZB. Получим новую проекцию, равную натуральной величине отрезка А4В4=|АВ|.

Вторая замена плоскостей проекций.

Плоскость П1 заменяем на П5 так, чтобы отрезок АВ стал проецирующим: АВ П6. Для этого проведем новую ось Х45 перпендикулярно А4В4 и на линии проекционной связи, являющейся продолжением проекции отрезка А4В4, отложим отрезки, равные расстояниям от заменяемых проекций А1 и В1 до заменяемой оси координат Х14. Так как эти отрезки равны, то получаем одну точку А5=В5, являющуюся проекцией отрезка AВ на плоскость П5.

Рис. 4.3

Пример 4.2

Найти натуральную величину треугольника ABC и угол наклона его плоскости к горизонтальной плоскости проекций П1.

Рис. 4.4

Выберем новую плоскость проекций П4, перпендикулярную плоскости треугольника ABC, а на комплексном чертеже – перпендикулярную горизонтали АК плоскости треугольника: П4 АВС, П4 АК, АК АВС, АК || П1.

58

Проводим новую ось координат Х14 перпендикулярно А1К1: Х14 А1К1.Имеем систему взаимно перпендикулярных плоскостей П1 П4. Плоскость треугольника ABC по отношению к плоскости П4 будет проецирующей. Проводим линии проекционной связи от точек А1, В1, С1 и откладываем координаты Z вершин треугольника от новой оси Х14, получаем проекции точек А4, В4, С4. Проекция треугольника ABC на П4 – прямая С4В4, составляющая с осью Х14 угол, равный натуральной величине угла между плоскостью треугольника и П1

– угол ϕ .

Чтобы найти натуральную величину треугольника вместо плоскости П1 вводим новую плоскость П5, параллельную плоскости треугольника. Параллельно вырожденной проекции треугольника С4В4 проводим новую ось Х45. На линиях проекционной связи отложим от новой оси отрезки, равные расстояниям от заменяемых проекций вершин A1 B1 С1 до заменяемой оси Х14.

А5В5С5 – натуральная величина треугольника.

Задача 4.1

Найти расстояние между параллельными прямыми АВ и CD.

Рис. 4.5

59

Задача 4.2

Найти расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и CD.

Рис. 4.6

60

Задача 4.3

Найти расстояние от точки А до плоскости α .

Рис. 4.7

Задача 4.4

Найти точку M, принадлежащую треугольнику ABC, расположенную на расстоянии 10 мм от сторон АB и BC.

Рис. 4.8

61

4.2 Плоскопараллельное перемещение

Плоскопараллельным перемещением в пространстве называется такое перемещение, при котором все точки геометрической фигуры перемещаются во взаимно параллельных плоскостях без изменения вида и размеров этой фигуры.

При перемещении величины проекций не изменяются, следовательно, сохраняется угол наклона геометрической фигуры (прямых, плоскостей) к данной плоскости проекций.

Пример 4.3

Прямую общего положения АВ преобразовать во фронталь и определить ее натуральную величину и угол наклона к горизонтальной плоскости проекций П1.

Перемещением переводим отрезок прямой AB В положение, параллельное фронтальной плоскости проекций П2. Для этого в произвольном месте чертежа горизонтальную проекцию А1В1 отрезка AB располагаем горизонтально, параллельно оси координат ОХ;

A*1B*1‖OX, А*1В*1=А1В1.

Точки A и B отрезка перемещаются

соответственно в горизонтальных плоскостях αиβ:

А α α || П1, В β β || П1.

Фронтальные проекции A2 и B2 точек A и B

перемещаются по α П2 и β П2 (ZA = const, ZB = const).

Фронтальные проекции A*2 и B*2 смещенных точек

A* и B* находятся в проекционной связи с проекциями A*1 и B*1 .

A*2B*2 – новая фронтальная проекция отрезка

AB: A*2B*2 = | AB|.

Угол наклона A*2B*2 к оси OX является натуральной величиной угла наклона отрезка AB к плоскости проекций П1: A*2B*2^OX = AB ^ П1.

Рис. 4.8

Пример 4.4

Определить натуральную величину треугольника ABC и угол его наклона к плоскости проекций П2.

Рис. 4.9

62

Задача решается двумя последовательными перемещениями. Первым перемещением треугольник ABC приводится в положение, перпендикулярное горизонтальной плоскости проекций П1. Вторым перемещением этоттреугольникприводитсяв положение, параллельное фронтальнойплоскостипроекцийП2.

Для этого в плоскости треугольника ABC проводим фронталь ВК. Перемещаем фронталь ВК в положение горизонтально проецирующей прямой: ВК П1. При этом плоскость треугольника станет горизонтально проецирующей плоскостью. На чертеже проводим следующие построения. Фронтальную проекцию В2K2 располагаем перпендикулярно оси координат ОХ. Величина фронтальной проекции треугольника при этом не меняется. Строим фронтальную проекцию треугольника А*2В*2С*2, учитывая равенство сторон:

A2B2 = A*2B*2, А2С2 = A*2С*2, В2С2 = В*2С*2.

Горизонтальной проекцией А1В1С1 треугольника в новом положении является отрезок прямой А*1C*1, угол наклона которого к оси ОХ является натуральной величиной угла наклона плоскости треугольника к плоскости

П2 – угол ψ .

Чтобы получить натуральную величину треугольника, переместим вырожденную горизонтальную проекцию треугольника (прямая А*1С*1,) на свободное место чертежа в положение, параллельное оси ОХ. Плоскость треугольника станет плоскостью уровня. Фронтальные проекции точек при этом перемещаются параллельно оси ОХ (сохраняется неизменной координата Z точек). На фронтальной проекции имеем натуральную величину плоскости треугольника ABC:

А**2В**2С**2 = | АВС|.

Задача 4.4

Определить натуральную величину треугольника ABC и угол его наклона к горизонтальной плоскости проекций П1.

Рис. 4.10

63

Задача 4.5

Найти натуральную величину отрезка прямой АВ и угол наклона отрезка к фронтальной плоскости проекцийП2.

Рис. 4.11

Задача 4.6

Найти расстояние от точки С до стороны АВ треугольника ABC.

Рис. 4.12

64

Задача 4.7

Определить центр описанной около треугольника ABC окружности.

Рис. 4.13

Задача 4.8

В треугольнике ABC найти точку М, удаленную от сторон АВ и ВС на расстояние 15 мм.

Рис.4.14

65

4.3. Вращение вокруг проецирующих прямых

Этот способ является частным случаем способа плоскопараллельного перемещения. В способе плоскопараллельного перемещения точка описывает некоторую плоскую кривую, параллельную плоскости проекций, а при вращении вокруг проецирующих прямых точка описывает дугу окружности, плоскость которой также параллельна плоскости проекций.

При повороте точки А вокруг горизонтально проецирующей оси I П1, на угол ϕ против часовой стрелки (рис.4.15) точка А перемещается в плоскости α I α ‖П1 по окружности радиуса RA=I1A1. Горизонтальная проекция точки А1 описывает дугу А1A*1 окружности радиуса RA с центральным углом ϕ . Фронтальная проекция точки А2 движется по прямой, параллельной оси координат OX (ZA=const). Зная новое положение А*1 определяем ее фронтальную проекциюА*2.

На рис. 4,16 показан поворот точки В вокруг фронтально проецирующей оси на угол ψ против часовой стрелки:

I П2, В β I β ||П2, R B=I2B2, YB=const.

Рис. 4.15 Рис. 4.16

Пример 4.5

Точку А повернуть вокруг горизонтально проецирующей оси до совмещения c плоскостью, заданной пересекающимися прямыми BD и CD - α (BD∩CD) (рис. 4.17).

При вращении вокруг горизонтально проецирующей оси точка А движется по окружности в плоскости β I β ||П1.Центром вращения является точка O = β ∩ l, радиус вращения – RA=O1A1 .

Новые положения точек А *и А** определяются на пересечении дуги окружности и горизонтали, по которой пересекаются плоскости α и β .

Вращение прямой вокруг оси, пересекающей эту прямую, сводится к вращению какой-либо одной ее точки, поскольку точка пересечения прямой с осью вращения остается неподвижной.

На рис. 4.18 отрезок AB общего положения вращением

вокруг оси I П1 B I приведен в положение,

параллельное фронтальной плоскости проекций П2 : A*2B2 П2, A*2B2= AB .

Если ось вращения не пересекает прямую, то вращение осуществляется путем поворота двух точек прямой на один и тот же угол и в одном и том же направлении

66

Пример 4.6

Отрезок АВ прямой общего положения повернуть вокруг фронтально проецирующей оси в положение горизонтали.

Проекция вращаемого отрезка на плоскость, которой перпендикулярна ось вращения, не изменяется. Поэтому можно вращать одну точку. Удобно вращать точку S2 – основание перпендикуляра, опущенного из точки I2 на фронтальную проекцию прямой А2В2. I2 – фронтальная проекция оси вращения I П2. Когда радиус вращения I2S2 OX, прямая AB II П1 A*1B*1 = I AB I.

Рис. 4.19

Вращение плоскости вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций, осуществляется путем вращения на один и тот же угол и в одном и том же направлении трех точек и прямых, которыми задана плоскость.

Пример 4.7.

Определить угол наклона ϕ плоскости DABC общего положения к горизонтальной плоскости проекций П1

Плоскость АВС перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П2, если горизонталь треугольника перпендикулярна фронтальной плоскости проекций.

Проводим в плоскости треугольника ABC горизонталь АК и вращаем треугольник вокруг горизонтально проецирующей оси А I П1. В этом случае угол наклона плоскости DАВС к горизонтальной плоскости проекций П1 остается постоянным ϕ =const, а угол наклона к П2

меняется.

Повернем треугольник ABC так, чтобы горизонталь АК заняла положение, перпендикулярное оси координат ОХ:

АК DАВС^АК‖П1,А1K*1 ОХ.

Горизонтальная проекция треугольника, переместившись на тот же угол, что и проекция А1К1 горизонтали АК, займет положение А1B*1C*1. Фронтальные проекции В2 и С2 перемещаются по

ZB=const, ZC=const. B2 и С2 определяем по линиям проекционной связи на соответствующих следах

поворота.

Рис. 4.20

67