Ponetaeva_Patrusheva
.pdf
Профильная плоскость уровня – плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (рис.2.52, 2.53). Горизонтальный след плоскости α П1 и фронтальный след плоскости α П2 на ортогональном чертеже совпадают и перпендикулярны оси ОХ. Отрезок АВ, принадлежащий плоскости, проецируется на профильную плоскость проекций в натуральную величину, его горизонтальная проекция совпадает с горизонтальным следом плоскости, а фронтальная проекция отрезка – с фронтальным следом плоскости.
АВ α ||П3 →α П1 ОХ, α П2 ОХ А1B1 α П1, А2В2 α П2. А3B3 = |АВ|.
Задача 2.25
Через точку A провести горизонтально проецирующую плоскость, наклоненную к П2 под углом135o.
Задача 2.26
Через отрезок AB провести фронтально проецирующую плоскость. Плоскость задать следами и треугольником.
Рис. 2. 48
Задача 2.27
Через отрезок AB провести профильнопроецирующую плоскость. Плоскость задать следами.
Рис. 2.49
Задача 2.28
Задан фронтальный след плоскости a и точка A, принадлежащая этой плоскости. Построить горизонтальный следплоскостиa.
Рис. 2.50 |
Рис. 2.51 |
21
2.7.Принадлежность точки и прямой плоскости. Главные (особые) линии плоскости
Точка в плоскости выбирается из условия, что она находится на прямой линии этой плоскости.
Прямая линия принадлежит плоскости при условии, если она проходит: 1) через две точки плоскости; 2) через точку плоскости параллельно любой прямой этой плоскости.
К главным линиям плоскости относят линии уровня плоскости, параллельные плоскостям проекций, и линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций.
Горизонталь плоскости – прямая, принадлежащая плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций П1.
Фронталь плоскости – прямая, принадлежащая плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекцииП2.
Линия наибольшего наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций П1 (линия ската) –
прямая, принадлежащая плоскости и перпендикулярная горизонтали плоскости.
Линия наибольшего наклона плоскости к фронтальной проекции П2 – прямая, принадлежащая плоскости и перпендикулярная фронтали плоскости.
Рис. 2.52 Рис. 2.53
На рис. 2.52 плоскость α задана пересекающимися прямыми АВ и ВС: α (АВ ∩ ВС).Точки А и К расположены на прямых, которыми задается плоскость α : А АВ α А α , К ВС α К α .
Прямая АК принадлежит плоскости α : АК α .Через точку С можно провести прямую CD, параллельную АВ. Эта прямая по условию принадлежит плоскости α (АВ ∩ ВС). СD || АВ α
C α CD α .
В плоскости α (см. рис. 2.53) общего положения проведены произвольные горизонталь – АВ и линия ската – DE: АВ α АВ || П1, DЕ α DE AB.Фронтальная проекция А2B2 горизонтали АВ параллельна оси ОХ, горизонтальная проекция А1В1 параллельная горизонтальному следу плоскости α П1:
A2B2 || OX, α П1 || A1B1.
Прямой угол, который линия ската составляет с горизонтальной плоскостью проекций, проецируется на горизонтальную плоскость проекций П1 без искажения. Фронтальная проекция линии ската D2E2 определяетсяпоусловиюпринадлежностиплоскости α : D1E1 A1B1 D1E1 α П1.
22
На рис. 2.54 в плоскости общего положения α проведены произвольно фронталь – АВ и линия наибольшего наклона плоскости α к П2 – DE:
АВ α АВ||П2, DE α DE AB.
Горизонтальная проекция А1B1 фронтали АВ параллельна оси координат ОХ, фронтальная проекция А2В2 параллельна фронтальному следу плоскости α П2:
А1B1 || ОХ, А2В2||α П2
Прямой угол между фронталью и линией наибольшего наклона плоскости α к П2 проецируется без искажения на фронтальную плоскость проекций П2. Горизонтальная проекция линии наибольшего наклона D1E1 строится как недостающая проекция из условия принадлежности плоскостиα :
D2E2 A2B2 D2E2 α П2.
Рис. 2.54
Задача 2.35 |
Задача 2.36 |
Построить проекции равнобедренного треугольника |
Построитьследыплоскости, заданнойлинией |
ABC с основанием AB и вершиной C, расположенной в |
ската AB. |
П2 и удаленной отП1 на 10 мм. |
|
Рис. 2.55 |
Рис. 2.56 |
40
Задача 2.37 |
Задача 2.38 |
Дана фронтальная проекция треугольника ABC, |
Построить в плоскости треугольника ABC точку K, |
расположенного в плоскости α (m || n). Построить |
удаленную отП1 на 25 мм. отП2 – 25 мм. |
горизонтальную проекцию треугольника. |
|
Рис. 2.57 Рис. 2.58
Пример 2.4
Построить проекции прямоугольного треугольника ABC, принадлежащего плоскости α . Катет АВ расположен на горизонтали плоскости и равен 20 мм, катет ВС равен 30 мм (рис. 2.59).
|
Даны: α (α П1, α П2) А(А1,А2) α . |
||||||
|
Проведем |
проекции |
горизонтали |
||||
|
плоскости α через одноименные проекции |
||||||
|
точки А: А212 |
|| |
ОХ, |
A111||α П1. На |
|||
|
горизонтали откладываем размер катета |
||||||
|
|AB| = A1B1 = 20, A2B2 – фронтальная |
||||||
|
проекциякатета АВ. |
|
|
|
|
||
|
Строим направление второго катета |
||||||
|
(B –2)_LAB ^В12Г1ДВ1. |
|
|
|
|||
|
Определяем натуральную |
величину |
|||||
|
отрезка |
(В |
– |
2) |
|
с |
помощью |
|
вспомогательного |
|
прямоугольного |
||||
|
треугольника |
В1212*, (212*) = |
ZB, |
||||
|
(B1-2*) – натуральная величина |
||||||
|
отрезка (В-2). |
|
|
|
|
|
|
|
Откладываем на отрезке (В1 – 2*) |
||||||
|
натуральную |
|
величину |
катета |
|||
|
треугольника |ВС|=30. Отрезок В1C* – |
||||||
|
натуральная величина ВС. |
|
|
||||
|
Строим горизонтальную проекцию С1 |
||||||
|
точки С на прямой В121 По линии |
||||||
|
проекционной |
|
связи |
|
получаем |
||
|
фронтальную проекцию точки С2. |
||||||
|
А1B1С1, – горизонтальная проекция |
||||||
|
треугольника |
ABC, |
принадлежащего |
||||
|
плоскости |
α , А2B2С2 |
– |
фронтальная |
|||
Рис. 2.59 |
проекция треугольника. |
|
|
|
|||
41
Пример 2.5
Построитьпроекции окружности с центромв точке О, принадлежащей плоскости α (рис. 2.60).
На горизонтальной плоскости проекций П1 большая ось эллипса А1B1 совпадает с направлением горизонтали плоскости α и равна диаметру окружности. На фронтальной плоскости проекций П2 большая ось эллипса C2D2 совпадает с направлением фронтали плоскости и равна диаметру окружности. Недостающие проекции АВ и CD определяются из условия принадлежности горизонтали и фронтали плоскости.
Для построения малых осей эллипсов проводим прямые, перпендикулярные соответствующим проекциям линий уровня плоскости окружности.
Эллипс на П1 определен большой осью А1 В1, и направлением малой оси – точками О1 и 11.Этих условий достаточно для графического определения малой оси эллипса с помощью вспомогательного прямоугольного треугольника О1111*
(аналогично примеру 2.4), в котором катет
(11-1х)= ZO- 1, второй катет 0111,
гипотенуза – 011* – натуральная величина отрезка (0-1).
O1K* = |R|, O1K1 = 1/2 малой оси эллипса на горизонтальной плоскости проекций П1.
Аналогично строится фронтальная проекция эллипса.
Рис. 2.60
Задача 2.39 |
Задача 2.40 |
В плоскости α построить равнобедренный ABC, основание которого AB равно 30 мм и расположено на горизонтали плоскости α . Высота треугольника CD равна 25 мм.
В плоскости α построить квадрат ABCD, сторона которого AB равна 25 мм и принадлежит фронтали плоскости α .
Рис. 2.61 |
Рис. 2. 62 |
42
Задача 2.41 |
Задача 2.42 |
В плоскости α построить окружность диаметром |
В плоскости α построить квадрат ABCD. Плоскость |
40 мм. с центром в точке О. |
α – горизонтально проецирующая. Точка О – точка |
|
пересечения диагоналей квадрата. Диагональ AC П1 |
|
и равна 40 мм. |
Рис. 2.63 |
Рис. 2. 64 |
Задача 2.43 |
Задача 2.44 |
В плоскости α построить окружность диаметром 30 |
В плоскости α построить окружность диаметром 40 |
мм. с центром в точке О. Плоскость α – |
мм. с центромв точке О. |
фронтальнопроецирующая. |
|
Рис. 2.65 |
Рис. 2.66 |
43
Для самостоятельной работы
44
3.Позиционные задачи. Относительное положение прямой
иплоскости, плоскостей
3.1.Пересечение прямой линии и плоскости
Пример 3.1
Найти точку пересечения отрезка прямой MN с плоскостью ABC. Определить видимость MN.
Рис. 3.1
Задача 3.1
Найти проекции точки пересечения прямой MN с плоскостью,заданной точкой A и отрезком прямой BC. Определить видимость прямой MN.
Для нахождения точки пересечения:
1)через прямую проводим вспомогательгую фронтально-проецирующую плоскость α .
MN α , α П2;
2)определяем линию пересечения этой плоскости с плоскостью треугольника ABC;
3)точка K находится как точка пересечения данной прямой MN c линией
пересечения плоскостей α и DABC. Видимость прямой MN определяется по
правилу конкурирующих точек. Точка пересечения всегда видима и является границей видимости.
Горизонтально-проецирующий луч пересекает MN в точке 3, а сторону AC – в точке 4. Точка 3 находится дальше от П1, чем точка 4, следовательно, на П1 участок (M1 – K1) виден.
Фронтально проецирующий луч пересекает MN в точке 5, а сторону BC – в точке 2. Точка 5 находится от плоскости П2 дальше, чем точка 2, поэтому участок (K2 – N2) виден на П2.
Задача 3.2
Найти проекции точки пересечения отрезка прямой MN с плоскостью треугольника ABC. Определить видимость прямой MN.
Рис. 3.2 |
Рис. 3.3 |
45
3.2. Пересечение плоскостей
Две плоскости пересекаются по прямой линии, которуюможно построить по двум общим точкам. Линия пересечения всегда видима на плоскости проекций. Видимость прямых, расположенных в пересекающихся плоскостях, определяется по конкурирующим точкам.
Пример 3.2
Построить проекции линии пересечения треугольников ABC и DEF. Определить видимость треугольников относительно плоскостей проекций.
Рис. 3.4
Линия пересечения треугольников MN построена поточкам пересечения сторон AB и AC треугольника ABC с плоскостью другого треугольника DEF.
Для определения точки M пересечения стороны AB с DABC:
1.через сторону AB провести фронтально проецирующую плоскость α;
2.построить линиюпреесечения этой плосксот с плоскостьютреугольника DEF;
3.точка M находится на пересечении линии (1 – 2) со стороной AB треугольника ABC. Точка M принадлежит искомой линии пересечения заданных треугольников.
Аналогично определяется точка N с помощью проведения вспомогательной фронтально
проецирующей плоскости β через сторону AC треугольника ABC.
Видимость треугольников на горизонтальной плоскости проекций. Проведем горизонтально проецирующий луч, пересекающий стороны AB и DE данных треугольников. Этот луч пересекает DE в точку 5, а сторону AB – в точке 6. Точка 5, принадлежащая DE, дальше отстоит от плоскости проекций П1, чем точка 6, принадлежащая AB. Cледоательно, сторона DE в П1 полностью видима, а сторона AB на участке (61 – M1) невидима. Этого достаточно для определения видимости на П1 остальных сторон треугольников.
Видимость треугольников на фронтальной плоскости проекций. Проведем фронтально проецирующий луч, пересекающий стороны EF и AC. Точка 4 сторны EF конкурирует с точкой 7 стороны AC. Точка 4 более удалена от плоскости проекций П2, чем точка 7.Поэтому фронтальная проекция E2F2 полностью видима, а сторона A2C2 на участке (II2 – 72) не видима. Этого достаточно для определения видимости треугольников во фронтальной влоскости проекций.
46
Задача 3.3 |
Задача 3.4 |
Через точку M провести фронтально |
Построить проекции линии пересечения DABC и |
проецирующую плоскость α под углом ϕ = 60о к |
FDE. Определить видимость |
П1 . Построить проекции линии пересечения α с |
|
ABC. Определить видимость. |
|
Рис. 3.5 |
Рис. 3.6 |
Задача 3.5
Через точку M провести горизонтально проецирующую плоскость, перпендикулярную стороне AB треугольника ABC. Построить линию пересечения плоскостей. Определить видимость.
Рис. 3.7
47