Ponetaeva_Patrusheva
.pdf
Задача 2.5 |
Задача 2.6 |
Построить проекции горизонтали длиной 30 мм, |
На прямой AB, отложить отрезок AC длиной 15 мм. |
проходящей через точку A и составляющую с |
|
плоскостью П2 угол ψ = 30 о; построить проекции |
|
фронтали длиной 35 м, проходящей через точку С и |
|
составляющуюс П1, уголϕ = 45 о. |
|
Рис. 2.13 |
Рис. 2.14 |
Задача 2.7 |
Задача 2.8 |
Через середину отрезка AB провести профильную |
Построить проекции отрезка горизонтальной прямой |
прямую подуглом30 о к плоскостипроекций П2. |
AB длиной 50 мм, концы которого расположены на |
|
параллельных прямых m и n. |
Рис. 2.15 |
Рис. 2.16 |
11
2.3. Длина отрезка прямой и углы его наклона к плоскостям проекций. Способ прямоугольного треугольника. Построение отрезка прямой по заданным условиям
Натуральная величина отрезка прямой общего положения равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция отрезка на любую плоскость проекций, а другим –– разность расстояний концов отрезка от той же плоскости проекций.
Угол между катетом-проекцией и гипотенузой равен натуральной величине угла наклона отрезка к той плоскости проекций, на которой выполнены построения.
Пример 2.2 |
Пример 2.3 |
Определить натуральную величину отрезка |
Построить проекции отрезка заданной |
АВи углы его наклона к плоскостямпроекций. |
длины|AB|с заданными углами ϕ и ψ. XA< XB, |
|
YA> YB, ZA> ZB. |
Рис. 2.17
На горизонтальной проекции А1B1 так же, как и на катете, строим прямоугольный треугольник.
Второй катет этого треугольника равен разности удалений концов отрезка от горизонтальной плоскости проекций П1.
Получим прямоугольный треугольник А1В1B*:
А1В*=|AB|, А1В1^А1В*=АВ^ П1= ϕ.
Для определения угла наклона отрезка к фронтальной плоскости проекций на фронтальной проекции отрезка А2B2, как на катете, строим прямоугольный треугольник, второй катет которого равен разности расстояний концов отрезка от фронтальной плоскости проекций. Построен прямоугольный треугольник
A2B2A*.
В2А* = |AB|, А2В2 ^ А*В2 = AB ^ П2 = ψ.
Координаты, определяющие разность удалений концов отрезка, могут иметь разные знаки; в этом случае надо иметь в виду алгебраическую разность.
Рис. 2.18
На свободном поле чертежа построим окружность диаметром |АВ|. Принимаем диаметр за гипотенузу прямоугольных треугольников с углами ϕ и ψ между гипотенузами и катетами.
В одном треугольнике (с углом ϕ = АВ^П1) катет против угла ϕ выражает разность удалений концов отрезка АВ от Пr –– ZAB, второй катет ––
А1B1.
В другом треугольнике (с углом ψ = АВ^П2) катет, противолежащий углу ψ, выражает разность удалений концов отрезка АВ от П2 –– УAВ, второй катет –– фронтальную проекцию отрезка А2B2.
Для построения комплексного чертежа отрезка отложим по линии проекционной связи А2A1 отА2 вниз (ZA > ZB) отрезок, равный ZAB, и проведем прямую, параллельную оси ОХ. Таким образом, графически определим ZВ. Из точки A2 проведем дугу радиусом R = А2В2. В пересечении получаем точку В2.
12
Для построения В1 откладываем на линии проекционной связи А2A1 от точки А1 вверх (YA > YB) отрезок, равный УAВ , проводим прямую, параллельную оси ОХ, и находим на ней точку В1.
Проекция А1В1 должна получиться равной катету вспомогательного треугольника с углом ϕ.
При решении конкретной задачи с заданными числовыми значениями следует проверить условие: каждый из углов ϕ и ψдолжен быть острым; сумма этих углов должна быть или меньше 90 o(для прямой общего положения), или равна 90 o (для профильной прямой).
Задача 2.9 |
Задача 2.10 |
Определить расстояние от точки C до отрезка |
Построить проекции отрезка AC длиной 40 мм, |
прямойAB. |
расположенного на отрезке прямойAB. |
Рис. 2.19
Задача 2.11
На отрезке прямой AB отложить отрезок AC длиной 15 мм.
Рис. 2.20
Задача 2.12
Построить проекции прямоугольного равнобедренного треугольника ABК, катет которого BК расположен на отрезке прямой CD.
Рис. 2.21 |
Рис. 2.22 |
13
Задача 2.13
Построить проекции сферы (центр в точке C), касающейсяпрямойMN.
Рис. 2. 23
Задача 2.15
Построить проекции квадрата ABCD с диагональю BD на отрезке прямойMN.
Задача 2.14
Построить проекции сферы (центр в точке C), касающейсяпрямойMN.
Рис. 2.24
Задача 2.16
Построить проекции квадрата ABCD со стороной BC на отрезке прямой MN.
Рис. 2.25 |
Рис. 2.26 |
14
2.4. Взаимное положение прямых
Пересекающиеся прямые –– это прямые, имеющие общую точку.
На рис. 2 27 прямые k и l пересекаются в точке А. Одноименные проекции этих прямых пересекаются, и точки их пересечения являются проекциями одной точки пространства, т. е. принадлежат одной линии проекционной связи:
k1 ∩l1 = A1, k2 ∩l2 = А2, А (А1,A2) = k ∩l.
Параллельные прямые – это прямые, пересекающиеся в несобственной точке.
На рис. 2.28 прямые m и n параллельны, одноименные проекции отрезков двух параллельных прямыхпараллельны:
m1 ‖n1 m2 ‖ n2.
По параллельности одноименных проекций двух профильных прямых нельзя утверждать, что прямые в пространстве параллельны. Взаимное расположение профильных прямых можно установить только по профильным проекциямэтих прямых.
Рис. 2.27 Рис. 2.28 Рис. 2.29
Скрещивающиеся прямые – это прямые, не пересекающиеся и не параллельные между собой. Если пересекающиеся и параллельные прямые принадлежат одной плоскости, то скрещивающиеся
прямые находятся в различных плоскостях.
Проекции скрещивающихся в пространстве прямых в зависимости от расположения относительно плоскостей проекций могут пересекаться или быть параллельны.
На рис. 2.29 прямые m и n являются скрещивающимися. В точке пересечения горизонтальных проекций m1 и n1 расположены проекции А1 и В1 двух конкурирующих точек А n и B m. Точки А и В, расположенные на одном горизонтально проецирующем луче, конкурируют относительно горизонтальной плоскости проекций П1. Видимой точкой является та, которая расположена дальше от плоскости проекций – точка A, ZA>ZB.
Фронтальные проекции m2 и n2 скрещивающихся прямых m и n пересекаются в точке C2 ≡D2, С m, D n.
Точки С и D принадлежат одному фронтально проецирующему лучу и конкурируют относительно фронтальнойплоскостипроекцийП2. ВидимойнафронтальнойпроекцииявляетсяточкаС, расположеннаядальше от П2, YC > YD.
15
Задача 2.17
Провести через точку A прямую, пересекающую прямыеm и n.
Рис. 2. 30
Задача 2.18
Пересечь отрезки прямых AB и CD профильнопроецирующей прямой.
Рис. 2.31
Задача 2.19 |
Задача 2.20 |
Построитьпроекции параллелограммаABCD. |
Провести фронтально проецирующую прямую, |
|
пересекающую две скрещивающиесяпрямые AB и m. |
Рис. 2. 32 |
Рис. 2.33 |
|
16 |
|
2.5. Способы задания плоскости на чертеже. Следы плоскости |
|
|
|
|
|||||
|
П2 |
|
П2 |
|
Плоскость может быть задана (рис. 2.34): |
|
||||
|
|
|
N |
|
• тремя точками α (А, В, С); |
|
|
|||
|
|
|
|
• прямой и точкой вне прямой α (АВ, |
С); |
|||||
|
|
|
|
D |
двумя |
пересекающимися |
прямыми |
|||
|
|
|
B |
α (АВ ∩ АС); |
|
|
|
α |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
E |
|
• двумя |
параллельными |
прямыми |
||||
|
|
|
|
(АВ||АС); плоской фигурой α ( |
АВС); |
|
||||
|
|
|
|
• следами |
α п1 и |
α п2 |
– |
линиями |
||
X |
X |
A |
|
|
пересечения плоскости α с плоскостями |
|||||
|
|
проекций П1 иП2. |
|
|
|
|
||||
|
C |
|
|
|
|
|
||||
|
|
M |
|
Всегда можно перейти от одного способа |
||||||
|
|
K |
задания плоскости к другому способу ее |
|||||||
|
|
|
задания. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
П1 |
П1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2. 34 |
|
|
|
|
|
|
|
На (рис. 2.35) показано построение следов плоскости α (AB ∩ BC).
Для построения |
горизонтального следа |
α П1 плоскости α |
достаточно определить |
горизонтальные следы любых двух прямых этой плоскости. Точки M и K – горизонтальные следы отрезков прямых АВ и ВС.
АВ ∩ П1 = М, ВС ∩ П1 = K.
Прямая МК является горизонтальным следом α п1 плоскости α , поскольку определяет линию пересечения плоскостиα с П1.
Следы плоскости пересекаются друг с другом в точках, лежащих на осях координат. Фронтальный след α п2 плоскости α определяется точкой N – фронтальным
следом ВС (ВС ∩ П2 = N) и точкойα x – точкой схода следов плоскости α на оси ОХ
Рис. 2.35
17
Задача 2.21
Определить, принадлежат ли точки A, B, C, D одной плоскости?
Рис. 2.36
Задача 2.23
Построить следы плоскости, заданной прямой AB и точкой C.
Рис. 2.38
Задача 2.22
Построить горизонтальную проекцию плоского пятиугольника ABCDE.
Рис. 2.37
Задача 2.24
Построить следы плоскости, заданной двумя пересекающимисяпрямымиAB и CD.
Рис. 2.39
18
2.6. Плоскости общего и частного положения
Плоскости, не перпендикулярные ни одной из плоскостей проекций, называются плоскостями общего
положения.
Проецирующие плоскости – плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций.
Рис. 2.40 |
Рис. 2.41 |
На рис. 2.46 плоскость α |
П1 – горизонтально-проецирующая плоскость – составляет с фронтальной |
плоскостью проекций П2 угол ψ . Точка А, принадлежащая плоскости, имеет горизонтальную проекцию А1 на
горизонтальном следе плоскости. Угол между α П1 ^ ОХ равен натуральной величине угла между плоскостью α и П2.
А α П1 → А1 α П1, Ѱ= α ^ П2 = α П1^ОХ.
На рис. 2.47 плоскость α П2 – фронтально-проецирующая плоскость –- составляет с горизонтальной плоскостью проекций П1 угол ϕ . Фронтальная проекция А2В2 отрезка АВ, расположенного в плоскости α , совпадает с фронтальным следом плоскости. Угол между α П2^ OХ равен натуральной величине угла между горизонтальной плоскостью проекций П. и плоскостью α .
АВ α П2 А2В2 α П2, ϕ = α П1 =α П2 OX
На рис. 2.48 плоскость α П3 – профильно-проецирующая плоскость и составляет с фронтальной плоскостью проекций угол ψ . Профильная проекция А3В3С3 треугольника ABC, принадлежащего плоскости, совладает с профильным следом α П3 плоскости α .
Рис. 2.42 Рис. 2.43
.
19
Плоскость α параллельна оси координат ОХ. Горизонтальный и фронтальный следы плоскости параллельны оси координат ОХ. Угол между профильным следом α П3 и осью координат OY равен натуральной величине угла между плоскостью α и плоскостью проекций П1
– ϕ . Угол между профильным следом α пз и осью координат OZ равен натуральной величине угла между плоскостью a и плоскостью проекций П2 – ψ .
АВС α П3 → А3В3С3 α П3 α П1 ||ОХ, α П2 || ОХ,
ϕ = α П1= α пз OY, ψ = α П2 = α пз OZ.
На рис. 2.49 плоскость α П3 и проходит через ось координат ОХ. Горизонтальный след α П1 и фронтальный след α П2 плоскости совпадают с осью ОХ, α П1 ≡α П2 = ОХ.
Профильно-проецирующая плоскость, проходящая через ось координат ОХ и составляющая равные углы с горизонтальной и фронтальной плоскостями проекций, называется биссекторной плоскостью (рис. 2.49).
α П3, α П1 ≡α П2 = ОХ ϕ =α П1 = α П2.
Плоскости уровня - плоскости, параллельные плоскостям проекций.
Горизонтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекции (рис. 2.50). Фронтальный след α пз параллелен оси координат ОХ. Фронтальная проекция A2 точки А, расположенной в плоскости, совпадает с фронтальным следом α П2.
А α α ||П1 → α П2 ||OX A2 α П2.
Фронтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (рис.2.51). Горизонтальный след α П1 параллелен оси координат ОХ, Треугольник ABC, принадлежащий плоскости α , проецируется на фронтальную плоскость проекций в натуральную величину, его горизонтальная проекция совпадает с горизонтальным следом плоскости α П1.
AВС α ||П2 → α П1||OX A1B1C1 α П1, A2B2C2 = | ABC|.
Рис. 2.44 |
Рис. 2.45 |
Рис. 2.46 |
Рис. 2.47 |
20