Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Ponetaeva_Patrusheva

.pdf
Скачиваний:
830
Добавлен:
18.03.2015
Размер:
1.65 Mб
Скачать

8. Плоскость, касательная к поверхности

Плоскостью, касательной к кривой поверхности в точке поверхности, называется плоскость, определяемая двумя пересекающимися касательными прямыми к этой поверхности в точке.

Рис. 8.1

В точке поверхности можно провести единственную касательную плоскость к этой поверхности.

Для построения касательной плоскости к поверхности в точке достаточно на поверхности провести через эту точку две любые простейшие линии и к каждой из них провести касательные. Две касательные определяют касательную плоскость.

Плоскость, касательная к поверхности вращения в заданной на ней точке, определяется двумя прямыми, касательными к параллели и меридиану поверхности (рис. 8.1).

У линейчатых поверхностей (например, конуса и цилиндра) одной из множества линий, проходящих через заданную точку, является прямолинейная образующая.

S

O*

A*

O

O

A

 

 

A

Рис. 8.2 Рис. 8.3

Поскольку касательная к образующей в точке сливается с самой образующей, то касательная плоскость касается поверхности по прямой образующей.

Касательная плоскость может касаться кривой поверхности по кривой линии, например, по верхней или нижней параллели открытого тора.

120

S2

I2

 

 

D2

 

A2

K2

B2

C*2

 

C2

Ï 1

 

 

 

S1=I1

 

C*1

D1

B1

 

K1

 

 

 

C1

A1

 

 

Рис. 8.4

 

Пример8.1

Построить касательную плоскость к поверхности самопересекающегося тора в заданной на поверхности точке K

(рис.8. 4).

Касательная плоскость определяется касательной прямой АВ к параллели точки К и касательнойпрямойCD кмеридиануэтойточки.

Меридиан точки К лежит в плоскости α , проходящей через ось I поверхности иточку К.

Для определения фронтальной проекции C2D2 касательной прямой CD, меридиональную плоскость α путем вращения вокруг оси I поверхности совмещаем с фронтальной меридиональной плоскостью – главным меридианом поверхности. Касательная CD занимает новое положение C*2S2. S – точка пересечения касательной с осью I. При обратном вращении и восстановлении плоскости α точка S не меняет своего положения, и, следовательно, искомой фронтальной проекцией касательной является C2D2. Касательная плоскость, заданная АВ CD = K, является касательной плоскостью к заданной поверхности в точке К.

Пример 8.2

Построить плоскости, касательные к поверхности конуса и проходящие через внешнюю точку A (рис. 8.5).

Плоскости, касательные к конической поверхности, проходят через вершину конуса, а их горизонтальные следы касаются основания. Чтобы касательная плоскость проходила через внешнюю точкуА, онадолжнасодержатьпрямуюSA.

Построив вспомогательную прямую SA, определим ее горизонтальный след М, через который проведем касательные прямые m и m* к окружности основания конуса. Касательные m и m* будут являться горизонтальными следами двух искомых касательных плоскостей (нулевыми горизонталями), их фронтальные следы совпадают с осью координат X.

Рис. 8.5

121

Задача 8.1

Построить плоскость, касательную к поверхности цилиндра и проходящую через внешнюю точку A.

Рис. 8.6

Задача 8.3

Построить плоскость, параллельную прямой m и касательную к поверхности цилиндра.

Рис. 8.8

Задача 8.2

Построить плоскость, касательную к сфере в точке A.

Рисс. 8.7

Задача 8.4

Построить плоскость, касательную к поверхности цилиндра и проходящую через внешнюю точку A.

Рис. 8.9

122

9. Комплексные задачи

Задача 9.1

В плоскости α (А, В, С) построить точку, равноудаленную от точек A, В, С.

Рис. 9.1

123

Задача 9.2

Найти на отрезке прямой АВ точку, равноудаленную от сторон линейного угла CDE.

Z

A2

C2

D2

X

E2

B2 O

Y

C1 E1

B1

A1

D1 Y

Рис. 9.2

Задача 9.3

Построить проекции шара с центром на отрезке АВ, касающегося отрезка СD на расстоянии 20 мм от плоскости П1.

Рис.9.3

124

Задача 9.4

Построить проекции шара радиусом 40 мм, касающегося плоскости α в точке К. Построить проекции сечения шара горизонтально-проецирующей плоскостью β (ψ = 45 º), проходящей через точку К.

Рис. 9.4

125

Задача 9.5

Провести плоскость, параллельную плоскости α , заданную пересекающимися прямыми α (m ∩ n) так, чтобы отрезок прямой k, заключенный между двумя плоскостями, был равен 30 мм.

Рис. 9.5

126

Задача 9.6

Достроить проекции ромба ABCD, если диагональ BD параллельна плоскости α , а вершина B расположена в плоскости П1.

Рис. 9.6

Задача 9.7

Через отрезок прямой АВ провести плоскость, которая пересекает сферу с центром в точке О по окружности радиусом 15 мм.

O2

A2 B2

B1

O1

A1

Рис. 9.7

127

Задача 9.8

Через точку М провести плоскость, параллельную отрезку АВ и перпендикулярную плоскости треугольника ADEF. Плоскость задать треугольником и определить его натуральную величину.

Рис. 9.8

128

Для самостоятельной работы

129

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]