Ponetaeva_Patrusheva
.pdf
8. Плоскость, касательная к поверхности
Плоскостью, касательной к кривой поверхности в точке поверхности, называется плоскость, определяемая двумя пересекающимися касательными прямыми к этой поверхности в точке.
Рис. 8.1
В точке поверхности можно провести единственную касательную плоскость к этой поверхности.
Для построения касательной плоскости к поверхности в точке достаточно на поверхности провести через эту точку две любые простейшие линии и к каждой из них провести касательные. Две касательные определяют касательную плоскость.
Плоскость, касательная к поверхности вращения в заданной на ней точке, определяется двумя прямыми, касательными к параллели и меридиану поверхности (рис. 8.1).
У линейчатых поверхностей (например, конуса и цилиндра) одной из множества линий, проходящих через заданную точку, является прямолинейная образующая.
S
O* 
A* 
O |
O |
|
A |
||
|
||
|
A |
Рис. 8.2 Рис. 8.3
Поскольку касательная к образующей в точке сливается с самой образующей, то касательная плоскость касается поверхности по прямой образующей.
Касательная плоскость может касаться кривой поверхности по кривой линии, например, по верхней или нижней параллели открытого тора.
120
S2 |
I2 |
|
|
D2 |
|
A2 |
K2 |
B2 |
C*2 |
|
C2 |
Ï 1 |
|
|
|
S1=I1 |
|
C*1 |
D1 |
B1 |
|
K1 |
|
|
|
C1 |
A1 |
|
|
Рис. 8.4 |
|
|
Пример8.1
Построить касательную плоскость к поверхности самопересекающегося тора в заданной на поверхности точке K
(рис.8. 4).
Касательная плоскость определяется касательной прямой АВ к параллели точки К и касательнойпрямойCD кмеридиануэтойточки.
Меридиан точки К лежит в плоскости α , проходящей через ось I поверхности иточку К.
Для определения фронтальной проекции C2D2 касательной прямой CD, меридиональную плоскость α путем вращения вокруг оси I поверхности совмещаем с фронтальной меридиональной плоскостью – главным меридианом поверхности. Касательная CD занимает новое положение C*2S2. S – точка пересечения касательной с осью I. При обратном вращении и восстановлении плоскости α точка S не меняет своего положения, и, следовательно, искомой фронтальной проекцией касательной является C2D2. Касательная плоскость, заданная АВ ∩ CD = K, является касательной плоскостью к заданной поверхности в точке К.
Пример 8.2
Построить плоскости, касательные к поверхности конуса и проходящие через внешнюю точку A (рис. 8.5).
Плоскости, касательные к конической поверхности, проходят через вершину конуса, а их горизонтальные следы касаются основания. Чтобы касательная плоскость проходила через внешнюю точкуА, онадолжнасодержатьпрямуюSA.
Построив вспомогательную прямую SA, определим ее горизонтальный след М, через который проведем касательные прямые m и m* к окружности основания конуса. Касательные m и m* будут являться горизонтальными следами двух искомых касательных плоскостей (нулевыми горизонталями), их фронтальные следы совпадают с осью координат X.
Рис. 8.5
121
Задача 8.1
Построить плоскость, касательную к поверхности цилиндра и проходящую через внешнюю точку A.
Рис. 8.6
Задача 8.3
Построить плоскость, параллельную прямой m и касательную к поверхности цилиндра.
Рис. 8.8
Задача 8.2
Построить плоскость, касательную к сфере в точке A.
Рисс. 8.7
Задача 8.4
Построить плоскость, касательную к поверхности цилиндра и проходящую через внешнюю точку A.
Рис. 8.9
122
9. Комплексные задачи
Задача 9.1
В плоскости α (А, В, С) построить точку, равноудаленную от точек A, В, С.
Рис. 9.1
123
Задача 9.2
Найти на отрезке прямой АВ точку, равноудаленную от сторон линейного угла CDE.
Z
A2
C2 |
D2 |
X |
E2 |
B2 O |
Y |
C1
E1
B1
A1 
D1 Y
Рис. 9.2
Задача 9.3
Построить проекции шара с центром на отрезке АВ, касающегося отрезка СD на расстоянии 20 мм от плоскости П1.
Рис.9.3
124
Задача 9.4
Построить проекции шара радиусом 40 мм, касающегося плоскости α в точке К. Построить проекции сечения шара горизонтально-проецирующей плоскостью β (ψ = 45 º), проходящей через точку К.
Рис. 9.4
125
Задача 9.5
Провести плоскость, параллельную плоскости α , заданную пересекающимися прямыми α (m ∩ n) так, чтобы отрезок прямой k, заключенный между двумя плоскостями, был равен 30 мм.
Рис. 9.5
126
Задача 9.6
Достроить проекции ромба ABCD, если диагональ BD параллельна плоскости α , а вершина B расположена в плоскости П1.
Рис. 9.6
Задача 9.7
Через отрезок прямой АВ провести плоскость, которая пересекает сферу с центром в точке О по окружности радиусом 15 мм.
O2
A2 B2
B1
O1
A1
Рис. 9.7
127
Задача 9.8
Через точку М провести плоскость, параллельную отрезку АВ и перпендикулярную плоскости треугольника ADEF. Плоскость задать треугольником и определить его натуральную величину.
Рис. 9.8
128
Для самостоятельной работы
129